Функтор

В математике , особенно в теории категорий , функтор - это отображение между категориями . Функторы впервые были рассмотрены в алгебраической топологии , где алгебраические объекты (такие как фундаментальная группа ) связаны с топологическими пространствами , а отображения между этими алгебраическими объектами связаны с непрерывными отображениями между пространствами. В настоящее время функторы используются в современной математике для связи различных категорий. Таким образом, функторы важны во всех областях математики, к которым применяется теория категорий .

Слова категория и функтор были заимствованы математиками у философов Аристотеля и Рудольфа Карнапа соответственно. ^[1] Последний использовал функтор в лингвистическом контексте; ^[2] см. Служебное слово .

Определение [ править ]

Пусть C и D быть категории . Функтор Р из С к D является отображение, ^[3]

связывает каждый объект в C с объектом в D , ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F (X)}$
связывает каждый морфизм в C с морфизмом в D такой, что выполняются следующие два условия: ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ Displaystyle F (F) \ двоеточие F (X) \ к F (Y)}$
- ${\ Displaystyle F (\ mathrm {id} _ {X}) = \ mathrm {id} _ {F (X)} \, \!}$ для каждого объекта в C , ${\ displaystyle X}$
- ${\ Displaystyle F (г \ CIRC F) = F (г) \ CIRC F (F)}$ для всех морфизмов и в C . ${\ Displaystyle е \ двоеточие X \ в Y \, \!}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие от Y \ до Z}$

То есть функторы должны сохранять тождественные морфизмы и композицию морфизмов.

Ковариация и контравариантность [ править ]

В математике есть много конструкций, которые были бы функторами, если бы не тот факт, что они «переворачивают морфизмы» и «меняют композицию». Затем мы определяем контравариантный функтор F из C в D как отображение, которое

связывает каждый объект в C с объектом в D , ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle F (X)}$
сопоставляет каждому морфизму в C такой морфизм в D , что выполняются следующие два условия: ${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$ ${\ Displaystyle F (F) \ двоеточие F (Y) \ к F (X)}$
- ${\ Displaystyle F (\ mathrm {id} _ {X}) = \ mathrm {id} _ {F (X)} \, \!}$ для каждого объекта в C , ${\ displaystyle X}$
- $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ для всех морфизмов и в C . $f\colon X\to Y$ $g\colon Y\to Z$

Обратите внимание, что контравариантные функторы меняют направление композиции.

Обычные функторы также называются ковариантными , чтобы отличать их от контравариантных. Обратите внимание, что можно также определить контравариантный функтор как ковариантный функтор в противоположной категории . ^[4] Некоторые авторы предпочитают писать все выражения ковариантно. То есть вместо того, чтобы сказать, что это контравариантный функтор, они просто пишут (или иногда ) и называют его функтором. $C^{\mathrm {op} }$ $F\colon C\to D$ $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$

Контравариантные функторы также иногда называют кофункторами . ^[5]

Существует соглашение , которое относится к «векторам» -ie, векторные полей , элементы пространства сечений одного касательного расслоение -as «контравариантного» и «ковекторы» -ie, 1-формам , элементы пространства секций из котангенс расслоение ий «ковариантен». Эта терминология берет свое начало в физике, и ее обоснование связано с положением индексов («наверху» и «внизу») в таких выражениях , как « для» или « для». В этом формализме наблюдается, что символ преобразования координат (представляющий матрицу ) действует на базисные векторы «таким же образом»как по "координатам ковектора": $\Gamma (TM)$ $TM$ $\Gamma (T^{*}M)$ $T^{*}M$ $x'^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{T}.$ $\Lambda _{i}^{j}$ ${\boldsymbol {\Lambda }}^{T}$ $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$ - поскольку действует «наоборот» на «векторные координаты» (но «так же», как и на базисные ковекторы:) . Эта терминология противоречит терминологии, используемой в теории категорий, потому что именно ковекторы имеют откаты в целом и, таким образом, контравариантны , тогда как векторы в целом ковариантны, поскольку их можно подтолкнуть вперед . См. Также Ковариация и контравариантность векторов . $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$

Противоположный функтор [ править ]

Каждый функтор индуцирует противоположный функтор , где и являются противоположными категориями до и . ^[6] По определению, отображает объекты и морфизмы идентично . Так как не совпадает с как категории, а так же для , отличается от . Например, при составлении с помощью следует использовать либо или . Обратите внимание , что, следуя свойству противоположной категории , . $F\colon C\to D$ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ $C^{\mathrm {op} }$ $D^{\mathrm {op} }$ $C$ $D$ $F^{\mathrm {op} }$ $F$ $C^{\mathrm {op} }$ $C$ $D$ $F^{\mathrm {op} }$ $F$ $F\colon C_{0}\to C_{1}$ $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ $G\circ F^{\mathrm {op} }$ $G^{\mathrm {op} }\circ F$ $(F^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }=F$

Бифункторы и мультифункторы [ править ]

Бифунктор (также известный как двоичный функтор ) функтор, область является категорией продукта . Например, функтор Hom имеет тип C ^op × C → Set . Его можно рассматривать как функтор с двумя аргументами. Хом функтор является естественным примером; он контравариантен по одному аргументу, ковариантен по другому.

