В математике , эквалайзер представляет собой набор аргументов , где две или более функций имеют одинаковые значения. Эквалайзер представляет собой набор решений из уравнения . В определенных контекстах ядро разности является уравнителем ровно двух функций.
Определения [ править ]
Пусть X и Y - множества . Пусть е и г быть функции , как из X в Y . Затем эквалайзер из е и г есть множество элементов х из X таких , что F ( х ) равен г ( х ) в Y . Символически:
Эквалайзер может быть обозначен Eq ( f , g ) или вариацией на эту тему (например, строчными буквами «eq»). В неформальном контексте используется обозначение { f = g }.
В приведенном выше определении используются две функции f и g , но нет необходимости ограничиваться только двумя функциями или даже конечным числом функций. В общем, если F - это набор функций от X до Y , то уравнитель членов F - это набор элементов x из X таких, что для любых двух членов f и g из F , f ( x ) равно g ( х ) в Y . Символически:
Этот эквалайзер может быть записан как Eq ( f , g , h , ...), если это набор { f , g , h , ...}. В последнем случае можно также найти { f = g = h = ···} в неформальном контексте.
В вырожденном случае общего определения, пусть F быть одноточечным { е }. Так как F ( х ) всегда равно самому себе, эквалайзер должен быть весь домен Х . Как еще более вырожденный случай, пусть F - пустое множество . Тогда эквалайзером снова будет вся область X , так как универсальная квантификация в определении пусто истинна .
Ядра различий [ править ]
Двоичный эквалайзер (то есть эквалайзер всего двух функций) также называется ядром разности . Это также может быть обозначено DiffKer ( f , g ), Ker ( f , g ) или Ker ( f - g ). Последнее обозначение показывает, откуда взялась эта терминология и почему она наиболее распространена в контексте абстрактной алгебры : ядро разности f и g - это просто ядро разности f - g . Кроме того, ядро отдельной функции f может быть восстановлено как разностное ядро Eq ( f, 0), где 0 - постоянная функция с нулевым значением .
Конечно, все это предполагает алгебраический контекст, в котором ядро функции является ее прообразом под нулем; это верно не во всех ситуациях. Однако терминология «разностное ядро» другого значения не имеет.
В теории категорий [ править ]
Эквалайзеры могут быть определены универсальным свойством , которое позволяет обобщить понятие от категории множеств до произвольных категорий .
В общем контексте, X и Y являются объектами, а е и г морфизмы из X в Y . Эти объекты и морфизмы образуют диаграмму в рассматриваемой категории, а эквалайзер - это просто предел этой диаграммы.
В более явных терминах эквалайзер состоит из объекта E и морфизма eq : E → X, удовлетворяющего и такого, что для любого объекта O и морфизма m : O → X , если , то существует единственный морфизм u : O → E такой, что .
Говорят, что морфизм уравнивает и если . [1]
В любой универсальной алгебраической категории, включая категории, в которых используются разностные ядра, а также в самой категории множеств, объект E всегда можно рассматривать как обычное понятие эквалайзера, а морфизм eq в этом случае может быть взят как быть функцией включения из Е в качестве подмножества из X .
Обобщение этого более чем на два морфизма несложно; просто используйте более крупную диаграмму с большим количеством морфизмов в ней. Вырожденный случай только одного морфизма также очевиден; то экв может быть любой изоморфизм из объекта Е к X .
Правильная диаграмма для вырожденного случая без морфизмов немного тонка: сначала можно было бы нарисовать диаграмму как состоящую из объектов X и Y, а не морфизмов. Это неверно, однако, так как предел такой диаграммы является продуктом из X и Y , а не эквалайзера. (И действительно, продукты и эквалайзеры - это разные концепции: теоретико-множественное определение продукта не согласуется с теоретико-множественным определением эквалайзера, упомянутым выше, следовательно, они на самом деле разные.) Вместо этого правильное понимание состоит в том, что каждая схема эквалайзера принципиально связан с X , включая Y, только потому, чтоY - область морфизмов, которые появляются на диаграмме. С этой точки зрения, мы видим , что если нет морфизмов участвующих, Y не сделать внешний вид и схема эквалайзера состоит из X в одиночку. Предел этой диаграммы , то любой изоморфизм между Е и X .
Можно доказать, что любой эквалайзер в любой категории является мономорфизмом . Если в данной категории верно обратное , то эта категория называется регулярной (в смысле мономорфизмов). В более общем смысле, регулярный мономорфизм в любой категории - это любой морфизм m, который является уравнителем некоторого набора морфизмов. Некоторые авторы более строго требуют, чтобы m было бинарным эквалайзером, то есть эквалайзером ровно двух морфизмов. Однако, если рассматриваемая категория является полной , то оба определения совпадают.
Понятие разностного ядра также имеет смысл в теоретико-категориальном контексте. Термин «ядро разности» является общим в теории категорий для любого двоичного эквалайзера. В случае предаддитивной категории (категории, обогащенной категорией абелевых групп ) термин «разностное ядро» можно интерпретировать буквально, поскольку вычитание морфизмов имеет смысл. То есть Eq ( f , g ) = Ker ( f - g ), где Ker обозначает теоретико-категориальное ядро .
В любой категории продуктов из волокна (откаты) и продуктов есть эквалайзеры.
См. Также [ править ]
- Coequaliser , двойственное понятие, полученное обращением стрелок в определении эквалайзера.
- Теория совпадений , топологический подход к эквалайзерам в топологических пространствах .
- Pullback - специальный предел, который можно построить из эквалайзеров и продуктов.
Заметки [ править ]
- ^ Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для информатики (PDF) . п. 266. Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 20 июля 2013 .
Ссылки [ править ]
- Эквалайзер в nLab
Внешние ссылки [ править ]
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры эквалайзеров в категории конечных наборов. Автор Джоселин Пейн .
| vтеТеория категорий | |||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Категория
Контур