Абсолютная преемственность

В исчислении , абсолютная непрерывность является свойством гладкости функций , которые сильнее , чем непрерывности и равномерной непрерывности . Понятие абсолютной непрерывности позволяет получить обобщение взаимосвязи между двумя центральными операциями исчисления - дифференцированием и интегрированием . Это соотношение обычно характеризуется ( основной теоремой исчисления ) в рамках интегрирования Римана , но с абсолютной непрерывностью оно может быть сформулировано в терминах интегрирования Лебега . Для действительных функций наНа прямой линии появляются два взаимосвязанных понятия: абсолютная непрерывность функций и абсолютная непрерывность мер. Эти два понятия обобщаются в разных направлениях. Обычная производная функции связана с производной Радона – Никодима или плотностью меры.

Имеются следующие цепочки включений для функций над компактным подмножеством вещественной прямой:

абсолютно непрерывный ⊆ равномерно непрерывный ⊆ непрерывный

а для компактного интервала

непрерывно дифференцируема ⊆ липшицируемая ⊆ абсолютно непрерывен ⊆ ограниченной вариации ⊆ дифференцируема почти всюду

Абсолютная преемственность функций [ править ]

Непрерывная функция не может быть абсолютно непрерывной, если она не может быть равномерно непрерывной , что может произойти, если область определения функции не компактна - примерами являются tan ( x ) на [0, $π$ / 2), x ² на всем вещественном прямой и sin (1 / x ) над (0, 1]. Но непрерывная функция f может не быть абсолютно непрерывной даже на компактном интервале. Она не может быть «дифференцируемой почти всюду» (как функция Вейерштрасса , которая является не дифференцируемо нигде). Или он может быть дифференцируемым почти всюду, а его производная f ′ может быть интегрируемой, но интеграл от f отличается от приращения f (насколько f изменяется за интервал). Это происходит, например, с функцией Кантора .

Определение [ править ]

Позвольте быть интервал в реальной строке . Функция является абсолютно непрерывна на , если для каждого положительного числа , существует положительное число такое , что всякий раз , когда конечная последовательность попарно непересекающихся подынтервалов из с удовлетворяет ^[1] ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ двоеточие I \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle x_ {k}, y_ {k} \ in I}$

{\ displaystyle \ sum _ {k} (y_ {k} -x_ {k}) <\ delta}

тогда

{\ displaystyle \ sum _ {k} | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) | <\ varepsilon.}

Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на обозначается . ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ operatorname {AC} (I)}$

Эквивалентные определения [ править ]

Следующие условия на вещественнозначную функцию f на компактном интервале [ a , b ] эквивалентны: ^[2]

f абсолютно непрерывна;
f имеет производную f ′ почти всюду , производная интегрируема по Лебегу и
${\ Displaystyle е (х) = е (а) + \ int _ {а} ^ {х} е '(т) \, dt}$
для всех x на [ a , b ];
существует интегрируемая по Лебегу функция g на [ a , b ] такая, что
${\ Displaystyle е (х) = е (а) + \ int _ {а} ^ {х} г (т) \, dt}$
для всех x в [ a , b ].

Если эти эквивалентные условия выполнены, то с необходимостью g = f ′ почти всюду.

Эквивалентность между (1) и (3) известна как основная теорема интегрального исчисления Лебега , благодаря Лебегу . ^[3]

Эквивалентное определение с точки зрения мер см. В разделе « Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности» .

Свойства [ править ]

Сумма и разность двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывны. Если две функции определены на ограниченном отрезке, их произведение также абсолютно непрерывно. ^[4]
Если абсолютно непрерывная функция определена на ограниченном отрезке и нигде не равна нулю, то ее обратная функция абсолютно непрерывна. ^[5]
Всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна и, следовательно, непрерывна . Всякая липшицево-непрерывная функция абсолютно непрерывна. ^[6]
Если f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывно, то оно имеет ограниченную вариацию на [ a , b ]. ^[7]
Если функция f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывна, то ее можно записать как разность двух монотонных неубывающих абсолютно непрерывных функций на [ a , b ].
Если f : [ a , b ] → R абсолютно непрерывно, то оно обладает свойством Лузина N (то есть для любого такого , что выполняется , где - мера Лебега на R ). ${\ Displaystyle L \ substeq [а, b]}$ ${\ displaystyle \ lambda (L) = 0}$ ${\ Displaystyle \ лямбда (е (L)) = 0}$ $\lambda$
f : I → R абсолютно непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен, имеет ограниченную вариацию и обладает свойством Лузина N.

