Векторное поле

Часть векторного поля (sin  y , sin  x )

В векторном исчислении и физике векторное поле - это присвоение вектора каждой точке в подмножестве пространства . ^[1] Например, векторное поле на плоскости может быть визуализировано как набор стрелок с заданной величиной и направлением, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или силы и направления некоторой силы , такой как магнитная или гравитационная сила, когда она изменяется от одной точки к другой.

Элементы дифференциального и интегрального исчисления естественным образом распространяются на векторные поля. Когда векторное поле представляет силу , линейный интеграл векторного поля представляет работу, совершаемую силой, движущейся по траектории, и в этой интерпретации сохранение энергии проявляется как частный случай фундаментальной теоремы исчисления . Векторные поля можно с пользой рассматривать как представление скорости движущегося потока в пространстве, и эта физическая интуиция приводит к таким понятиям, как дивергенция (которая представляет скорость изменения объема потока) и завихренность (которая представляет вращение потока). поток).

В координатах векторное поле в области в n- мерном евклидовом пространстве может быть представлено как вектор-функция, которая связывает n -набор действительных чисел с каждой точкой области. Это представление векторного поля зависит от системы координат, и существует четко определенный закон преобразования при переходе от одной системы координат к другой. Векторные поля часто обсуждаются на открытых подмножествах евклидова пространства, но также имеют смысл и на других подмножествах, таких как поверхности , где они связывают стрелку, касательную к поверхности в каждой точке ( касательный вектор ).

В более общем смысле векторные поля определяются на дифференцируемых многообразиях , которые представляют собой пространства, которые выглядят как евклидово пространство в малых масштабах, но могут иметь более сложную структуру в больших масштабах. В этих условиях, векторное поле дает касательный вектор в каждой точке многообразия (то есть раздел из касательного расслоения к многообразию). Векторные поля - это один из видов тензорных полей .

Определение [ править ]

Векторные поля на подмножествах евклидова пространства [ править ]

Учитывая подмножество S в R ⁿ , векторное поле представлено векторной функцией V : S → R ⁿ в стандартных декартовых координатах ( x ₁ ,…, x _n ) . Если каждый компонент V непрерывен, то V является непрерывным векторным полем, а в более общем случае V представляет собой С ^к векторному полю , если каждому компонент V является K раза непрерывно дифференцируем .

Векторное поле можно визуализировать как присвоение вектора отдельным точкам в n- мерном пространстве. ^[1]

Для двух C ^k -векторных полей V , W, определенных на S, и действительной C ^k -функции f, определенной на S , две операции скалярного умножения и векторного сложения

${\displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)}$

${\displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p)}$

Определит модуль из C ^к полям -векторных над кольцом из C ^K -функции , где умножение функций определяются точечно (следовательно, коммутативность с мультипликативной идентичностью является й _{идентификатором} ( р ): = 1 ).

Закон преобразования координат [ править ]

В физике вектор дополнительно различается тем, как меняются его координаты, когда один и тот же вектор измеряется относительно другой системы координат фона. Эти свойства преобразования векторов отличить вектор как геометрический отдельный субъект от простого списка скаляров, или из ковектора .

Итак, предположим, что ( x ₁ , ..., x _n ) - это выбор декартовых координат, в терминах которых компоненты вектора V равны

${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$

и предположим, что ( y ₁ , ..., y _n ) - это n функций от x _i, определяющих другую систему координат. Тогда компоненты вектора V в новых координатах должны удовлетворять закону преобразования

${\displaystyle V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}V_{j,x}.}$

( 1 )

Такой закон преобразования называется контравариантным . Подобный закон преобразования характерен для векторных полей в физике: в частности, векторное поле представляет собой спецификацию n функций в каждой системе координат, подчиняющихся закону преобразования ( 1 ), связывающему различные системы координат.

Таким образом, векторные поля противопоставляются скалярным полям , которые связывают число или скаляр с каждой точкой в ​​пространстве, а также противопоставляются простым спискам скалярных полей, которые не преобразуются при изменении координат.

