Мультипликативная функция

Вне теории чисел термин мультипликативная функция обычно используется для полностью мультипликативных функций . В этой статье обсуждаются теоретико-числовые мультипликативные функции.

В теории чисел , A мультипликативной функцией является арифметическая функция F ( п ) положительного целого числа п со свойством , что F (1) = 1 , и всякий раз , когда и б являются взаимно простыми , а затем

${\ Displaystyle f (ab) = f (a) f (b).}$

Арифметическая функция f ( n ) называется полностью мультипликативной (или полностью мультипликативной ), если f (1) = 1 и f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) выполняется для всех положительных целых чисел a и b , даже если они не взаимно просты.

Примеры [ править ]

Некоторые мультипликативные функции определены для упрощения написания формул:

• 1 ( n ): постоянная функция, определяемая как 1 ( n ) = 1 (полностью мультипликативная)
• Id ( n ): функция идентичности , определяемая как Id ( n ) = n (полностью мультипликативная)
• Id _k ( n ): степенные функции, определенные как Id _k ( n ) = n ^k для любого комплексного числа k (полностью мультипликативный). В качестве частных случаев мы имеем
  • Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) и
  • Id ₁ ( n ) = Id ( n ).
• ε ( n ): функция, определяемая формулой ε ( n ) = 1, если n = 1, и 0 в противном случае, иногда называемая единицей умножения для свертки Дирихле или просто единичной функцией (полностью мультипликативной). Иногда пишется как u ( n ), но не путать с μ ( n ).
• 1 _С ( п ), то функция индикатора множества С ⊂ Z , для некоторых множеств C . Индикатор Функция 1 _С ( п ) мультипликативная именно тогда , когда множество С обладает следующим свойством для любых взаимно простых чисел а и б : продукт AB в C тогда и только тогда , когда число а и б оба равны в себя C . Это так, если C - это набор квадратов, кубиков или k -й степени, или если C - это набор чисел без квадратов .

Другие примеры мультипликативных функций включают многие функции, важные для теории чисел, такие как:

• НОД ( п , к ): наибольший общий делитель из п и к , как функция от п , где к представляет собой фиксированное целое число.
• ${\ displaystyle \ varphi}$( n ): функция Эйлера , подсчитывающая положительные целые числа, взаимно простые с (но не больше чем) n${\ displaystyle \ varphi}$
• μ ( n ): функция Мёбиуса , четность (−1 для нечетных, +1 для четных) числа простых множителей бесквадратных чисел; 0, если n не является бесквадратным
• σ _k ( n ): функция делителя , которая представляет собой сумму k -й степени всех положительных делителей числа n (где k может быть любым комплексным числом ). Особые случаи у нас есть
  • σ ₀ ( n ) = d ( n ) количество положительных делителей числа n ,
  • σ ₁ ( n ) = σ ( n ), сумма всех положительных делителей числа n .
• a ( n ): количество неизоморфных абелевых групп порядка n .
• λ ( n ): функция Лиувилля , λ ( n ) = (−1) ^{Ω ( n ),} где Ω ( n ) - общее количество простых чисел (с учетом кратности), делящее n . (полностью мультипликативный).
• γ ( n ), определяемый формулой γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , где аддитивная функция ω ( n ) - это количество различных простых чисел, делящих n .
• τ ( n ): тау-функция Рамануджана .
• Все символы Дирихле являются полностью мультипликативными функциями. Например
  • ( n / p ), символ Лежандра , рассматриваемый как функция от n, где p - фиксированное простое число .

Примером немультипликативной функции является арифметическая функция r ₂ ( n ) - количество представлений n в виде суммы квадратов двух целых чисел, положительных , отрицательных или нулевых , где при подсчете количества путей выполняется обратное преобразование заказ разрешен. Например:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

и поэтому r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Это показывает, что функция не является мультипликативной. Однако r ₂ ( n ) / 4 мультипликативно.

В On-Line Энциклопедии целочисленных последовательностей , последовательности значений мультипликативной функции имеют ключевое слово «мульт».

См. Арифметические функции для некоторых других примеров не мультипликативных функций.

