Локально интегрируемая функция

В математике , А локально интегрируемая функция (иногда также называется локально суммируемая функция ) ^[1] является функцией , которая является интегрируемой (поэтому его интеграл конечна) на каждом компакте своей области определения . Важность таких функций заключается в том, что их функциональное пространство аналогично пространствам $L p.$ , но его члены не обязаны удовлетворять никакому ограничению роста на их поведение на границе своей области (на бесконечности, если область неограничена): другими словами, локально интегрируемые функции могут расти сколь угодно быстро на границе области, но все же остаются управляемы аналогично обычным интегрируемым функциям.

Определение [ править ]

Стандартное определение [ править ]

Определение 1 . ^[2] Пусть $Ω$ - открытое множество в евклидовом пространстве $ℝ n$ и $f : Ω \to ℂ$ - измеримая по Лебегу функция . Если $f$ на $Ω$ такова, что

{\ Displaystyle \ int _ {K} | е | \, \ mathrm {d} х <+ \ infty,}

т.е. его интеграл Лебега конечен на всех компактных подмножествах $K$ в $Ω$ , ^[3] тогда $f$ называется локально интегрируемой . Множество всех таких функций обозначим через $L 1, LOC (Q)$ :

{\ Displaystyle L_ {1, \ mathrm {loc}} (\ Omega) = {\ bigl \ {} f: \ Omega \ to \ mathbb {C} {\ text {Measurable}} \, {\ big |} \ , f | _ {K} \ in L_ {1} (K) \ \ forall \, K \ subset \ Omega, \, K {\ text {compact}} {\ bigr \}},}

где обозначает ограничение на $F$ к множеству $K$ . ${\ textstyle \ left.f \ right | _ {K}}$

Классическое определение локально интегрируемой функции включает только теоретико- мерные и топологические ^[4] понятия и может быть перенесено на абстрактное понятие на комплекснозначные функции на топологическом пространстве с мерой $(X, Σ, μ)$ : ^[5] однако, поскольку наиболее Обычно такие функции применяются в теории распределений на евклидовых пространствах ^[2], все определения в этом и следующих разделах явно относятся только к этому важному случаю.

Альтернативное определение [ править ]

Определение 2 . ^[6] Пусть $Ω$ - открытое множество в евклидовом пространстве $ℝ n$ . Тогда функция $f : Ω \to ℂ$ такая, что

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} | е \ varphi | \, \ mathrm {d} x <+ \ infty,}

для каждой пробной функции $φ \in C \infty c (Ω)$ называется локально интегрируемым , а множество таких функций обозначается $L 1, loc (Ω)$ . Здесь $C \infty c (Ω)$ обозначает множество всех бесконечно дифференцируемых функций $φ : Ω \to ℝ$ с компактным носителем, содержащихся в $Ω$ .

Это определение уходит корнями в подход к теории меры и интегрирования, основанный на концепции непрерывного линейного функционала на топологическом векторном пространстве , разработанный Николасом Бурбаки и его школой: ^[7] он также принят Стрихарцем (2003) и от Мазьи & Шапошниковой (2009 , стр. 34). ^[8] Это "теоретико-распределительное" определение эквивалентно стандартному, как доказывает следующая лемма:

Лемма 1 . Данная функция $f : Ω \to ℂ$ локально интегрируема согласно определению 1 тогда и только тогда, когда она локально интегрируема согласно определению 2 , т. $Е.$

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).

Доказательство леммы 1.

If part: Let $φ \in C \infty c (Ω)$ be a test function. It is bounded by its supremum norm $|| φ || \infty$ , measurable, and has a compact support, let's call it $K$ . Hence

\int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty

by Definition 1.

Only if part: Let $K$ be a compact subset of the open set $Ω$ . We will first construct a test function $φ K \in C \infty c (Ω)$ which majorises the indicator function $χ K$ of $K$ . The usual set distance^[9] between $K$ and the boundary $\partialΩ$ is strictly greater than zero, i.e.

\Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,

hence it is possible to choose a real number $δ$ such that $Δ > 2 δ > 0$ (if $\partialΩ$ is the empty set, take $Δ = \infty$ ). Let $K δ$ and $K 2 δ$ denote the closed δ-neighborhood and $2 δ$ -neighborhood of $K$ , respectively. They are likewise compact and satisfy

K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.

Now use convolution to define the function $φ K : Ω \to ℝ$ by

\varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,

where $φ δ$ is a mollifier constructed by using the standard positive symmetric one. Obviously $φ K$ is non-negative in the sense that $φ K \geq 0$ , infinitely differentiable, and its support is contained in $K 2 δ$ , in particular it is a test function. Since $φ K (x) = 1$ for all $x \in K$ , we have that $χ K \leq φ K$ .

Let $f$ be a locally integrable function according to Definition 2. Then

\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .

Since this holds for every compact subset $K$ of $Ω$ , the function $f$ is locally integrable according to Definition 1. □

Обобщение: локально p -интегрируемые функции [ править ]

Определение 3 . ^[10] Пусть $Ω$ - открытое множество в евклидовом пространстве ℝ ⁿ и $f : Ω \to$ ℂ - измеримая по Лебегу функция. Если для данного $p$ с $1 \leq p \leq + \infty$ , $f$ удовлетворяет

\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,

то есть, он принадлежит к $L р ( К )$ для всех компактных подмножеств $К$ из $П$ , то $е$ называется локально $р$ - интегрируемые или же $р$ - локально интегрируема . ^[10] множество всех таких функций обозначим через $L р, LOC (Q)$ :

L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.

Альтернативное определение, полностью аналогичное тому, которое дано для локально интегрируемых функций, также может быть дано для локально $p$ -интегрируемых функций: оно также может быть и доказано эквивалентным определению в этом разделе. ^[11] Несмотря на кажущуюся более высокую общность, локально $p$ -интегрируемые функции образуют подмножество локально интегрируемых функций для любого $p$ такого, что $1 < p \leq + \infty$ . ^[12]

Обозначение [ править ]

Помимо различных глифов, которые могут использоваться для прописной буквы «L» ^[13], существует несколько вариантов обозначения набора локально интегрируемых функций.

$L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),$ приняты ( Hörmander 1990 , стр. 37), ( Strichartz 2003 , стр. 12–13) и ( Владимиров 2002 , стр. 3).
$L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),$ приняты ( Мазья и Поборчи 1997 , с. 4) и Мазья и Шапошникова (2009 , с. 44).
$L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),$ приняты ( Мазья 1985 , с. 6) и ( Мазья 2011 , с. 2).

Свойства [ править ]

L _{p , loc} - полное метрическое пространство для всех p ≥ 1 [ править ]

Теорема 1 . ^[14] $L p, loc$ - полное метризуемое пространство : его топология может быть порождена следующей метрикой :

d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),

где ${ω k} k \geq1$ - семейство непустых открытых множеств таких, что

$ω k \subset\subset ω k +1$ , что означает, что $ω k$ строго входит в $ω k +1,$ т. е. это множество, имеющее компактное замыкание, строго входящее в множество более высокого индекса.
$\cup k ω k = Ω$ .
$\scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}$ , К ∈ ℕ это индексированное семейство из полунормов , определяется как

{\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).

В ссылках ( Gilbarg & Trudinger 1998 , p. 147) , ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 5), ( Maz'ja 1985 , p. 6) и ( Maz'ya 2011 , p. 2) эта теорема сформулировано, но не доказано на формальной основе: ^[15] полное доказательство более общего результата, которое включает его, можно найти в ( Meise & Vogt 1997 , p. 40).

L _p является подпространством L _{1, loc} для всех p ≥ 1 [ править ]

Теорема 2 . Каждая функция $f,$ принадлежащая $L p (Ω)$ , $1 \leq p \leq + \infty$ , где $Ω$ - открытое подмножество ℝ ⁿ , локально интегрируема.

