В математике , А пространство Соболева является векторное пространство функций оснащен нормой , которая является комбинацией L р -нормы функции вместе со своими производными до заданного порядка. Производные понимаются в подходящем слабом смысле, чтобы сделать пространство полным , т. Е. Банаховым пространством . Интуитивно пространство Соболева - это пространство функций, обладающих достаточным количеством производных для некоторой области применения, например уравнений в частных производных , и снабженное нормой, которая измеряет как размер, так и регулярность функции.
Пространства Соболева названы в честь русского математика Сергея Соболева . Их важность проистекает из того факта, что слабые решения некоторых важных дифференциальных уравнений в частных производных существуют в подходящих пространствах Соболева, даже если нет сильных решений в пространствах непрерывных функций с производными, понимаемыми в классическом смысле.
Мотивация
В этом разделе и по всей статье это открытое подмножество из
Есть много критериев гладкости математических функций . Самым основным критерием может быть преемственность . Более сильным понятием гладкости является понятие дифференцируемости (поскольку дифференцируемые функции также непрерывны), а еще более сильное понятие гладкости состоит в том, что производная также является непрерывной (эти функции называются функциями класса- см. Классы дифференцируемости ). Дифференцируемые функции важны во многих областях, в частности для дифференциальных уравнений . Однако в двадцатом веке было замечено, что пространство (или же и т. д.) было не совсем подходящим местом для изучения решений дифференциальных уравнений. Пространства Соболева являются современной заменой этих пространств, в которых можно искать решения уравнений в частных производных.
Величины или свойства базовой модели дифференциального уравнения обычно выражаются в терминах интегральных норм, а не единой нормы . Типичный пример - измерение энергии распределения температуры или скорости с помощью-норма. Поэтому важно разработать инструмент для дифференцирования функций пространства Лебега .
Формула интегрирования по частям дает, что для каждого, где - натуральное число , и для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем
где это мультииндекс порядка и мы используем обозначения:
Левая часть этого уравнения все еще имеет смысл, если мы только предположим быть локально интегрируемым . Если существует локально интегрируемая функция, так что
тогда мы звоним слабый-я частная производная от. Если существует слабый-я частная производная от , то он определяется почти всюду однозначно , а значит, однозначно определяется как элемент пространства Лебега . С другой стороны, если, то классическая и слабая производная совпадают. Таким образом, если слабый -я частная производная от , мы можем обозначить его через .
Например, функция
не непрерывна в нуле и не дифференцируема в -1, 0 или 1. Однако функция
удовлетворяет определению слабой производной от которое затем квалифицируется как находящееся в пространстве Соболева (для любых разрешенных см. определение ниже).
Пространства Соболева объединить понятия слабой дифференцируемости и норм Лебега .
Соболевские пространства с целым k
Одномерный случай
В одномерном случае пространство Соболева для определяется как подмножество функций в такой, что и его слабые производные до порядкаимеют конечную L p норму . Как упоминалось выше, необходимо проявлять осторожность при определении производных в правильном смысле. В одномерной задаче достаточно предположить, что-я производная дифференцируема почти всюду и почти всюду равна интегралу Лебега от своей производной (это исключает нерелевантные примеры, такие как функция Кантора ).
При таком определении пространства Соболева допускают естественную норму :
Это можно распространить на случай , при этом норма определяется с помощью существенной супремума формулой
Оборудован по норме становится банаховым пространством . Оказывается, достаточно взять только первое и последнее в последовательности, т. Е. Норму, определяемую
эквивалентно указанной выше норме (т. е. индуцированные топологии норм одинаковы).
Случай p = 2
Пространства Соболева с p = 2 особенно важны из-за их связи с рядами Фурье и потому, что они образуют гильбертово пространство . Для этого случая возникли специальные обозначения, поскольку пространство является гильбертовым:
Космос естественным образом определяется в терминах ряда Фурье , коэффициенты которого убывают достаточно быстро, а именно
где это ряд Фурье а также обозначает 1-тор. Как и выше, можно использовать эквивалентную норму
Оба представления легко следуют из теоремы Парсеваля и того факта, что дифференцирование эквивалентно умножению коэффициента Фурье на in .