Multifunctor является обобщением понятия функтора к п переменных. Так, например, бифунктор - это мультифунктор с n = 2 .

Примеры [ править ]

Диаграмма : для категорий C и J диаграмма типа J в C является ковариантным функтором. $D\colon J\to C$

(Категория теоретический) Предпучок : для категорий C и J , A J -presheaf на C является контравариантным функтором. $D\colon C\to J$

Предварительные пучки: если X - топологическое пространство , то открытые множества в X образуют частично упорядоченное множество Open ( X ) при включении. Как и любой частично упорядоченный набор, Open ( X ) образует небольшую категорию, добавляя единственную стрелку U → V тогда и только тогда, когда . Контравариантная функторы на Open ( X ) называются предпучки на X . Так , например, путем присвоения каждому открытому множеству U ассоциативной алгебры вещественных непрерывных функций на U $U\subseteq V$ , Получаем предпучок алгебр на X .

Константа функтор: Функтор C → D , который отображает каждый объект C до фиксированного объекта X в D , и каждый морфизм в С к морфизму идентичности на X . Такой функтор называется константой или функтором выбора .

Эндофунктор : функтор, который отображает категорию в ту же категорию; например, полиномиальный функтор .

Функтор идентичности : в категории C , обозначаемый как 1 _C или id _C , отображает объект на себя, а морфизм - на себя. Функтор идентичности - это эндофунктор.

Диагональный функтор : диагональный функтор определяется как функтор из D в категорию функторов D ^C, который отправляет каждый объект в D в постоянный функтор этого объекта.

Предельный функтор : для фиксированной индексной категории J , если каждый функтор J → C имеет предел (например, если C полон), то предельный функтор C ^J → C присваивает каждому функтору его предел. Существование этого функтора можно доказать, поняв, что он является сопряженным справа к диагональному функтору, и применив теорему Фрейда о сопряженном функторе . Это требует подходящей версии выбранной аксиомы . Аналогичные замечания применимы к функтору копредела (который назначает каждому функтору его копредел и является ковариантным).

Наборы мощности: Функтор набора мощности P : Set → Set сопоставляет каждый набор со своим набором мощности, а каждую функцию - с картой, которая отправляет его изображению . Можно также рассмотреть контравариантный функтор набора мощности, который отправляет карте, которая отправляет ее обратному изображению $f\colon X\to Y$ $U\in {\mathcal {P}}(X)$ $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ $f\colon X\to Y$ $V\subseteq Y$ $f^{-1}(V)\subseteq X.$

Например, если тогда . Допустим и . Тогда это функция , которая отправляет любое подмножество из его образа , который в данном случае означает , где обозначает отображение , при , так что это также может быть записана в виде . Для других значений обратите внимание, что, следовательно, генерируется тривиальная топология на . Также обратите внимание, что хотя функция в этом примере отображается на набор мощности , в общем случае это не обязательно. $X=\{0,1\}$ $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ $f(0)=\{\}$ $f(1)=X$ $F(f)$ $U$ $X$ $f(U)$ $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ $\mapsto$ $F(f)$ $(F(f))(\{\})=\{\}$ $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ $f(\{0,1\})$ $X$ $f$ $X$

Двойное векторное пространство : карта, которая назначает каждому векторному пространству его двойственное пространство и каждой линейной карте его двойственное или транспонированное, является контравариантным функтором из категории всех векторных пространств над фиксированным полем к самому себе.

Фундаментальная группа: рассмотрим категорию точечных топологических пространств , то есть топологических пространств с выделенными точками. Объекты являются пары ( X , х ₀ ) , где Х представляет собой топологическое пространство , а х ₀ является точкой в X . Морфизм из ( X , x ₀ ) в ( Y , y ₀ ) задается непрерывным отображением f : X → Y с f ( x₀ ) = у ₀ .