Доказательство . Случай $p = 1$ тривиален, поэтому в дальнейшем доказательстве предполагается, что $1 < p \leq + \infty$ . Рассмотрим характеристическую функцию $х K$ компактного подмножества $K$ из $П$ : то при $р \leq + \infty$ ,

\left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,

где

$q$ - такое положительное число , что $1 / p + 1 / q$ = $1$ для данного $1 \leq p \leq + \infty$
$| K |$ является мерой Лебега на компакте $K$

Тогда неравенство Гельдера , то продукт $fχ K$ является интегрируемой т.е. принадлежит $L 1 (Q)$ и

{\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,

следовательно

f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).

Отметим, что поскольку верно следующее неравенство

{\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,

теорема верна также для функций $f,$ принадлежащих только пространству локально $p$ -интегрируемых функций, поэтому из теоремы следует также следующий результат.

Следствие 1 . Каждая функция в , , локально интегрируема, то есть принадлежит . $f$ $L_{p,loc}(\Omega )$ $1<p\leq \infty$ $L_{1,loc}(\Omega )$

Примечание: Если это открытое подмножество в том , что также ограничена, то имеет стандартное включение , которое имеет смысл с учетом приведенных выше включение . Но первое из этих утверждений неверно, если оно не ограничено; то еще правда что по любому , но не то . Чтобы увидеть это, обычно рассматривают функцию , которая входит, но не входит в какое-либо конечное значение . $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ $L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ $\Omega$ $L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )$ $p$ $L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )$ $u(x)=1$ $L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ $L_{p}(\mathbb {R} ^{n})$ $p$

L _{1, loc} - пространство плотностей абсолютно непрерывных мер [ править ]

Теорема 3 . Функция $F$ представляет собой плотность из абсолютно непрерывной меры , если и только если . $f\in L_{1,loc}$

Доказательство этого результата схематично представлено в ( Schwartz 1998 , p. 18). Перефразируя свое утверждение, эта теорема утверждает, что каждая локально интегрируемая функция определяет абсолютно непрерывную меру и, наоборот, что каждая абсолютно непрерывная мера определяет локально интегрируемую функцию: это также, в рамках абстрактной теории меры, является формой важной теоремы Радона – Никодима. данное Станиславом Саксом в его трактате. ^[16]

Примеры [ править ]

Постоянная функция $1,$ определенная на действительной прямой, является локально интегрируемой, но не глобально интегрируемой, поскольку действительная прямая имеет бесконечную меру. В более общем смысле, константы , непрерывные функции ^[17] и интегрируемые функции являются локально интегрируемыми. ^[18]
Функция для x ∈ (0, 1) локально, но не глобально интегрируема на (0, 1). Оно локально интегрируемо, поскольку любой компакт K ⊆ (0, 1) имеет положительное расстояние от 0 и, следовательно, f ограничено на K. Этот пример подкрепляет первоначальное утверждение о том, что локально интегрируемые функции не требуют выполнения условий роста вблизи границы в ограниченные области. $f(x)=1/x$
Функция

f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R}

не является локально интегрируемым в

x = 0

: он действительно локально интегрируем вблизи этой точки, поскольку его интеграл по каждому компакту, не включающему его, конечен. Формально говоря,

1 / x \in L 1, loc

(ℝ \ 0): ^[19] однако эта функция может быть расширена до распределения на всем ℝ как главное значение Коши . ^[20]

В предыдущем примере возникает вопрос: каждая ли функция, локально интегрируемая в $Ω$ ⊊, допускает расширение на все ℝ как распределение? Ответ отрицательный, и контрпример дает следующая функция:

f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}

не определяет никакого распределения на. ^[21]

Следующий пример, аналогичный предыдущему, представляет собой функцию, принадлежащую $L 1, loc$ (ℝ \ 0), которая служит элементарным контрпримером в приложении теории распределений к дифференциальным операторам с нерегулярными сингулярными коэффициентами :

f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}

где

k 1

и

k 2

- комплексные константы , является общим решением следующего элементарного нефуксова дифференциального уравнения первого порядка

x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.