Кроме того, пространство допускает внутренний продукт , например, пространство Фактически, внутренний продукт определяется с точки зрения внутренний продукт:
Космос становится гильбертовым пространством с этим внутренним продуктом.
Другие примеры
В одном измерении некоторые другие пространства Соболева допускают более простое описание. Например,- пространство абсолютно непрерывных функций на (0, 1) (точнее, классов эквивалентности функций, которые почти всюду равны таким), аявляется пространством функций Липшица на I , для каждого интервала I . Однако эти свойства потеряны или не так просты для функций более чем одной переменной.
Все пространства являются (нормированными) алгебрами , т.е. произведение двух элементов снова является функцией этого пространства Соболева, что не так для(Например, функции, ведущие себя как | x | −1/3 в начале координат, находятся в но продукта двух таких функций нет в ).
Многомерный случай
Переход к множественным измерениям приносит больше трудностей, начиная с самого определения. Требование, чтобы быть интегралом не является обобщением, и самое простое решение - рассматривать производные в смысле теории распределения .
Далее следует формальное определение. Позволять Пространство Соболева определяется как набор всех функций на так что для каждого мультииндекса с участием смешанная частная производная
существует в слабом смысле и находится в т.е.
То есть пространство Соболева определяется как
Натуральное число называется порядком пространства Соболева
Есть несколько вариантов нормы для Следующие два являются общими и эквивалентны в смысле эквивалентности норм :
а также
Что касается любой из этих норм, является банаховым пространством. Длятакже является отделимым пространством . Условно обозначать от поскольку это гильбертово пространство с нормой. [1]
Приближение гладкими функциями
Работать с пространствами Соболева, опираясь только на их определение, довольно сложно. Поэтому интересно знать, что по теореме Мейерса и Серрина функцияможно аппроксимировать гладкими функциями . Этот факт часто позволяет нам переводить свойства гладких функций в функции Соболева. Если конечно и открыто, то существует для любого аппроксимирующая последовательность функций такой, что:
Если имеет липшицеву границу , можно даже предположить, что - ограничение гладких функций с компактным носителем на всех [2]
Примеры
В более высоких измерениях уже неверно, например, что содержит только непрерывные функции. Например, где это единичный шар в трех измерениях. При k > n / p пространствобудет содержать только непрерывные функции, но для которых k это уже верно, зависит как от p, так и от размерности. Например, как это легко проверить, используя сферические полярные координаты для функциина n- мерном шаре имеем:
Интуитивно понятно, что раздутие f при 0 «считается меньшим», когда n велико, поскольку единичный шар имеет «больше снаружи и меньше внутри» в более высоких измерениях.
Абсолютно непрерывная на линиях (ACL) характеризация соболевских функций
Позволять Если функция находится в затем, возможно, после изменения функции на множестве нулевой меры, ограничение почти на каждую линию, параллельную координатным направлениям вявляется абсолютно непрерывной ; более того, классическая производная по линиям, параллельным координатным направлениям, находится в И наоборот, если ограничение почти каждой прямой, параллельной координатным направлениям, абсолютно непрерывен, то поточечный градиент существует почти везде , и в при условии В частности, в этом случае слабые частные производные от и поточечные частные производные от согласен почти везде. ACL-характеризация пространств Соболева была установлена Отто М. Никодимом ( 1933 ); см. ( Мазья 1985 , §1.1.3) .
Более сильный результат имеет место, когда Функция в после модификации на множестве меры нуль является непрерывным по Гёльдеру экспонентыпо неравенству Морри . В частности, еслито функция липшицева .