Примеры [ править ]

Следующие функции равномерно непрерывны, но не абсолютно непрерывны:

функция Кантора на [0, 1] (это ограниченное изменение , но не абсолютно непрерывна);
функция

f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}

на конечном интервале, содержащем начало координат.

Следующие функции абсолютно непрерывны, но не α-Гёльдера:

функция f ( x ) = x ^β на [0, c] для любого 0 <β <α <1

Следующие функции являются абсолютно непрерывными и α-гёльдеровскими, но не липшицевыми :

функция f ( x ) = √ x на [0, c] для α ≤ 1/2.

Обобщения [ править ]

Пусть ( Х , д ) быть метрическим пространством , и пусть я быть интервалом в реальной линии R . Функция F : Я → Х является абсолютно непрерывна на I , если для любого положительного числа , существует положительное число такое , что всякий раз , когда конечная последовательность попарно непересекающихся подынтервалов [ х _к , у _K ] из I удовлетворяет $\epsilon$ $\delta$

\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta

тогда

\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon .

Совокупность всех абсолютно непрерывных функций из I в X обозначается AC ( I ; X ).

Дальнейшее обобщение - это пространство AC ^p ( I ; X ) кривых f : I → X таких, что ^[8]

d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I

в течение некоторого т в л р пространство L ^р (I).

Свойства этих обобщений [ править ]

Всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна и, следовательно, непрерывна . Всякая липшицево-непрерывная функция абсолютно непрерывна.
Если f : [ a , b ] → X абсолютно непрерывно, то оно имеет ограниченную вариацию на [ a , b ].
Для F ∈ AC ^р ( я ; Х ), то метрика производной от F существует для Х - почти все времена в I , и метрика производной является наименьшим м ∈ L ^р ( я ; R ) таким образом, что ^[9]

d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.

Абсолютная преемственность мер [ править ]

Определение [ править ]

Мера на борелевских подмножеств вещественной прямой абсолютно непрерывна относительно меры Лебега (другими словами, преобладают ) , если для любого измеримого множества , подразумевает . Это записывается как . $\mu$ $\lambda$ $\lambda$ $A$ $\lambda (A)=0$ $\mu (A)=0$ $\mu \ll \lambda$

В большинстве приложений, если мера на вещественной прямой просто называется абсолютно непрерывной - без указания, относительно какой другой меры она абсолютно непрерывна - то имеется в виду абсолютная непрерывность относительно меры Лебега.

Тот же принцип справедлив и для мер на борелевских подмножествах . $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2$

Эквивалентные определения [ править ]

Следующие условия на конечную меру μ на борелевских подмножествах вещественной прямой эквивалентны: ^[10]

(1) μ абсолютно непрерывна;

(2) для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ , что μ ( A ) < ε для всех борелевских множеств A с мерой Лебега меньше δ ;

(3) существует интегрируемая по Лебегу функция g на вещественной прямой такая, что

\mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda

для всех борелевских подмножеств A вещественной прямой.

Эквивалентное определение в терминах функций см. В разделе « Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности» .

Любая другая функция, удовлетворяющая (3), почти всюду равна g . Такая функция называется производной Радона – Никодима или плотностью абсолютно непрерывной меры µ .

Эквивалентность между (1), (2) и (3) сохраняется также в R ⁿ для всех n = 1, 2, 3, ...

Таким образом, абсолютно непрерывные меры на R ⁿ - это в точности те, которые имеют плотности; как частный случай, абсолютно непрерывные вероятностные меры - это как раз те, которые имеют функции плотности вероятности .

Обобщения [ править ]

Если μ и ν - две меры на одном и том же измеримом пространстве , μ называется абсолютно непрерывной относительно ν, если μ ( A ) = 0 для любого множества A, для которого ν ( A ) = 0. ^[11] Это записано. как " ". То есть: $(X,{\mathcal {A}})$ $\mu \ll \nu$

\mu \ll \nu \qquad \iff \qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\quad (\nu (A)=0\ \Rightarrow \ \mu (A)=0).