Опять же, он не определяет никакого распределения в целом ℝ, если

k 1

или

k 2

не равны нулю: поэтому единственным распределительным глобальным решением такого уравнения является нулевое распределение, и это показывает, как в этой ветви теории дифференциальных уравнений нельзя ожидать, что методы теории распределений будут иметь такой же успех, достигнутый в других разделах той же теории, особенно в теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. ^[22]

Приложения [ править ]

Локально интегрируемые функции играют важную роль в теории распределения, и они встречаются при определении различных классов функций и функциональных пространств , таких как функции ограниченной вариации . Более того, они появляются в теореме Радона – Никодима , характеризуя абсолютно непрерывную часть каждой меры.

См. Также [ править ]

Компактный набор
Распределение (математика)
Теорема плотности Лебега
Теорема Лебега дифференцирования
Интеграл Лебега
LP пространство

Заметки [ править ]

↑ По Гельфанду и Шилову (1964 , с. 3).
^ a b См., например, ( Schwartz 1998 , с. 18) и ( Владимиров 2002 , с. 3).
^ Другой небольшой вариант этого определения, выбранный Владимировым (2002 , с. 1), состоит в том, чтобы потребовать только, чтобы $K ⋐ Ω$ (или, используя обозначения Гилбарга и Трудингера (2001 , с. 9), $K \subset\subset Ω$ ) , означающее, что $K$ строго включено в $Ω,$ т. е. это множество, имеющее компактное замыкание, строго включенное в данное объемлющее множество.
^ Понятие компактности, очевидно, должно быть определено на данном абстрактном пространстве с мерой.
^ Это подход, развитый, например, Кафьеро (1959 , стр. 285–342) и Саксом (1937 , глава I), без явного рассмотрения локально интегрируемого случая.
^ См., Например, ( Strichartz 2003 , стр. 12–13).
^ Этот подход получил высокую оценку Шварца (1998 , стр. 16–17), который также отметил его полезность, но с использованием определения 1 для определения локально интегрируемых функций.
^ Следует отметить, что Мазья и Шапошникова явно определяют только «локализованную» версию пространства Соболева $W k, p (Ω)$ , тем не менее явно утверждая, что тот же метод используется для определения локализованных версий всех других банаховых пространств, используемых в цитируемая книга: в частности, $L p, loc (Ω)$ вводится на странице 44.
^ Не путать с расстоянием Хаусдорфа .
^ a b См., например, ( Владимиров, 2002 , с. 3) и ( Мазья, Поборчи, 1997 , с. 4).
^ Как отмечалось в предыдущем разделе, это подход, принятый Мазьей и Шапошниковой (2009) , без развития элементарных деталей.
^ Именно они образуют векторное подпространство в $L 1, LOC (Ω)$ : см следствие 1 к теореме 2 .
^ См., Например, ( Владимиров 2002 , стр. 3), где используется каллиграфический знак ℒ .
^ См. ( Gilbarg & Trudinger 1998 , p. 147), ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 5) для изложения этих результатов, а также краткие примечания в ( Maz'ja 1985 , p. 6) и ( Мазья 2011 , с. 2).
^ Гилбарг & Трудингер (1998 , стр. 147)и Мазие & Поборчий (1997 , стр. 5) только эскиз очень кратко метод доказательства,то время как ( Мазие 1985 , стр. 6) и ( Мазие 2011 , стр. 2) предполагается как известный результат, с которого начинается дальнейшая разработка.
^ Согласно Саксу (1937 , стр. 36), « если $E$ - множество конечной меры или, в более общем смысле, сумма последовательности множеств конечной меры ( $μ$ ) , то для того, чтобы аддитивная функция множество ( $𝔛$ ) на $E$ было абсолютно непрерывным на $E$ , необходимо и достаточно, чтобы эта функция множества была неопределенным интегралом некоторой интегрируемой функции точки $E$ ". Если предположить, что ( $μ$ ) - это мера Лебега, можно увидеть, что эти два утверждения эквивалентны.
^ См., Например, ( Hörmander 1990 , p. 37).
^ См. ( Strichartz 2003 , p. 12).
^ См. ( Schwartz 1998 , p. 19).
^ См. ( Владимиров 2002 , стр. 19–21).
^ См. ( Владимиров 2002 , с. 21).
^ Краткое обсуждение этого примера см. ( Schwartz 1998 , стр. 131–132).