Векторные поля на многообразиях [ править ]

Учитывая дифференцируемое многообразие , векторное поле на представляет собой сопоставление касательного вектора с каждой точкой в . ^[2] Точнее, векторное поле - это отображение из в касательное расслоение, так что это тождественное отображение, где обозначает проекцию из в . Другими словами, векторное поле является раздел из касательного расслоения .${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle p\circ F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle M}$

Альтернативное определение: гладкое векторное поле на многообразии - это линейное отображение , которое является производным : для всех . ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$

Если многообразие гладкое или аналитическое, т. Е. Смена координат гладкая (аналитическая), тогда можно понять понятие гладких (аналитических) векторных полей. Совокупность всех гладких векторных полей на гладком многообразии часто обозначается символом или (особенно если рассматривать векторные поля как сечения ); совокупность всех гладких векторных полей также обозначается ( дробью "X").${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Gamma (TM)}$${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$

Примеры [ править ]

• Векторное поле для движения воздуха на Земле будет связывать для каждой точки на поверхности Земли вектор со скоростью и направлением ветра для этой точки. Его можно нарисовать стрелками, чтобы обозначить ветер; длина ( величина ) стрелки будет показателем скорости ветра. «Высокое» на обычной карте атмосферного давления будет тогда действовать как источник (стрелки указывают в сторону), а «низкое» - как сток (стрелки указывают в сторону), поскольку воздух имеет тенденцию перемещаться из областей высокого давления в области низкого давления. .
• Поле скоростей движущейся жидкости . В этом случае вектор скорости связан с каждой точкой в ​​жидкости.
• Линии тока, линии и траектории - это 3 типа линий, которые могут быть созданы из (зависящих от времени) векторных полей. Они есть:

streaklines: линия, образованная частицами, проходящими через определенную фиксированную точку за разное время

pathlines: показывает путь, по которому будет следовать данная частица (нулевой массы).

линии тока (или линии поля): путь частицы, на которую влияет мгновенное поле (т. е. путь частицы, если поле удерживается фиксированным).

• Магнитные поля . Линии поля видны с помощью небольших железных опилок.
• Уравнения Максвелла позволяют нам использовать заданный набор начальных и граничных условий, чтобы вывести для каждой точки в евклидовом пространстве величину и направление силы, испытываемой заряженной пробной частицей в этой точке; результирующее векторное поле - это электромагнитное поле .
• Гравитационное поле генерируется любым массивным объектом также является векторным полем. Например, все векторы гравитационного поля для сферически-симметричного тела будут указывать в сторону центра сферы, причем величина векторов будет уменьшаться по мере увеличения радиального расстояния от тела.

Поле градиента в евклидовых пространствах [ править ]

Векторные поля могут быть созданы из скалярных полей с помощью оператора градиента (обозначается del : ∇). ^[4]

Векторное поле V, определенное на открытом множестве S , называется градиентным полем или консервативным полем, если существует действительная функция (скалярное поле) f на S такая, что

${\displaystyle V=\nabla f={\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\bigg )}.}$

Связанный поток называется градиентным потоком и используется в методе градиентного спуска .

Интеграл по пути вдоль любой замкнутой кривой Г ( γ (0) = γ (1)) в консервативном поле равно нулю:

${\displaystyle \oint _{\gamma }V({\boldsymbol {x}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=\oint _{\gamma }\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$

Центральное поле в евклидовых пространствах [ править ]

A C ^∞ -векторного поля над R ^п \ {0} называются центральным полем , если

${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbf {R} ))}$

где O ( n , R ) - ортогональная группа . Мы говорим, что центральные поля инвариантны относительно ортогональных преобразований около 0.

Точка 0 называется центром поля.

Поскольку ортогональные преобразования на самом деле являются вращениями и отражениями, условия инвариантности означают, что векторы центрального поля всегда направлены к 0 или от него; это альтернативное (и более простое) определение. Центральное поле всегда является полем градиента, поскольку его определение на одной полуоси и интегрирование дает антиградиент.

