Измерьте пространство

Измеримое пространство является основным объектом теории меры филиала математики , которая изучает обобщенные понятия объемов . Он содержит базовый набор, подмножества этого набора, которые можно измерить ( $σ-$ алгебра ), и метод, который используется для измерения ( мера ). Одним из важных примеров пространства мер является вероятностное пространство .

Измеримое пространство состоит из первых двух компонентов без определенной меры.

Определение [ править ]

Пространство с мерой - это тройка, где ^[1]^[2] ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu),}$

${\ displaystyle X}$ это набор
${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ является $σ$ -алгеброй на множестве ${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle \ mu}$ это мера на ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

Пример [ править ]

Установить . Алгебра на конечных множествах , такие , как один выше, как правило, набор мощности , который является множеством всех подмножеств (из заданного набора) и обозначается . Придерживаясь этого соглашения, мы устанавливаем ${\ Displaystyle X = \ {0,1 \}}$ ${\ textstyle \ sigma}$ ${\ textstyle {\ mathcal {P}} (\ cdot)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}

В этом простом случае набор мощности можно записать явно:

{\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},X\}.

В качестве меры, определяют по ${\textstyle \mu }$

\mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}},

так (по аддитивности мер) и (по определению мер). ${\textstyle \mu (X)=1}$ ${\textstyle \mu (\emptyset )=0}$

Это приводит к измерению пространства . Это вероятностное пространство , поскольку . Эта мера соответствует распределению Бернулли с , которое, например, используется для моделирования справедливого подбрасывания монеты. ${\textstyle (X,{\mathcal {P}}(X),\mu )}$ ${\textstyle \mu (X)=1}$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle p={\frac {1}{2}}}$

Важные классы пространств с мерой [ править ]

Наиболее важные классы пространств мер определяются свойствами связанных с ними мер. Это включает в себя

Вероятностные пространства , пространство с мерой, где мера является вероятностной мерой ^[1]
Пространства с конечной мерой, где мера является конечной мерой ^[3]
$\sigma$ -конечная мера, где -конечная мера ^[3] $\sigma$

Другой класс пространств с мерой - это полные пространства с мерой . ^[4]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод . Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 18. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
^ a b Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 33. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kosorok83-1] Косорок, Майкл Р. (2008). Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод . Нью-Йорк: Спрингер. п. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.

[Klenke18-2] Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 18. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[eommeasurespace-3] Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Измерение пространства" , Энциклопедия математики , EMS Press

[Klenke33-4] Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 33. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[1]