Ссылки [ править ]

Cafiero, Federico (1959), Misura e integration , Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (на итальянском языке), 5 , Roma : Edizioni Cremonese, стр. VII + 451, MR 0215954 , Zbl 0171.01503. Мера и интеграция (как гласит английский перевод названия) - это окончательная монография по теории интеграции и меры: рассмотрение предельного поведения интеграла различных видов последовательностей структур, связанных с мерой (измеримые функции, измеримые множества , меры и их комбинации) несколько убедительны.
Гельфанд И.М .; Шилов Г. Е. Обобщенные функции (1964) [1958] . Vol. I: Свойства и операции , Нью-Йорк – Лондон: Academic Press , стр. Xviii + 423, ISBN 978-0-12-279501-5, Руководство по ремонту 0166596 , Zbl 0115.33101. Это важная монография по теории обобщенных функций , переведенная из оригинального русского издания 1958 года Юджином Салетаном, касается как распределений, так и аналитических функционалов.
Гилбарг, Дэвид ; Trudinger, Neil S. (2001) [1998], Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , Classics in Mathematics (Revised 3-е издание 2-го издания), Berlin - Heidelberg - New York: Springer Verlag , pp. Xiv + 517, ISBN 3-540-41160-7, Руководство по ремонту 1814364 , Zbl 1042.35002.
Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2-е изд.), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , стр. Xii + 440, ISBN 0-387-52343-X, Руководство по ремонту 1065136 , Zbl 0712.35001(также доступен как ISBN 3-540-52343-X ).
Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xix + 486, ISBN 3-540-13589-8, Руководство по ремонту 0817985 , Zbl 0692.46023(также доступен как ISBN 0-387-13589-8 ).
Мазья, Владимир Г. (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям с частными производными. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. Xxviii + 866, ISBN 978-3-642-15563-5, Руководство по ремонту 2777530 , Zbl 1217.46002.
Мазья Владимир Григорьевич ; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции на плохих доменах , Сингапур – Нью-Джерси – Лондон – Гонконг: World Scientific , стр. Xx + 481, ISBN 981-02-2767-1, Руководство по ремонту 1643072 , Zbl 0918.46033.
Мазья Владимир Григорьевич ; Шапошникова, Татьяна О. (2009), Теория множителей Соболева. С приложениями к дифференциальным и интегральным операторам , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 337 , Heidelberg : Springer-Verlag , стр. Xiii + 609, ISBN 978-3-540-69490-8, Руководство по ремонту 2457601 , Zbl 1157.46001.
Мейсе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997), Введение в функциональный анализ , Oxford Graduate Texts in Mathematics, 2 , Oxford: Clarendon Press , pp. X + 437, ISBN 0-19-851485-9, Руководство по ремонту 1483073 , Zbl 0924.46002.
Сакс, Станислава (1937), теория интеграла , Monografie Matematyczne , 7 (2 - й изд.), Варшава - Львы : GE Stechert & Co., с VI + 347,. СУЛ 63.0183.05 , МР 0167578 , Zbl +0017,30004. Английский перевод Лоуренса Чисхолма Янга с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха : номер Mathematical Reviews относится к изданию Dover Publications 1964 года, которое, по сути, является перепечаткой.
Schwartz, Laurent (1998) [1966], Théorie des distributions , Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de l'Université de Strasbourg (на французском языке), № IX – X (Nouvelle ed.), Paris: Hermann Éditeurs, pp. xiii + 420, ISBN 2-7056-5551-4, MR 0209834 , Zbl 0149.09501.
Стрихарц, Роберт С. (2003), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье (2-е печатное издание), River Edge, NJ : World Scientific Publishers , стр. X + 226, ISBN 981-238-430-8, Руководство по ремонту 2000535 , Zbl 1029.46039.
Владимиров В.С. (2002), Методы теории обобщенных функций , Аналитические методы и специальные функции, 6 , Лондон – Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис , стр. XII + 353, ISBN 0-415-27356-0, MR 2012831 , Zbl 1078.46029. Монография по теории обобщенных функций, написанная с прицелом на их приложения к нескольким комплексным переменным и математической физике , как это принято для автора.