Каждому топологическому пространству X с выделенной точкой x ₀ можно определить фундаментальную группу, основанную на x ₀ , обозначенную π ₁ ( X , x ₀ ) . Это группа из гомотопических классов петель на основе при х ₀ . Если f : X → Y - морфизм точечных пространств , то каждую петлю в X с базовой точкой x ₀ можно составить с помощью fчтобы получить петлю по Y с базовой точкой y ₀ . Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и композицией петель, и мы получаем гомоморфизм групп из π ( X , x ₀ ) в π ( Y , y ₀ ) . Таким образом, мы получаем функтор из категории точечных топологических пространств в категорию групп .

В категории топологических пространств (без выделенной точки) рассматриваются гомотопические классы общих кривых, но их нельзя составить, если они не имеют общего конца. Таким образом, вместо фундаментальной группы имеется фундаментальный группоид , и эта конструкция является функториальной.

Алгебра непрерывных функций: контравариантный функтор из категории топологических пространств (с непрерывными отображениями как морфизмы) в категорию вещественных ассоциативных алгебр задается путем сопоставления каждому топологическому пространству X алгебры C ( X ) всех действительных непрерывных функций на этом пространстве. Каждое непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм алгебр C ( f ): C ( Y ) → C ( X ) по правилу C ( f ) ( φ ) = φ ∘ fдля любого φ из C ( Y ).

Касательные и кокасательные расслоения: отображение, которое переводит каждое дифференцируемое многообразие в его касательное расслоение, а каждое гладкое отображение - в свою производную, является ковариантным функтором из категории дифференцируемых многообразий в категорию векторных расслоений .

Выполнение этих построений поточечно дает касательное пространство , ковариантный функтор из категории точечных дифференцируемых многообразий в категорию вещественных векторных пространств. Точно так же кокасательное пространство - это контравариантный функтор, по сути, композиция касательного пространства с двойственным пространством выше.

Групповые действия / представление: Каждая группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом морфизмов являются элементами G . Функтор от G до Сета не то иное, как действие группы из G на определенном наборе, т.е. G -множество. Кроме того, функтор из G в категории векторных пространств , Vect _K , является линейным представлением о G . В общем случае функтор G → C можно рассматривать как «действие» группы Gна объекте в категории C . Если C - группа, то это действие является гомоморфизмом групп.

Алгебры Ли: назначение каждой действительной (комплексной) группе Ли ее действительной (комплексной) алгебры Ли определяет функтор.

Тензорные произведения: если C обозначает категорию векторных пространств над фиксированным полем с линейными отображениями как морфизмы, то тензорное произведение определяет функтор C × C → C, ковариантный по обоим аргументам. ^[7] $V\otimes W$

Забывчивые функторы: Функтор U : Grp → Set, который отображает группу в ее базовое множество, а гомоморфизм группы в ее базовую функцию множеств, является функтором. ^[8] Подобные функторы , которые «забывают» некоторую структуру, называются функторами забывания . Другой пример - функтор Rng → Ab, который отображает кольцо в лежащую в его основе аддитивную абелеву группу . Морфизмы в Rng ( гомоморфизмы колец ) становятся морфизмами в Ab (гомоморфизмами абелевых групп).

Свободные функторы. Свободные функторы движутся в противоположном направлении от забывчивых функторов. Свободный функтор F : набор → Гр отправляет каждое множество X в свободной группе , порожденной X . Функции отображаются в гомоморфизмы групп между свободными группами. Для многих категорий существуют бесплатные конструкции, основанные на структурированных наборах. См. Бесплатный объект .

Гомоморфизмом группы: Для каждой пары А , Б из абелевых групп можно назначить абелеву группу Хом ( A , B ) , состоящее из всех гомоморфизмов группы от A до B . Это функтор, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму аргументу, т. Е. Это функтор Ab ^op × Ab → Ab (где Ab обозначает категорию абелевых групп с гомоморфизмами групп). Если f : A ₁ → A ₂ иg : B ₁ → B ₂ - морфизмы в Ab , то гомоморфизм групп Hom ( f , g ) : Hom ( A ₂ , B ₁ ) → Hom ( A ₁ , B ₂ ) задается формулой φ ↦ g ∘ φ ∘ f . См. Функтор Hom .

Представимые функторы: Мы можем обобщить предыдущий пример для любой категории C . Для каждой пары X , У объектов в C можно присвоить множество Hom ( X , Y ) морфизмов из X в Y . Это определяет функтор Set, который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму, т. Е. Это функтор C ^op × C → Set . Если f : X ₁ → X ₂ и g : Y₁ → Y ₂ - морфизмы в C , то отображение Hom ( f , g ): Hom ( X ₂ , Y ₁ ) → Hom ( X ₁ , Y ₂ ) задается формулой φ ↦ g ∘ φ ∘ f .