Функции, исчезающие на границе
Пространство Соболева также обозначается Это гильбертово пространство с важным подпространством определяется как замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в в Определенная выше норма Соболева здесь сводится к
Когда имеет регулярную границу, можно описать как пространство функций в которые обращаются в нуль на границе в смысле следов ( см. ниже ). Когда если ограниченный интервал, то состоит из непрерывных функций на формы
где обобщенная производная в и имеет нулевой интеграл, так что
Когда ограничено, неравенство Пуанкаре утверждает, что существует постоянная такой, что:
Когда ограничена, инъекция из к является компактным . Этот факт играет важную роль в изучении задачи Дирихле , а в том , что существует ортонормированный базис изсостоящий из собственных векторов оператора Лапласа (с граничным условием Дирихле ).
Следы
Пространства Соболева часто рассматриваются при исследовании уравнений в частных производных. Важно учитывать граничные значения соболевских функций. Если, эти граничные значения описываются ограничением . Однако неясно, как описывать значения на границе для, так как n -мерная мера границы равна нулю. Следующая теорема [2] решает проблему:
- Теорема о следе. Предположим, что Ω ограничена с липшицевой границей . Тогда существует ограниченный линейный оператор такой, что
Ту называется следом u . Грубо говоря, эта теорема распространяет оператор ограничения на пространство Соболевадля хорошего состояния Ω. Отметим, что оператор следа T, вообще говоря, не сюръективен, но при 1 < p <∞ он непрерывно отображается на пространство Соболева-Слободецкого
Интуитивно понятно, что взятие трассировки стоит 1 / p производной. Функции u из W 1, p (Ω) с нулевым следом, т.е. Tu = 0, можно охарактеризовать равенством
где
Другими словами, для Ω, ограниченной с липшицевой границей, функции с нулевым следом в можно аппроксимировать гладкими функциями с компактным носителем.
Соболевские пространства с нецелым k
Бесселевские потенциальные пространства
Для натурального числа k и 1 < p <∞ можно показать (используя множители Фурье [3] [4] ), что пространство эквивалентно можно определить как
с нормой
Это мотивирует пространства Соболева с нецелым порядком, поскольку в приведенном выше определении мы можем заменить k любым действительным числом s . Полученные пространства
называются потенциальными пространствами Бесселя [5] (названы в честь Фридриха Бесселя ). Это банаховы пространства в общем и гильбертовы пространства в частном случае p = 2.
Для - множество ограничений функций из в Ω с нормой
- .
Снова H s, p (Ω) - банахово пространство, а в случае p = 2 - гильбертово пространство.
Используя теоремы о расширении для пространств Соболева, можно показать, что W k, p (Ω) = H k, p (Ω) также выполняется в смысле эквивалентных норм, если Ω - область с равномерной C k- границей, k - естественная число и 1 . По вложениям
потенциальные пространства Бесселя образуют непрерывную шкалу между пространствами Соболева С абстрактной точки зрения потенциальные пространства Бесселя возникают как комплексные интерполяционные пространства пространств Соболева, т. Е. В смысле эквивалентных норм выполняется
где:
Пространства Соболева – Слободецкого
Другой подход к определению пространств Соболева дробного порядка основан на идее обобщения условия Гёльдера на L p -множество. [6] Для а также полнормы Slobodeckij (примерно аналогично полунорме гёльдеровой) определяются
Пусть s > 0 не целое и положим. Используя ту же идею, что и для гёльдеровых пространств , то Соболева Slobodeckij пространства [7] определяется как
Это банахово пространство для нормы
Если является подходящим образом регулярным в том смысле, что существуют определенные операторы расширения, то также пространства Соболева – Слободецкого образуют шкалу банаховых пространств, т. е. имеют непрерывные инъекции или вложения
Существуют примеры нерегулярных Ω таких, что не является даже векторным подпространством для 0 < s <1 (см. пример 9.1 из [8] )
С абстрактной точки зрения, пространства совпадают с вещественными интерполяционными пространствами соболевских пространств, т. е. в смысле эквивалентных норм имеет место следующее:
- .
Пространства Соболева – Слободецкого играют важную роль в изучении следов соболевских функций. Это частные случаи пространств Бесова . [4]
Операторы расширения
Если является областью , граница которой ведет себя не слишком плохо (например, если ее граница является многообразием или удовлетворяет более разрешающему « условию конуса »), то существует оператор A, отображающий функции функциям такой, что:
- Au ( x ) = u ( x ) для почти каждого x в а также
- непрерывна для любых 1 ≤ p ≤ ∞ и целого k .
