Открытый набор

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Открытый набор»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Пример: синий кружок представляет собой набор точек ( x , y ), удовлетворяющих x ² + y ² = r ² . Красный диск представляет собой набор точек ( x , y ), удовлетворяющих x ² + y ² < r ² . Красный набор - это открытый набор, синий набор - его граничный набор, а объединение красного и синего наборов - закрытый набор .

В математике , открытые множества являются обобщением из открытых интервалов в реальной линии. В метрическом пространстве, то есть когда расстояние определено, открытые множества - это множества, которые с каждой точкой P содержат все точки, достаточно близкие к P (то есть все точки, расстояние до P которых меньше некоторого значения, зависящего от на P ).

В более общем смысле, открытые множества определяются как члены данного набора подмножеств данного набора, коллекции, которая имеет свойство содержать каждое объединение своих членов, каждое конечное пересечение его членов, пустой набор и весь набор. . Набор, в котором задан такой набор, называется топологическим пространством , а набор называется топологией . Эти условия очень свободные и дают огромную гибкость в выборе открытых наборов. Например, каждое подмножество может быть открытым ( дискретная топология ), или может быть открытым не один набор, кроме самого пространства и пустого набора ( недискретная топология ).

На практике, однако, открытые множества обычно выбираются, чтобы обеспечить понятие близости, аналогичное метрическим пространствам, без определения меры расстояния. В частности, топология позволяет определять такие свойства, как непрерывность , связность и компактность , которые изначально были определены с помощью расстояния.

Наиболее распространенный случай топологии без какого-либо расстояния - это многообразия , которые представляют собой топологические пространства, которые вблизи каждой точки напоминают открытое множество евклидова пространства , но на которых в целом расстояние не определено. Менее интуитивные топологии используются в других разделах математики; например, топология Зарисского , которая является фундаментальной в алгебраической геометрии и теории схем .

Мотивация [ править ]

Интуитивно открытый набор предоставляет способ различать две точки . Например, если около одной из двух точек в топологическом пространстве существует открытое множество, не содержащее другую (отличную) точку, эти две точки называются топологически различимыми . Таким образом, можно говорить о том, находятся ли две точки или, в более общем смысле, два подмножества топологического пространства «рядом», без конкретного определения расстояния . Следовательно, топологические пространства можно рассматривать как обобщение пространств, снабженных понятием расстояния, которые называются метрическими пространствами .

В наборе всех действительных чисел есть естественная евклидова метрика; то есть функция, которая измеряет расстояние между двумя действительными числами: d ( x , y ) = | х - у | . Следовательно, имея действительное число x , можно говорить о множестве всех точек, близких к этому действительному числу; то есть в пределах ε от x . По сути, точки в пределах ε от x аппроксимируют x с точностью до степени ε. Обратите внимание, что ε> 0 всегда, но по мере того, как ε становится все меньше и меньше, получаются точки, которые аппроксимируют x с все большей и большей степенью точности. Например, если x= 0 и ε = 1, точки в пределах ε точки x являются точками интервала (-1, 1); то есть набор всех действительных чисел от -1 до 1. Однако при ε = 0,5 точки в пределах ε от x являются точками (-0,5, 0,5). Ясно, что эти точки аппроксимируют x с большей точностью, чем при ε = 1.

Предыдущее обсуждение показывает, что для случая x = 0 можно приближать x к все более и более высокой степени точности, определяя ε все меньше и меньше. В частности, множества вида (-ε, ε) дают нам много информации о точках, близких к x = 0. Таким образом, вместо того, чтобы говорить о конкретной евклидовой метрике, можно использовать множества для описания точек, близких к x . Эта новаторская идея имеет далеко идущие последствия; в частности, определяя разные наборы наборов, содержащих 0 (отличных от наборов (-ε, ε)), можно получить разные результаты относительно расстояния между 0 и другими действительными числами. Например, если бы мы определяли Rкак только такой набор для «измерения расстояния», все точки близки к 0 , так как существует только одна возможная степень точности можно достичь при аппроксимации 0: будучи членом R . Таким образом, мы обнаруживаем, что в некотором смысле каждое действительное число находится на расстоянии 0 от 0. В этом случае может помочь думать о мере как о двоичном условии: все объекты в R одинаково близки к 0, а любой элемент, который не в R не близко к 0.

