 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В математике , то категория Grp (или Gp [1] ) имеет класс всех групп для объектов и групп гомоморфизмов для морфизмов . Таким образом, это конкретная категория . Изучение этой категории известно как теория групп .
Отношение к другим категориям [ править ]
Есть два забывчивых функтора из Grp : M: Grp → Mon от групп к моноидам и U: Grp → Set от групп к множествам . M имеет два сопряженных узла : один правый, I: Mon → Grp , и один левый, K: Mon → Grp . I: Mon → Grp - это функтор, отправляющий каждый моноид в подмоноид обратимых элементов, а K: Mon → Grp - функтор, отправляющий каждый моноид в группу Гротендика.этого моноида. Забывающий функтор U: Grp → Set имеет левый сопряженный элемент, задаваемый составным KF: Set → Mon → Grp , где F - свободный функтор ; этот функтор правопреемников к каждому множеству S в свободную группу на S.
Категориальные свойства [ править ]
В мономорфизмах в Grp в точности инъективных гомоморфизмы, то эпиморфизмы являются именно сюръективными гомоморфизмами, и изоморфизмы являются именно биективным гомоморфизмом.
Категория Grp является как полной, так и со-полной . Категория теоретико-продукт в Grp является только прямым произведением групп в то время как категория теоретико-копроизведение в Grp является свободным произведением групп. Эти нулевые объекты в Grp являются тривиальными группами (состоящих только из единичного элемента).
Каждый морфизм f : G → H в Grp имеет теоретико-категориальное ядро (заданное обычным ядром алгебры ker f = { x в G | f ( x ) = e }), а также теоретико-категориальное коядро (заданное формулой фактор - группа из H по нормальному замыканию в F ( G ) в H ). В отличие от абелевых категорий неверно, что каждый мономорфизм в Grp является ядром своего коядра.
Не аддитивный и, следовательно, не абелев [ править ]
Категория абелевых групп , Ab , является полная подкатегория в Grp . Ab - абелева категория , а Grp - нет. В самом деле, Grp даже не является аддитивной категорией , потому что нет естественного способа определить «сумму» двух гомоморфизмов групп. Доказательство этого состоит в следующем: множество морфизмов из симметрической группы S 3 порядка три в себя,, имеет десять элементов: элемент z , произведение которого по обе стороны от каждого элемента E равно z(гомоморфизм, переводящий каждый элемент в единицу), три элемента, продукт которых на одной фиксированной стороне всегда сам (проекции на три подгруппы второго порядка), и шесть автоморфизмов. Если бы Grp была аддитивной категорией, то это множество E из десяти элементов было бы кольцом . В любом кольце, нулевой элемент выделяется тем свойством , что 0 х = х 0 = 0 для всех х в кольце, и так г должен быть нулем Е . Однако в E нет двух ненулевых элементов , произведение которых равно z , поэтому это конечное кольцо не будет иметь делителей нуля . АКонечное кольцо без делителей нуля - это поле , но нет поля с десятью элементами, потому что каждое конечное поле имеет степень простого числа.
Точные последовательности [ править ]
Понятие точной последовательности имеет смысл в Grp , и некоторые результаты теории абелевых категорий, такие как лемма о девяти, лемме о пяти и их следствия, верны в Grp . Однако лемма о змее неверна в Grp .
Grp - это обычная категория .
Ссылки [ править ]
- ^ Borceux, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Springer. п. 20. ISBN 1-4020-1961-0.
- Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Dover Publications . ISBN 978-0-486-45026-1. Проверено 25 ноября 2009 .