Такой оператор A назовем оператором расширения для
Случай p = 2
Операторы расширения - наиболее естественный способ определения для нецелых s (мы не можем работать напрямую споскольку преобразование Фурье - глобальная операция). Мы определяем говоря, что если и только если Эквивалентно сложная интерполяция дает то же самое пробелы до тех пор, пока имеет оператор расширения. Если не имеет оператора расширения, комплексная интерполяция - единственный способ получить пробелы.
В результате интерполяционное неравенство сохраняется.
Продление на ноль
Как и выше , мы определяем быть закрытием в пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Учитывая определение следа, приведенное выше, мы можем сформулировать следующее:
- Теорема. Позволять равномерно C m регулярна, m ≥ s, и пусть P - линейное отображение, переводящее u в к
- где d / dn - производная, нормальная к G , а k - наибольшее целое число, меньшее s . потом Именно ядро Р .
Если мы можем определить его расширение нулем естественным путем, а именно
- Теорема. Позволять Карта непрерывно в тогда и только тогда, когда s не в форме для n целое число.
Для f ∈ L p (Ω) его продолжение нулем
является элементом Более того,
В случае пространства Соболева W 1, p (Ω) для 1 ≤ p ≤ ∞ продолжение функции u нулем не обязательно даст элемент изНо если Ω ограничено с липшицевой границей (например, ∂Ω - это C 1 ), то для любого ограниченного открытого множества O такого, что Ω⊂⊂O (т.е. Ω компактно содержится в O), существует ограниченный линейный оператор [2]
так что для каждого п.в. на Ω, Eu имеет компактный носитель внутри O, и существует постоянная C, зависящая только от p , Ω, O и размерности n , такая, что
Мы называем Eu продолжением u до
Соболевские вложения
Возникает естественный вопрос, является ли функция Соболева непрерывной или даже непрерывно дифференцируемой. Грубо говоря, достаточно много слабых производных (т. Е. Больших k ) приводят к классической производной. Эта идея обобщается и уточняется в теореме вложения Соболева .
Писать для пространства Соболева некоторого компактного риманова многообразия размерности n . Здесь k может быть любым действительным числом и 1 ≤ p ≤ ∞. (При p = ∞ пространство Соболеваопределяется как пространство Гёльдера C n , α, где k = n + α и 0 <α ≤ 1.) Теорема вложения Соболева утверждает, что если а также тогда
и вложение непрерывно. Более того, если а также то вложение вполне непрерывно (это иногда называют теоремой Кондрахова или теоремой Реллиха-Кондрахова ). Функции ввсе производные порядка меньше m непрерывны, поэтому, в частности, это дает условия на пространства Соболева для непрерывности различных производных. Неформально эти вложения говорят, что преобразование оценки L p в оценку ограниченности стоит 1 / p производных на измерение.
Существуют аналогичные варианты теоремы вложения для некомпактных многообразий, таких как ( Штейн 1970 ). Соболевские вложения нанекомпактные часто обладают родственным, но более слабым свойством кокомпактности .
Заметки
- ↑ Evans 1998 , Глава 5.2
- ^ a b c Адамс 1975
- ^ Берга & Лефстрем 1976
- ^ а б Трибель 1995
- ^ Потенциальные пространства Бесселя с переменной интегрируемостью были независимо введены Алмейдой и Самко (А. Алмейда и С. Самко, «Характеризация потенциалов Рисса и Бесселя в переменных пространствах Лебега », J. Function Spaces Appl. 4 (2006), no. 2, 113–144) и Гурка, Харьюлехто и Неквинда (П. Гурка, П. Харьюлехто и А. Неквинда: «Потенциальные пространства Бесселя с переменным показателем», Math. Inequal. Appl. 10 (2007), № 3, 661 –676).