В общем, один относится к семейству наборов, содержащих 0, используемых для приближения 0, как базис окрестности ; член этого базиса соседства называется открытым множеством . Фактически, можно обобщить эти понятия на произвольное множество ( X ); а не просто реальные числа. В этом случае, учитывая точку ( x ) этого набора, можно определить набор наборов "вокруг" (то есть содержащих) x , используемых для аппроксимации x . Конечно, эта коллекция должна удовлетворять определенным свойствам (известным как аксиомы ), иначе у нас может не быть четко определенного метода измерения расстояния. Например, каждая точка в X должна приблизительно соответствовать xс некоторой степенью точности. Таким образом, X должен быть в этом семействе. Как только мы начинаем определять «меньшие» множества, содержащие x , мы склонны приближать x с большей степенью точности. Имея это в виду, можно определить остальные аксиомы, которым должно удовлетворять семейство множеств относительно x .

Определения [ править ]

Здесь даны несколько определений в порядке возрастания технических характеристик. Каждый из них является частным случаем следующего.

Евклидово пространство [ править ]

Подмножество из евклидова п -пространства R ^п является открытым , если для каждой точки х в , существует положительное действительное число е ( в зависимости от х ) таким образом, что точка в R ^п принадлежит , как только его евклидово расстояние от х является меньше ε . ^[1] Эквивалентно, подмножество из R ^п является открытым , если каждая точка является центром из открытого шара , содержащийся в${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U.}$

Метрическое пространство [ править ]

Подмножество U из метрического пространства ( М , д ) называется открытым , если для любой точки х в U , то существует вещественное число ε > 0 такое , что для любой точки , удовлетворяющей д ( х , у ) < ε , у и принадлежит U . Эквивалентное U является открытым , если каждая точка U имеет окрестность , содержащуюся в U .${\ displaystyle y \ in M}$

Это обобщает пример евклидова пространства, поскольку евклидово пространство с евклидовым расстоянием является метрическим пространством.

Топологическое пространство [ править ]

Топологическое пространство представляет собой набор , на котором топология определена, которая состоит из набора подмножеств , которые , как говорят, открыто , и удовлетворяют аксиомы , приведенные ниже.

Точнее пусть будет набор. Семейство подмножеств в является топологией на , а элементы являются открытыми множествами топологии, если${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ тау}$

• ${\ Displaystyle Х \ ин \ тау}$и (оба и являются открытыми множествами)${\ displaystyle \ varnothing \ in \ tau \ qquad \ qquad \ qquad}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ varnothing}$
• ${\ displaystyle \ left \ {U_ {i}: я \ in I \ right \} \ substeq \ tau}$тогда (любое объединение открытых множеств является открытым множеством)${\ displaystyle \ bigcup _ {я \ in I} U_ {i} \ in \ tau \ qquad}$
• ${\displaystyle U_{1},\ldots U_{n}\in \tau }$тогда (любое конечное пересечение открытых множеств является открытым множеством)${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau \qquad }$

Бесконечные пересечения открытых множеств не обязательно должны быть открытыми. Например, пересечение всех интервалов вида, где - положительное целое число, - это набор, который не открыт в действительной строке.${\displaystyle \left(-1/n,1/n\right),}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{0\}}$

Метрическое пространство - это топологическое пространство, топология которого состоит из совокупности всех подмножеств, являющихся объединениями открытых шаров. Однако есть топологические пространства, которые не являются метрическими пространствами.

