Измеряемое пространство

В математике , A измеримое пространство или борелевское пространство ^[1] является основным объектом в теории меры . Он состоит из набора и σ-алгебры , которая определяет подмножества, которые будут измеряться.

Определение [ править ]

Рассмотрим множество и σ-алгебру на . Тогда набор называется измеримым пространством. ^[2] ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

Следует отметить , что в отличие от пространства с мерой , ни одна мера не требуется для измеримого пространства.

Пример [ править ]

Посмотрите на набор:

{\ Displaystyle X = \ {1,2,3 \}.}

Одна из возможных -алгебр: ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1} = \ {X, \ emptyset \}.}

Тогда - измеримое пространство. Другая возможная -алгебра бы в наборе мощности на : ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}} _ {1})}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {2} = {\ mathcal {P}} (X).}

При этом второе измеримое пространство на множестве задается . ${\ displaystyle X}$ $(X,{\mathcal {A}}_{2})$

Общие измеримые пространства [ править ]

Если конечно или счетно бесконечно, то -алгебра большинство раз булеан на так . Это приводит к измеримому пространству . $X$ $\sigma$ $X$ ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)$ $(X,{\mathcal {P}}(X))$

Если - топологическое пространство , -алгебра чаще всего является борелевской -алгеброй , поэтому . Это приводит к измеримому пространству, которое является общим для всех топологических пространств, таких как действительные числа . $X$ $\sigma$ $\sigma$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)$ $(X,{\mathcal {B}}(X))$ $\mathbb {R}$

Неоднозначность с борелевскими пространствами [ править ]

Термин борелевское пространство используется для обозначения различных типов измеримых пространств. Это может относиться к

любое измеримое пространство, поэтому оно является синонимом измеримого пространства, как определено выше ^[1]
измеримое пространство, борелевское изоморфное измеримому подмножеству действительных чисел (опять же с борелевской -алгеброй) ^[3] $\sigma$

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b Сазонов В.В. (2001) [1994], "Измеримое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 18 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Kallenberg, Олаф (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. 77 . Швейцария: Шпрингер. п. 15. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

[eommeasurablespace-1] Сазонов В.В. (2001) [1994], "Измеримое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press

[Klenke18-2] Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 18 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[Kallenberg15-3] Kallenberg, Олаф (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. 77 . Швейцария: Шпрингер. п. 15. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

[1]