Абсолютная непрерывность мер рефлексивна и транзитивна , но не антисимметрична , поэтому это предварительный порядок, а не частичный порядок . Вместо этого, если и , меры µ и ν называются эквивалентными . Таким образом, абсолютная непрерывность индуцирует частичное упорядочение таких классов эквивалентности . $\mu \ll \nu$ $\nu \ll \mu$

Если µ - знаковая или комплексная мера , говорят, что µ абсолютно непрерывна относительно ν, если ее вариация | μ | удовлетворяет | μ | ≪ ν; эквивалентно, если каждое множество A, для которого ν ( A ) = 0, является μ - нулевым .

Теорема Радона – Никодима ^[12] утверждает, что если μ абсолютно непрерывна относительно ν , и обе меры σ-конечны , то μ имеет плотность или «производную Радона-Никодима» относительно ν , что означает, что существует ν -измеримая функция f, принимающая значения в [0, + ∞), обозначаемая f = dμ / dν , такая, что для любого ν -измеримого множества A имеем

\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu .

Сингулярные меры [ править ]

Via теорема разложения Лебега , ^[13] каждая мера может быть разложена на сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярную меру. См особой меры примеры мер, которые не являются абсолютно непрерывными.

Связь между двумя понятиями абсолютной преемственности [ править ]

Конечная мера μ на борелевских подмножествах вещественной прямой абсолютно непрерывна относительно меры Лебега тогда и только тогда, когда точечная функция

F(x)=\mu ((-\infty ,x])

является абсолютно непрерывной действительной функцией. В более общем смысле, функция является локально (то есть на каждом ограниченном интервале) абсолютно непрерывной тогда и только тогда, когда ее производная по распределению является мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.

Если абсолютная непрерывность имеет место тогда производная Радона-Никодима ц равна почти всюду производной F . ^[14]

В более общем плане предполагается , что мера μ является локально конечной (а не конечной), а F ( x ) определяется как μ ((0, x ]) для x > 0 , 0 для x = 0 и - μ (( x , 0]) для й <0 . В этом случае М является мерой Лебега-Стилтьеса , порожденной F . ^[15] связь между этими двумя понятиями абсолютной непрерывности остается в силу. ^[16]

Заметки [ править ]

^ Ройден 1988 , п. 5.4, стр. 108; Nielsen 1997 , Определение 15.6 на странице 251; Athreya & Lahiri 2006 , Определения 4.4.1, 4.4.2 на страницах 128,129. Предполагается, что интервалограничен и замкнут в первых двух книгах, но не во второй. $I$
^ Нильсен 1997 , теорема 20.8 на стр. 354; также Royden 1988 , Sect. 5.4, стр. 110 и Athreya & Lahiri 2006 , теоремы 4.4.1, 4.4.2 на стр. 129 130.
^ Athreya & Лахири 2006 , перед теоремой 4.4.1 на стр 129.
^ Ройден 1988 , задача 5,14 (а, б) на странице 111.
^ Ройден 1988 , задача 5,14 (с) на странице 111.
^ Ройден 1988 , задача 5,20 (а) на странице 112.
^ Ройден 1988 , лемма 5.11 на стр 108.
^ Ambrosio, Gigli & Савар 2005 , определение 1.1.1 на странице 23
^ Ambrosio, Gigli & Савар 2005 , теорема 1.1.2 на странице 24
^ Эквивалентность между (1) и (2) является частным случаем Nielsen 1997 , предложение 15.5 на стр. 251 (не выполняется для σ-конечных мер); эквивалентность между (1) и (3) является частным случаем теоремы Радона – Никодима , см. Nielsen 1997 , теорема 15.4 на стр. 251 или Athreya & Lahiri 2006 , пункт (ii) теоремы 4.1.1 на стр. 115 (все еще сохраняется для σ-конечных мер).
↑ Nielsen 1997 , Определение 15.3 на странице 250; Ройден 1988 , Сект. 11.6, стр. 276; Athreya & Lahiri 2006 , Определение 4.1.1 на стр. 113.
^ Ройден 1988 , теорема 11.23 на стр. 276; Нильсен 1997 , теорема 15.4 на стр. 251; Athreya & Lahiri 2006 , пункт (ii) теоремы 4.1.1 на стр. 115.
^ Ройден 1988 , предложение 11,24 на странице 278; Нильсен 1997 , теорема 15.14 на стр. 262; Athreya & Lahiri 2006 , пункт (i) теоремы 4.1.1 на стр. 115.
^ Ройден 1988 , Проблема 12,17 (б) на странице 303.
^ Athreya & Лахири 2006 , п. 1.3.2, стр. 26.
↑ Nielsen 1997 , Предложение 15.7 на странице 252; Атрейя и Лахири 2006 , теорема 4.4.3 на стр. 131; Ройден 1988 , проблема 12.17 (a) на странице 303.