Специальные типы открытых множеств [ править ]

Наборы Clopen и неоткрытые и / или незамкнутые наборы [ править ]

Набор может быть открытым, закрытым, и тем, и другим, или ни одним из них. В частности, открытые и закрытые множества не исключают друг друга, что означает, что в общем случае подмножество топологического пространства может одновременно быть как открытым подмножеством, так и закрытым подмножеством. Такие подмножества известны как закрытые множества . Явно подмножество топологического пространства называется закрытым, если оба и его дополнение являются открытыми подмножествами ; или, что то же самое, если и${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$

В любом топологическом пространстве пустое множество и само множество всегда открыты. Эти два набора наиболее известных примеров открыто-замкнутых подмножеств и показывают, что открыто-замкнутые подмножества существуют в каждом топологическом пространстве. Чтобы понять, почему Clopen, начните с напоминания о том, что множества и по определению всегда являются открытыми подмножествами (из ). Также по определению подмножество называется закрытым, если (и только если) его дополнение, в котором находится набор, является открытым подмножеством. Поскольку дополнение (входящее ) всего набора является пустым набором (т.е. ), которое является открытым подмножеством, это означает, что это закрытое подмножество${\displaystyle (X,\tau ),}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X\setminus S,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S:=X}$${\displaystyle X\setminus S=\varnothing }$${\displaystyle S=X}$${\displaystyle X}$(по определению «замкнутое подмножество»). Следовательно, независимо от того, какая топология размещена на всем пространстве, это одновременно и открытое подмножество, и закрытое подмножество ; говорят по- другому, это всегда открыто - замкнутое подмножество Поскольку дополнение пустого множества является что открытое подмножество, то же рассуждение можно сделать вывод , что также является замкнутым подмножеством${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X\setminus \varnothing =X,}$${\displaystyle S:=\varnothing }$${\displaystyle X.}$

Рассмотрим вещественную прямую, наделенную ее обычной евклидовой топологией , открытые множества которой определяются следующим образом: каждый интервал действительных чисел принадлежит топологии, каждое объединение таких интервалов, например, принадлежит топологии, и, как всегда, оба и принадлежат топология.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (a,b)\cup (c,d),}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \varnothing }$

• Интервал открыт, потому что он принадлежит евклидовой топологии. Если бы иметь открытое дополнение, это означало бы, по определению, закрытое. Но не имеет открытого дополнения; его дополнение , которое вовсе не принадлежит к евклидовой топологии , поскольку она не является объединение открытых интервалов вида Следовательно, является примером набора , который является открытым , но не закрыто.${\displaystyle I=(0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),}$${\displaystyle (a,b).}$${\displaystyle I}$
• По аналогичному аргументу интервал является замкнутым подмножеством, но не открытым подмножеством.${\displaystyle J=[0,1]}$
• Наконец, поскольку ни одно, ни его дополнение не принадлежит евклидовой топологии (потому что ее нельзя записать как объединение интервалов формы ), это означает, что она не является ни открытой, ни замкнутой.${\displaystyle K=[0,1)}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle K}$

Если топологическое пространство наделено дискретной топологией (так что по определению каждое подмножество открыто), то каждое подмножество является закрытым подмножеством. Для более сложного примера напоминает о дискретной топологии, предположит , что это ультрафильтр на непустое множестве Тогда объединение является топологией с тем свойством , что каждое непустое собственное подмножество из есть либо открытое подмножество , либо замкнутое подмножество , но не то и другое одновременно; то есть, если (где ), то верно ровно одно из следующих двух утверждений: либо (1), либо иначе, (2)${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \neq S\subsetneq X}$${\displaystyle S\neq X}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$Иначе говоря, каждое подмножество является открытым или закрытым , но только подмножеством , которые являются одновременно (т.е. которые являются замкнутыми) является и${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X.}$

Обычные открытые наборы[ редактировать ]

Подмножество топологического пространства называется регулярным открытым множеством, если или эквивалентно, если где (соответственно ) обозначает топологическую границу (соответственно внутреннее , замыкание ) в топологическом пространстве, для которого существует база, состоящая из регулярных открытых множеств, есть называется полуправильным пространством . Подмножеством является регулярным открытым множеством тогда и только тогда , когда его дополнением является регулярным замкнутым множеством, причем по определению подмножество из называется регулярным замкнутым множеством , если или , что эквивалентно, если${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S,}$${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$ Каждое регулярное открытое множество (соотв. Регулярное замкнутое множество) является открытым подмножеством (соответственно замкнутое подмножество) , хотя в общем случае , ^{[примечание 1]} , что , обратные являются не так.