Внешние ссылки [ править ]

Роуленд, Тодд. «Локально интегрируемый» . MathWorld .
Виноградова И.А. (2001) [1994], "Локально интегрируемая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press

Эта статья включает материал из локально интегрируемой функции на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[1] По Гельфанду и Шилову (1964 , с. 3).

[ScVl-2] См., например, ( Schwartz 1998 , с. 18) и ( Владимиров 2002 , с. 3).

[3] Другой небольшой вариант этого определения, выбранный Владимировым (2002 , с. 1), состоит в том, чтобы потребовать только, чтобы $K ⋐ Ω$ (или, используя обозначения Гилбарга и Трудингера (2001 , с. 9), $K \subset\subset Ω$ ) , означающее, что $K$ строго включено в $Ω,$ т. е. это множество, имеющее компактное замыкание, строго включенное в данное объемлющее множество.

[4] Понятие компактности, очевидно, должно быть определено на данном абстрактном пространстве с мерой.

[5] Это подход, развитый, например, Кафьеро (1959 , стр. 285–342) и Саксом (1937 , глава I), без явного рассмотрения локально интегрируемого случая.

[6] См., Например, ( Strichartz 2003 , стр. 12–13).

[7] Этот подход получил высокую оценку Шварца (1998 , стр. 16–17), который также отметил его полезность, но с использованием определения 1 для определения локально интегрируемых функций.

[8] Следует отметить, что Мазья и Шапошникова явно определяют только «локализованную» версию пространства Соболева $W k, p (Ω)$ , тем не менее явно утверждая, что тот же метод используется для определения локализованных версий всех других банаховых пространств, используемых в цитируемая книга: в частности, $L p, loc (Ω)$ вводится на странице 44.

[9] Не путать с расстоянием Хаусдорфа .

[Vlp3-10] См., например, ( Владимиров, 2002 , с. 3) и ( Мазья, Поборчи, 1997 , с. 4).

[11] Как отмечалось в предыдущем разделе, это подход, принятый Мазьей и Шапошниковой (2009) , без развития элементарных деталей.

[12] Именно они образуют векторное подпространство в $L 1, LOC (Ω)$ : см следствие 1 к теореме 2 .

[13] См., Например, ( Владимиров 2002 , стр. 3), где используется каллиграфический знак ℒ .

[14] См. ( Gilbarg & Trudinger 1998 , p. 147), ( Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 5) для изложения этих результатов, а также краткие примечания в ( Maz'ja 1985 , p. 6) и ( Мазья 2011 , с. 2).

[15] Гилбарг & Трудингер (1998 , стр. 147)и Мазие & Поборчий (1997 , стр. 5) только эскиз очень кратко метод доказательства,то время как ( Мазие 1985 , стр. 6) и ( Мазие 2011 , стр. 2) предполагается как известный результат, с которого начинается дальнейшая разработка.

[16] Согласно Саксу (1937 , стр. 36), « если $E$ - множество конечной меры или, в более общем смысле, сумма последовательности множеств конечной меры ( $μ$ ) , то для того, чтобы аддитивная функция множество ( $𝔛$ ) на $E$ было абсолютно непрерывным на $E$ , необходимо и достаточно, чтобы эта функция множества была неопределенным интегралом некоторой интегрируемой функции точки $E$ ". Если предположить, что ( $μ$ ) - это мера Лебега, можно увидеть, что эти два утверждения эквивалентны.

[17] См., Например, ( Hörmander 1990 , p. 37).

[18] См. ( Strichartz 2003 , p. 12).

[19] См. ( Schwartz 1998 , p. 19).

[20] См. ( Владимиров 2002 , стр. 19–21).

[21] См. ( Владимиров 2002 , с. 21).

[22] Краткое обсуждение этого примера см. ( Schwartz 1998 , стр. 131–132).

[1]