- ^ Лунарди 1995
- ^ В литературе пространства дробного типа Соболева также называются Ароншайн пространства , Гальярдо пространства или Slobodeckij пространства , послеимена математиковкоторые представили их в 1950е годы: Н. Ароншайна ( «граничных значений функций с конечным интегралом Дирихле », Технический отчет Канзасского университета 14 (1955), 77–94), Э. Гальярдо («Собственность всехклассов функций в самых разных формах», Ricerche Mat. 7 (1958), 102–137) и Л. Н. Слободецкий. («Обобщенные пространства Соболева и их приложения к краевым задачам уравнений в частных производных», Ленинград. Гос. Пед. Ин-та. Уч. Зап. 197 (1958), 54–112).
- ^ "Автостопом по дробным пространствам Соболева" . Бюллетень математических наук . 136 (5): 521–573. 2012-07-01. DOI : 10.1016 / j.bulsci.2011.12.004 . ISSN 0007-4497 .
Рекомендации
- Адамс, Роберт А .; Фурнье, Джон (2003) [1975]. Соболевские пространства . Чистая и прикладная математика. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-044143-3..
- Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ на многообразиях. Уравнения Монжа-Ампера , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 252 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5734-9 , ISBN 978-0-387-90704-8, MR 0681859.
- Берг, Йоран; Лёфстрем, Йорген (1976), Интерполяционные пространства, Введение , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 223 , Springer-Verlag, стр. X + 207, ISBN 978-7-5062-6011-4, Руководство по ремонту 0482275 , Zbl 0344.46071
- Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998]. Уравнения с частными производными . Аспирантура по математике . 19 (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 749. ISBN 978-0-8218-4974-3.
- Леони, Джованни (2009). Первый курс в пространствах Соболева . Аспирантура по математике . 105 . Американское математическое общество. С. xvi + 607. ISBN 978-0-8218-4768-8. Руководство по ремонту 2527916 . Zbl 1180.46001 .
- Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , ряды Спрингера в советской математике, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xix + 486, doi : 10.1007 / 978-3-662-09922-3 , ISBN 0-387-13589-8, Руководство по ремонту 0817985 , Zbl 0692.46023
- Мазья Владимир Григорьевич ; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции на плохих доменах , Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: World Scientific , стр. Xx + 481, ISBN 981-02-2767-1, Руководство по ремонту 1643072 , Zbl 0918.46033.
- Мазья, Владимир Г. (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям с частными производными , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. Xxviii + 866, doi : 10.1007 / 978-3-642-15564 -2 , ISBN 978-3-642-15563-5, Руководство по ремонту 2777530 , Zbl 1217.46002.
- Лунарди, Алессандра (1995), Аналитические полугруппы и оптимальная регулярность в параболических задачах , Базель: Birkhäuser Verlag.
- Никодим, Отто (1933), "Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet" , Fund. Математика. , 21 : 129-150, DOI : 10,4064 / FM-21-1-129-150.
- Никольский С.М. (2001) [1994], "Теоремы вложения" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Никольский С.М. (2001) [1994], "Пространство Соболева" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Соболев, С.Л. (1963), "Об одной теореме функционального анализа", Пер. Амер. Математика. Soc. , Американского математического общества Перевод: Серия 2, 34 (2): 39-68, DOI : 10,1090 / trans2 / 034/02 , ISBN 9780821817346; перевод мат. Сб., 4 (1938) с. 471–497.
- Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике // Амер. Математика. Soc..
- Стейн Э. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Univ. Пресса, ISBN 0-691-08079-8.
- Трибель, Х. (1995), Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы , Гейдельберг: Иоганн Амброзиус Барт.
- Цимер, Уильям П. (1989), Слабо дифференцируемые функции , Graduate Texts in Mathematics, 120 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1015-3 , hdl : 10338.dmlcz / 143849 , ISBN 978-0-387-97017-2, Руководство по ремонту 1014685.
Внешние ссылки
- Элеонора Ди Незза, Джампьеро Палатуччи, Энрико Вальдиночи (2011). «Автостопом по дробным пространствам Соболева».