Свойства [ править ]

Объединение любого числа открытых множеств, или бесконечно много открытых множеств открыто. ^[2] пересечение конечного числа открытых множеств открыто. ^[2]

Дополнение открытого множества ( по отношению к пространству , что топология определяется на) называется замкнутое множество . Набор может быть как открытым, так и закрытым ( закрытый набор ). Пустое множество и полное пространство примеры множеств, которые одновременно являются открытыми и закрытыми. ^[3]

Использует [ редактировать ]

Открытые множества имеют фундаментальное значение в топологии . Эта концепция требуется для определения и осмысления топологического пространства и других топологических структур, которые имеют дело с понятиями близости и сходимости для таких пространств, как метрические пространства и равномерные пространства .

Каждое подмножество A топологического пространства X содержит (возможно, пустое) открытое множество; максимальная (упорядоченные по включению) такое открытое множество называется интерьер из A . Он может быть построен, принимая объединение всех открытых множеств , содержащихся в A .

Функция между двумя топологическими пространствами и является непрерывной , если прообраз каждого открытого множества в открытой в Функция называется открытым , если образ каждого открытого множества в открыто в${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

Открытое множество на реальной прямой обладает тем свойством, что оно является счетным объединением непересекающихся открытых интервалов.

Примечания и предупреждения [ править ]

«Открытый» определяется относительно конкретной топологии [ править ]

Открытость набора зависит от рассматриваемой топологии . Сделав выбор в пользу большей краткости вместо большей ясности , мы называем множество X, наделенное топологией, «топологическим пространством X », а не «топологическим пространством », несмотря на то, что все топологические данные содержатся в Если есть две топологии в том же наборе набор U , открытый в первой топологии, может не открыться во второй топологии. Например, если X - любое топологическое пространство, а Y - любое подмножество X , множество Y${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau .}$может иметь свою собственную топологию (называемую «топологией подпространства»), определяемую следующим образом: «множество U открыто в топологии подпространства на Y тогда и только тогда, когда U является пересечением Y с открытым множеством из исходной топологии на X ». Это потенциально вводит новые открытые множества: если V открыто в исходной топологии на X , но не открыто в исходной топологии на X , то открыто в топологии подпространства на Y .${\displaystyle V\cap Y}$${\displaystyle V\cap Y}$

В качестве конкретного примера этого, если U определяется как множество рациональных чисел в интервале, то U является открытым подмножеством рациональных чисел , но не действительных чисел . Это происходит потому , что , когда окружающее пространство рациональных чисел, для каждой точку х в U , существует такое положительное число таким образом, что все рациональные точки в пределах расстояния а от й также в U . Не С другой стороны, когда окружающее пространство в реал, то для каждой точки х в U есть нет${\displaystyle (0,1),}$положительное a такое, что все реальные точки на расстоянии a от x находятся в U (поскольку U не содержит нерациональных чисел).

См. Также [ править ]

• База (топология)  - набор открытых множеств, достаточный для определения топологии.
• Clopen set  - подмножество одновременно открытого и закрытого
• Замкнутое множество  - дополнение открытого подмножества топологического пространства. Он содержит все «близкие» к нему точки.
• Локальный гомеоморфизм  - непрерывное открытое отображение, которое вокруг каждой точки в своей области определения имеет окрестность, на которой оно ограничивается до гомоморфизма.
• Открыть карту
• Подбаза  - набор подмножеств, закрытие которых конечными пересечениями образуют основу топологии.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Открытый набор» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]