Ссылки [ править ]

Амбросио, Луиджи; Джильи, Никола; Саваре, Джузеппе (2005), Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель, ISBN 3-7643-2428-7
Athreya, Krishna B .; Лахири, Соумендра Н. (2006), Теория меры и теория вероятностей , Springer, ISBN 0-387-32903-X
Леони, Джованни (2009), Первый курс по пространствам Соболева , Аспирантура по математике, Американское математическое общество, стр. Xvi + 607 ISBN 978-0-8218-4768-8 , MR 2527916 , Zbl 1180.46001 , MAA
Нильсен, Оле А. (1997), Введение в теорию интеграции и меры , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
Ройден, HL (1988), Реальный анализ (третье изд.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Внешние ссылки [ править ]

Абсолютная преемственность в энциклопедии математики
Темы в реальном и функциональном анализе по Джералду Тешл

[1] Ройден 1988 , п. 5.4, стр. 108; Nielsen 1997 , Определение 15.6 на странице 251; Athreya & Lahiri 2006 , Определения 4.4.1, 4.4.2 на страницах 128,129. Предполагается, что интервалограничен и замкнут в первых двух книгах, но не во второй. $I$

[2] Нильсен 1997 , теорема 20.8 на стр. 354; также Royden 1988 , Sect. 5.4, стр. 110 и Athreya & Lahiri 2006 , теоремы 4.4.1, 4.4.2 на стр. 129 130.

[3] Athreya & Лахири 2006 , перед теоремой 4.4.1 на стр 129.

[4] Ройден 1988 , задача 5,14 (а, б) на странице 111.

[5] Ройден 1988 , задача 5,14 (с) на странице 111.

[6] Ройден 1988 , задача 5,20 (а) на странице 112.

[7] Ройден 1988 , лемма 5.11 на стр 108.

[8] Ambrosio, Gigli & Савар 2005 , определение 1.1.1 на странице 23

[9] Ambrosio, Gigli & Савар 2005 , теорема 1.1.2 на странице 24

[10] Эквивалентность между (1) и (2) является частным случаем Nielsen 1997 , предложение 15.5 на стр. 251 (не выполняется для σ-конечных мер); эквивалентность между (1) и (3) является частным случаем теоремы Радона – Никодима , см. Nielsen 1997 , теорема 15.4 на стр. 251 или Athreya & Lahiri 2006 , пункт (ii) теоремы 4.1.1 на стр. 115 (все еще сохраняется для σ-конечных мер).

[11] Nielsen 1997 , Определение 15.3 на странице 250; Ройден 1988 , Сект. 11.6, стр. 276; Athreya & Lahiri 2006 , Определение 4.1.1 на стр. 113.

[12] Ройден 1988 , теорема 11.23 на стр. 276; Нильсен 1997 , теорема 15.4 на стр. 251; Athreya & Lahiri 2006 , пункт (ii) теоремы 4.1.1 на стр. 115.

[13] Ройден 1988 , предложение 11,24 на странице 278; Нильсен 1997 , теорема 15.14 на стр. 262; Athreya & Lahiri 2006 , пункт (i) теоремы 4.1.1 на стр. 115.

[14] Ройден 1988 , Проблема 12,17 (б) на странице 303.

[15] Athreya & Лахири 2006 , п. 1.3.2, стр. 26.

[16] Nielsen 1997 , Предложение 15.7 на странице 252; Атрейя и Лахири 2006 , теорема 4.4.3 на стр. 131; Ройден 1988 , проблема 12.17 (a) на странице 303.