Операции с векторными полями [ править ]

Линейный интеграл [ править ]

Распространенный метод в физике - интегрирование векторного поля вдоль кривой , также называемое определением его линейного интеграла . Интуитивно это суммирует все компоненты вектора по касательным к кривой, выраженные как их скалярные произведения. Например, для частицы в силовом поле (например, гравитации), где каждый вектор в некоторой точке пространства представляет силу, действующую там на частицу, линейный интеграл вдоль определенного пути представляет собой работу, совершаемую частицей, когда она движется по этому пути. Интуитивно это сумма скалярных произведений вектора силы и вектора малой касательной в каждой точке кривой.

Линейный интеграл строится аналогично интегралу Римана и существует, если кривая спрямляема (имеет конечную длину) и векторное поле непрерывно.

Учитывая , векторное поле V и кривой Г , параметризованный с т в [ с , Ь ] (где и б являются действительными числами ), интегральная линии определяются как

${\displaystyle \int _{\gamma }V({\boldsymbol {x}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\;\mathrm {d} t.}$

Дивергенция [ править ]

Дивергенции векторного поля на евклидовом пространстве является функцией (или скалярное поле). В трех измерениях расхождение определяется

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$

с очевидным обобщением на произвольные измерения. Дивергенция в точке представляет собой степень, в которой небольшой объем вокруг точки является источником или стоком для векторного потока, результат, который уточняется теоремой о дивергенции .

Дивергенция также может быть определена на римановом многообразии , то есть многообразии с римановой метрикой, которая измеряет длину векторов.

Curl в трех измерениях [ править ]

Ротор представляет собой операцию , которая принимает векторное поле и производит другое векторное поле. Локон определяется только в трех измерениях, но некоторые свойства локона могут быть зафиксированы в более высоких измерениях с помощью внешней производной . В трех измерениях это определяется

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$

Ротор измеряет плотность углового момента векторного потока в точке, то есть величину, с которой поток циркулирует вокруг фиксированной оси. Это интуитивное описание уточняется теоремой Стокса .

Индекс векторного поля [ править ]

Индекс векторного поля - это целое число, которое помогает описать поведение векторного поля вокруг изолированного нуля (т. Е. Изолированной особенности поля). На плоскости индекс принимает значение -1 в сингулярности седла, но +1 в сингулярности источника или стока.

Пусть размерность многообразия, на котором определено векторное поле, равна n . Возьмите небольшую сферу S вокруг нуля так, чтобы никакие другие нули не лежали внутри S. Отображение этой сферы на единичную сферу размерности n  - 1 можно построить, разделив каждый вектор на этой сфере на его длину, чтобы сформировать вектор единичной длины, который является точкой на единичной сфере S ^n-1 . Это определяет непрерывное отображение от S до S ^n-1 . Индекс векторного поля в точке - это степень этой карты. Можно показать, что это целое число не зависит от выбора S, а значит, зависит только от самого векторного поля.

Индекс векторного поля в целом определяется, когда он имеет лишь конечное число нулей. В этом случае все нули изолированы, а индекс векторного поля определяется как сумма индексов во всех нулях.

Индекс не определен ни в одной неособой точке (т. Е. В точке, где вектор не равен нулю). он равен +1 вокруг источника и, в более общем случае, равен (-1) ^k вокруг седла, которое имеет k сжимающихся размеров и nk расширяющихся размеров. Для обычной (2-мерной) сферы в трехмерном пространстве можно показать, что индекс любого векторного поля на сфере должен быть 2. Это показывает, что каждое такое векторное поле должно иметь нуль. Отсюда вытекает теорема волосатого шара , в котором говорится , что если вектор в R ³ присваивается каждой точке единичной сферы S ² в непрерывном режиме, то это невозможно «гребенку волосы плоские», то есть, чтобы выбрать векторы непрерывным образом, так что все они отличны от нуля и касаются S² .

Для векторного поля на компактном многообразии с конечным числом нулей теорема Пуанкаре-Хопфа утверждает, что индекс векторного поля равен эйлеровой характеристике многообразия.

Физическая интуиция [ править ]

Майкл Фарадей , в его концепции силовых линий , подчеркнул , что поле само должно быть предметом исследования, который она стала по всей физике в форме теории поля .

