Секция (пучок волокон)

Раздел связки . Секция позволяет базовое пространство , чтобы быть идентифицированы с подпространством в .${\ displaystyle s}$${\ displaystyle p \ двоеточие E \ to B}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle s (B)}$${\ displaystyle E}$

Векторное поле на . Сечение касательного векторного расслоения - это векторное поле.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

В математической области топологии , в разделе (или поперечного сечения ) ^[1] в виде пучка волокон является непрерывным правой обратной функцией проекции . Другими словами, если есть расслоение над базовым пространством , :${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$

тогда часть этого расслоения является непрерывным отображением ,

${\ Displaystyle \ sigma \ двоеточие от B \ до E}$

такой, что

${\ Displaystyle \ пи (\ сигма (х)) = х}$для всех .${\ displaystyle x \ in B}$

Раздел - это абстрактная характеристика того, что значит быть графом . График функции могут быть идентифицированы с функцией принимает свои значения в декартово произведение , из и :${\ displaystyle g \ двоеточие от B \ до Y}$ ${\ displaystyle E = B \ times Y}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle \ sigma \ двоеточие B \ к E, \ quad \ sigma (x) = (x, g (x)) \ in E.}$

Пусть проекция на первый множитель: . Тогда график - это любая функция, для которой .${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$${\ Displaystyle \ пи (х, у) = х}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ пи (\ сигма (х)) = х}$

Язык связок волокон позволяет обобщить это понятие сечения на случай, когда это не обязательно декартово произведение. Если это пучок волокон, то участок - это выбор точки в каждом из волокон. Условие просто означает, что секция в точке должна лежать сверху . (См. Изображение.)${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ to B}$${\ Displaystyle \ sigma (х)}$${\ Displaystyle \ пи (\ сигма (х)) = х}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Например, когда это векторное расслоение, сечение - это элемент векторного пространства, лежащий над каждой точкой . В частности, векторное поле на гладком многообразии является выбор касательного вектора в каждой точке : это раздел из касательного расслоения в . Аналогично, 1-форма на - это сечение котангенсного пучка .${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x \ in B}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

Сечения, особенно основных расслоений и векторных расслоений, также являются очень важными инструментами в дифференциальной геометрии . В этой установке, базовое пространство является гладким многообразием , и предполагается, что гладкое расслоение над (т.е., является гладким многообразием и является гладким отображением ). В этом случае, один считает пространство гладких сечений в течение открытого множества , обозначаемое . В геометрическом анализе также полезно рассматривать пространства сечений с промежуточной регулярностью (например, сечения или сечения с регулярностью в смысле условий Гёльдера или${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ pi \ двоеточие от E \ до M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U, E)}$${\ displaystyle C ^ {k}}$Соболевские пространства ).

Локальные и глобальные разделы [ править ]

Пучки волокон обычно не имеют таких глобальных секций (рассмотрим, например, расслоение слоев со слоем, полученным путем взятия расслоения Мёбиуса и удаления нулевого участка), поэтому также полезно определять секции только локально. Локальное сечение пучка волокон является непрерывным отображением , где это открытое множество в и для всех ин . Если это локальная тривиализация из , где есть гомеоморфизм , чтобы (где это волокно ), то локальные участки всегда существуют над${\ Displaystyle S ^ {1}}$${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle s\colon U\to E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi (s(x))=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (U,\varphi )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U\times F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$в биективном соответствии с непрерывными отображениями из в . В (локальные) сечения образуют пучок над называется пучок сечений в .${\displaystyle U}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

Пространство непрерывных сечений расслоения над иногда обозначают , а пространство глобальных сечений часто обозначают или .${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C(U,E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \Gamma (B,E)}$

Распространение на глобальные разделы [ править ]

Сечения изучаются в теории гомотопий и алгебраической топологии , где одной из основных целей является объяснение существования или отсутствия глобальных сечений . Непроходимость отрицает существование глобальных сечений , так как пространство слишком «витая». Точнее, препятствия «препятствуют» возможности расширения локальной секции до глобальной из-за «скрученности» пространства. Препятствия обозначаются конкретными характеристическими классами , которые являются когомологическими классами. Например, у основного пакета есть глобальный раздел тогда и только тогда, когда он тривиален . С другой стороны, векторное расслоениевсегда есть глобальный раздел, а именно нулевой раздел . Однако он допускает нигде не исчезающее сечение, только если его класс Эйлера равен нулю.

Обобщения [ править ]

Препятствия к расширению локальных секций можно обобщить следующим образом: взять топологическое пространство и сформировать категорию , объекты которой являются открытыми подмножествами, а морфизмы - включениями. Таким образом, мы используем категорию для обобщения топологического пространства. Мы обобщаем понятие «локальное сечение», используя пучки абелевых групп , которые ставят в соответствие каждому объекту абелеву группу (аналогично локальным сечениям).

Здесь есть важное различие: интуитивно локальные секции подобны «векторным полям» на открытом подмножестве топологического пространства. Таким образом, в каждой точке назначается элемент фиксированного векторного пространства. Однако пучки могут «непрерывно изменять» векторное пространство (или, в более общем смысле, абелеву группу).

Весь этот процесс на самом деле является функтором глобального раздела , который назначает каждому пучку его глобальный раздел. Тогда когомологии пучков позволяют нам рассматривать аналогичную задачу расширения, «непрерывно меняя» абелеву группу. Теория характеристических классов обобщает идею препятствий для наших расширений.

См. Также [ править ]

• Фибрация
• Калибровочная теория
• Основной пакет
• Пакет Pullback
• Векторный набор

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Норман Стинрод , Топология пучков волокон , Издательство Принстонского университета (1951). ISBN 0-691-00548-6 . 
• Дэвид Бликер, Теория калибровки и вариационные принципы , издательство Addison-Wesley, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7 . 
• Хусемёллер, Дейл (1994), Связки волокон , Springer Verlag, ISBN 0-387-94087-1

Внешние ссылки [ править ]

• Связка волокон , PlanetMath
• Вайсштейн, Эрик В. «Пучок волокна» . MathWorld .