Подобные функторы называются представимыми функторами . Во многих случаях важной целью является определение представимости данного функтора.

Свойства [ править ]

Два важных следствия аксиом функторов :

F превращает каждую коммутативную диаграмму в C в коммутативную диаграмму в D ;
если е является изоморфизмом в С , то Р ( е ) является изоморфизмом в D .

Можно составить функторы, то есть , если Р есть функтор из A к B и G является функтором из B в C , то можно образовать составной функтор G ∘ F от A до C . Состав функторов ассоциативен там, где он определен. Тождество композиции функторов - это тождественный функтор. Это показывает, что функторы можно рассматривать как морфизмы в категориях категорий, например в категории малых категорий .

Небольшая категория с одним объектом - это то же самое, что и моноид : морфизмы категории с одним объектом можно рассматривать как элементы моноида, а композиция в категории считается операцией моноида. Функторы между однообъектными категориями соответствуют гомоморфизмам моноидов . Таким образом, в некотором смысле функторы между произвольными категориями являются своего рода обобщением моноидных гомоморфизмов на категории с более чем одним объектом.

Отношение к другим категориальным понятиям [ править ]

Пусть C и D категории. Совокупность всех функторов от C до D образует объекты категории: категории функторов . Морфизмы в этой категории - естественные преобразования между функторами.

Функторы часто определяются универсальными свойствами ; примерами являются тензорное произведение , прямая сумма и прямое произведение групп или векторных пространств, построение свободных групп и модулей, прямые и обратные пределы. Понятия предела и копредела обобщают некоторые из вышеперечисленных.

Универсальные конструкции часто порождают пары сопряженных функторов .

Компьютерные реализации [ править ]

Функторы иногда появляются в функциональном программировании . Например, в языке программирования Haskell есть класс, в Functor котором fmap- политипическая функция, используемая для отображения функций ( морфизмов в Hask , категории типов Haskell) ^[9] между существующими типами и функциями между некоторыми новыми типами. ^[10]

См. Также [ править ]

Категория функторов
Кан расширение
Псевдофунктор

Заметки [ править ]

↑ Mac Lane, Saunders (1971), Категории для рабочего математика , Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
^ Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка , Routledge & Kegan, стр. 13–14.
^ Якобсон (2009) , стр. 19, деф. 1.2.
Перейти ↑ Jacobson (2009) , pp. 19–20.
^ Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий . Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN 9789400995505. Проверено 23 апреля 2016 года .
^ Мак-Лейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
^ Хазевинкель, Михель ; Губарени Надежда Михайловна ; Губарени, Надия ; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
^ Якобсон (2009) , стр. 20, пр. 2.
^ Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. См. Https://wiki.haskell.org/Hask для получения более подробной информации.
^ См. Https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell для получения дополнительной информации.

Ссылки [ править ]

Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 2 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47187-7.

Внешние ссылки [ править ]

Найдите функтор в Викисловаре, бесплатном словаре.

"Функтор" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
см. функтор в nLab и варианты, обсуждаемые и связанные с ними.
Андре Жоял , CatLab , вики-проект, посвященный демонстрации категориальной математики
Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : Пропущенное или пустое |url=( справочное ) формальное введение в теорию категорий.
Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
Стэнфордская энциклопедия философии : " Теория категорий " - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
Список научных конференций по теории категорий
Баэз, Джон, 1996, « Сказка о n- категориях ». Неформальное введение в категории высшего порядка.
WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов, естественных преобразований , универсальных свойств .
The catsters , YouTube-канал о теории категорий.
Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.

[1] Mac Lane, Saunders (1971), Категории для рабочего математика , Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1

[2] Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка , Routledge & Kegan, стр. 13–14.

[FOOTNOTEJacobson2009p._19,_def._1.2-3] Якобсон (2009) , стр. 19, деф. 1.2.

[FOOTNOTEJacobson200919–20-4] Перейти ↑ Jacobson (2009) , pp. 19–20.

[Popescu1979-5] Попеску, Николае; Попеску, Лилиана (1979). Теория категорий . Дордрехт: Спрингер. п. 12. ISBN 9789400995505. Проверено 23 апреля 2016 года .

[6] Мак-Лейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1992), Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2

[7] Хазевинкель, Михель ; Губарени Надежда Михайловна ; Губарени, Надия ; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4

[FOOTNOTEJacobson2009p._20,_ex._2-8] Якобсон (2009) , стр. 20, пр. 2.

[9] Не совсем ясно, действительно ли типы данных Haskell образуют категорию. См. Https://wiki.haskell.org/Hask для получения более подробной информации.

[10] См. Https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell для получения дополнительной информации.

[1]