Помимо магнитного поля, другие явления, которые моделировал Фарадей, включают электрическое поле и световое поле .

Кривые потока [ править ]

Рассмотрим поток жидкости через область пространства. В любой момент времени с любой точкой жидкости связана определенная скорость; таким образом, с любым потоком связано векторное поле. Верно и обратное: поток можно связать с векторным полем, имеющим это векторное поле в качестве скорости.

Для векторного поля V, определенного на S , можно определить кривые γ ( t ) на S такие, что для каждого t в интервале I

${\displaystyle \gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.}$

По теореме Пикара-Линделёфа , если V является липшицевы есть уникальный С ¹ -кривой γ _х для каждой точки х в S , так что, для некоторого е> 0,

${\displaystyle \gamma _{x}(0)=x\,}$

${\displaystyle \gamma '_{x}(t)=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbf {R} .}$

Кривые γ _x называются интегральными кривыми или траекториями (или, реже, линиями тока) векторного поля V и разбивают S на классы эквивалентности . Не всегда удается расширить интервал (−ε, + ε) на всю прямую действительных чисел . Поток может, например, достичь края S за конечное время. В двух или трех измерениях можно визуализировать векторное поле как приводящий к потоку на S . Если мы уроним частицу в этот поток в точке p, она будет двигаться по кривой γ _p в потоке в зависимости от начальной точкистр . Если p - стационарная точка V (т. Е. Векторное поле равно нулевому вектору в точке p ), то частица останется в p .

Типичные приложения - это путь в жидкости , геодезический поток , однопараметрические подгруппы и экспоненциальное отображение в группах Ли .

Полные векторные поля [ править ]

По определению векторное поле называется полным, если каждая из его кривых потока существует постоянно. ^[5] В частности, векторные поля с компактным носителем на многообразии полны. Если полное векторное поле на , то однопараметрическая группа из диффеоморфизмов , порожденных потоком вдоль существует для всех времен. На компактном многообразии без края любое гладкое векторное поле полно. Пример неполного векторного поля на действительной прямой приведен в . Для дифференциальное уравнение с начальным условием имеет единственным решением, если ${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle V(x)=x^{2}}$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x^{2}}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\displaystyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$(и для всех, если ). Следовательно , для , не определено в так не может быть определена для всех значений .${\displaystyle x(t)=0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{0}\neq 0}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$${\displaystyle t}$

f-родство [ править ]

Учитывая гладкую функцию между коллекторами, F  : M → N , то производное представляет собой индуцированное отображение на касательных расслоениях , е _*  : TM → TN . Указанные векторные поля V  : М → ТМ и W  : N → TN , будет говорить , что W является F о связанном с V , если уравнение Ш ∘ е = е _* ∘ V имеет место.

Если V _i f- связано с W _i , i = 1, 2, то скобка Ли [ V ₁ , V ₂ ] f- связана с [ W ₁ , W ₂ ].

Обобщения [ править ]

Замена векторов на p -векторы ( p- я внешняя степень векторов) дает p -векторные поля; взятие двойственного пространства и внешних степеней дает дифференциальные k -формы , а их объединение дает общие тензорные поля .

Алгебраически векторные поля можно охарактеризовать как дифференцирование алгебры гладких функций на многообразии, что приводит к определению векторного поля на коммутативной алгебре как дифференцированию на алгебре, которое развивается в теории дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Хаббард, Дж. Х . ; Хаббард, BB (1999). Векторное исчисление, линейная алгебра и дифференциальные формы. Единый подход . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.
• Уорнер, Франк (1983) [1971]. Основания дифференцируемых многообразий и групп Ли . Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.
• Бутби, Уильям (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Чистая и прикладная математика, том 120 (второе изд.). Орландо, Флорида: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с векторными полями .

• Онлайн-редактор векторных полей
• "Векторное поле" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Векторное поле - Mathworld
• Векторное поле - PlanetMath
• 3D-просмотрщик магнитного поля
• Векторные поля и линии поля
• Моделирование векторного поля Интерактивное приложение для демонстрации эффектов векторных полей