Свойства [ править ]

Мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в степенях простых чисел , что является следствием основной теоремы арифметики . Таким образом, если n - произведение степеней различных простых чисел, скажем, n = p ^a q ^b ..., то f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Это свойство мультипликативных функций значительно снижает потребность в вычислениях, как в следующих примерах для n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

d (144) = σ ₀ (144) = σ ₀ (2 ⁴ ) σ ₀ (3 ² ) = (1 ⁰ + 2 ⁰ + 4 ⁰ + 8 ⁰ + 16 ⁰ ) (1 ⁰ + 3 ⁰ + 9 ⁰ ) = 5 · 3 = 15,

σ (144) = σ ₁ (144) = σ ₁ (2 ⁴ ) σ ₁ (3 ² ) = (1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 8 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 3 ¹ + 9 ¹ ) = 31 · 13 = 403,

σ ^* (144) = σ ^* (2 ⁴ ) σ ^* (3 ² ) = (1 ¹ + 16 ¹ ) (1 ¹ + 9 ¹ ) = 17 · 10 = 170.

Аналогично у нас есть:

${\ displaystyle \ varphi}$(144) = (2 ⁴ ) (3 ² ) = 8 · 6 = 48${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

В общем случае, если f ( n ) - мультипликативная функция, а a , b - любые два положительных целых числа, то

f ( a ) · f ( b ) = f ( gcd ( a , b )) · f ( lcm ( a , b )).

Каждый вполне мультипликативная функция является гомоморфизмом из моноидов и полностью определяется своим ограничением простых чисел.

Свертка [ править ]

Если е и г имеют две мультипликативных функции, один определяет новую мультипликативная функцию е * г , то свертку Дирихля из е и г , от

${\ Displaystyle (е \, * \, g) (n) = \ сумма _ {d | n} f (d) \, g \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)}$

где сумма продолжается по всем положительным делителям d числа n . С помощью этой операции набор всех мультипликативных функций превращается в абелеву группу ; единичный элемент является ε . Свертка коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно сложения.

Связи между мультипликативными функциями, описанными выше, включают:

• μ * 1 = ε ( формула обращения Мёбиуса )
• ( μ Id _k ) * Id _k = ε (обобщенная инверсия Мёбиуса)
• ${\ displaystyle \ varphi}$ * 1 = Идентификатор
• d = 1 * 1
• σ = Id * 1 = * d${\ displaystyle \ varphi}$
• σ _k = Id _k * 1
• Id = * 1 = σ * μ${\ displaystyle \ varphi}$
• Id _k = σ _k * μ

Свертка Дирихле может быть определена для общих арифметических функций и дает кольцевую структуру, кольцо Дирихле .

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативный. Доказательство этого факта дается следующим разложением относительно простого числа : ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Z} ^ {+}}$

${\displaystyle (f\ast g)(ab)=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).}$

Ряды Дирихле для некоторых мультипликативных функций [ править ]

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Больше примеров можно найти в статье о серии Дирихле .

Мультипликативная функция над F _q [ X ] [ править ]

Пусть A = F _q [ X ] , кольцо многочленов над конечным полем из q элементов. A - область главных идеалов, и поэтому A - уникальная область факторизации .

Сложная функция на А называется мультипликативным , если всякий раз , когда е и г являются взаимно простыми .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$

Дзета-функция и ряд Дирихле в F _q [ X ] [ править ]

Пусть h - полиномиальная арифметическая функция (т. Е. Функция на множестве монических полиномов над A ). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$

где для установить, если и в противном случае.${\displaystyle g\in A,}$${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$${\displaystyle g\neq 0,}$${\displaystyle |g|=0}$

Тогда полиномиальная дзета-функция имеет вид

${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$

Подобно ситуации в N , каждый ряд Дирихле мультипликативной функции h имеет представление произведения (произведение Эйлера):

${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),}$

где произведение берется по всем унитарный неприводимые многочлены P . Например, произведение дзета-функции такое же, как и для целых чисел:

${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}$

В отличие от классической дзета-функции , это простая рациональная функция:${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$

Аналогичным образом, если е и г два полиномиальные арифметические функции, один определяет F  *  г , тем свертка Дирихля из е и г , по

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}}$

где сумма берется по всем моническим делителям d числа  m или, что эквивалентно, по всем парам ( a , b ) монических многочленов, произведение которых равно m . Тождество все еще в силе.${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

См. Также [ править ]

• Произведение Эйлера
• Белл серии
• Серия Ламберта

Ссылки [ править ]

• См. Главу 2 Апостола, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту  0434929 , Zbl  0335.10001

Внешние ссылки [ править ]

• Планета Математика