Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике и логике термин «уникальность» относится к свойству быть единственным и неповторимым объектом, удовлетворяющим определенному условию. [1] [2] Этот вид количественной оценки известен как количественная оценка уникальности или уникальная количественная оценка существования и часто обозначается символами « ∃ !». [3] или «∃ = 1 ». Например, формальное заявление
может быть прочитано как «существует ровно одно такое натуральное число ».
Доказательство уникальности [ править ]
Самый распространенный метод доказательства уникального существования определенного объекта - сначала доказать существование объекта с желаемым состоянием, а затем доказать, что любые два таких объекта (скажем, и ) должны быть равны друг другу (т.е. ) .
Например, чтобы показать, что уравнение имеет ровно одно решение , нужно сначала установить, что существует по крайней мере одно решение, а именно 3; Доказательство этой части - это просто проверка того, что выполняется следующее уравнение:
Чтобы установить единственность решения, следует предположить, что есть два решения, а именно и , удовлетворяющие . То есть,
По транзитивности равенства
Вычитая 2 с обеих сторон, получаем
что завершает доказательство того, что 3 - единственное решение .
В общем, как существование (существует хотя бы один объект), так и уникальность (существует не более одного объекта) должны быть доказаны, чтобы сделать вывод о том, что существует ровно один объект, удовлетворяющий указанному условию.
Альтернативный способ доказать уникальность - доказать, что существует объект, удовлетворяющий условию, а затем доказать, что каждый объект, удовлетворяющий условию, должен быть равен . [1]
Сведение к обычной экзистенциальной и универсальной количественной оценке [ править ]
Количественная оценка уникальности может быть выражена в терминах экзистенциальных и универсальных кванторов логики предикатов , определяя формулу как
что логически эквивалентно
Эквивалентное определение, которое разделяет понятия существования и уникальности на два пункта за счет краткости:
Другое эквивалентное определение, имеющее преимущество краткости, - это
Обобщения [ править ]
Количественная оценка уникальности может быть обобщена на количественную оценку подсчета (или количественную оценку [4] ). Это включает как количественную оценку формы «существует ровно k объектов, таких что…», так и «существует бесконечно много объектов, таких что…» и «существует лишь конечное количество объектов, таких что…». Первая из этих форм может быть выражена с помощью обычных кванторов, но две последние не могут быть выражены в обычной логике первого порядка . [5]
Уникальность зависит от понятия равенства . Ослабление этого до некоторого более грубого отношения эквивалентности дает количественную оценку уникальности с точностью до этой эквивалентности (в рамках этой концепции регулярная уникальность - это «уникальность с точностью до равенства»). Например, многие понятия в теории категорий определены как уникальные с точностью до изоморфизма .
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ а б «Окончательный словарь высшего математического жаргона - Уникальность» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Теорема единственности" . mathworld.wolfram.com . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ «2.5 Аргументы уникальности» . www.whitman.edu . Проверено 15 декабря 2019 .
- ^ Helman, Glen (1 августа 2013). «Числовая количественная оценка» (PDF) . persweb.wabash.edu . Проверено 14 декабря 2019 .
- ^ Это следствие теоремы о компактности .
Библиография [ править ]
- Клини, Стивен (1952). Введение в метаматематику . Ishi Press International. п. 199.
- Эндрюс, Питер Б. (2002). Введение в математическую логику и теорию типов к истине через доказательство (2-е изд.). Дордрехт: Kluwer Acad. Publ. п. 233. ISBN. 1-4020-0763-9.