Функция Вейерштрасса

Не путать с эллиптической функцией Вейерштрасса ( ) или сигма-, дзета- или эта-функциями Вейерштрасса .${\displaystyle \wp }$

График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Как и другие фракталы , функция демонстрирует самоподобие : каждое увеличение (красный кружок) похоже на глобальный график.

В математике , то функция Вейерштрассы является примером вещественнозначной функции , которая не является непрерывным всюду , но дифференцируемы нигде. Это пример фрактальной кривой . Он назван в честь его первооткрывателя Карла Вейерштрасса .

Функция Вейерштрасса исторически выполняла роль патологической функции, будучи первым опубликованным примером (1872 г.), специально созданным для того, чтобы оспорить представление о том, что каждая непрерывная функция является дифференцируемой, за исключением набора изолированных точек. ^[1] Доказательство Вейерштрасса, что непрерывность не предполагает дифференцируемости почти всюду, перевернуло математику, опровергнув несколько доказательств, основанных на геометрической интуиции и нечетких определениях гладкости . Современники осуждали такие функции: Анри Пуанкаре назвал их «чудовищами» и назвал работу Вейерштрасса «возмущением здравого смысла», а Шарль Эрмит.писали, что они были «жалким бичом». Функции было невозможно визуализировать до появления компьютеров в следующем столетии, поэтому доказательство результата полностью полагалось на технически сложные теоретические шаги. Результаты не получили широкого признания до тех пор, пока для практических приложений, таких как модели броуновского движения, не потребовались бесконечно зубчатые функции (в настоящее время известные как фрактальные кривые). ^[2]

Строительство [ править ]

Анимация основана на увеличении значения b с 0,1 до 5.

В оригинальной статье Вейерштрасса функция была определена как ряд Фурье :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

где , - положительное нечетное целое число, а${\displaystyle 0<a<1}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$

Минимальное значение, для которого существует такое, что эти ограничения выполняются, равно . Эта конструкция, наряду с доказательством того, что функция не дифференцируема ни на каком интервале, была впервые представлена ​​Вейерштрассом в статье, представленной Königliche Akademie der Wissenschaften 18 июля 1872 г. ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle b}$${\displaystyle 0<a<1}$${\displaystyle b=7}$

Несмотря на то, что функция никогда не была дифференцируемой, она является непрерывной: поскольку члены бесконечного ряда, который ее определяет, ограничены ± a ^n, а это имеет конечную сумму для 0 < a <1, сходимость суммы членов равномерна по формуле Вейерштрасса. M-тест с M _n = a ⁿ . Поскольку каждая частичная сумма непрерывна, по равномерной предельной теореме следует, что f непрерывна. Кроме того, поскольку каждая частичная сумма равномерно непрерывна , отсюда следует, что f также равномерно непрерывна.

Можно было ожидать, что непрерывная функция должна иметь производную или что множество точек, в которых она не дифференцируема, должно быть счетно бесконечным или конечным. Согласно Вейерштрассу в его статье, более ранние математики, включая Гаусса, часто предполагали, что это правда. Это может быть связано с тем, что трудно нарисовать или визуализировать непрерывную функцию, набор недифференцируемых точек которой представляет собой нечто иное, чем счетный набор точек. Аналогичные результаты для классов непрерывных функций с лучшим поведением действительно существуют, например, липшицевы функции , чей набор точек недифференцируемости должен быть нулевым множеством Лебега ( теорема Радемахера). Когда мы пытаемся нарисовать общую непрерывную функцию, мы обычно рисуем график функции, которая является липшицевой или иначе хорошо себя ведет.

Функция Вейерштрасса была одним из первых исследованных фракталов , хотя этот термин использовался намного позже. У функции есть детализация на каждом уровне, поэтому увеличение участка кривой не показывает, что он постепенно приближается к прямой линии. Скорее между любыми двумя точками, независимо от того, насколько близко, функция не будет монотонной.

Вычисление размерности Хаусдорфа D графика классической функции Вейерштрасса было открытой проблемой до 2018 г .: хотя обычно считалось, что D равно 2 + log _b a , ^{[6] [7]} только спустя более 30 лет ^{[ пояснение необходимо ]} это было строго доказано. ^[8]

Термин функция Вейерштрасса часто используется в реальном анализе для обозначения любой функции со свойствами и конструкцией, аналогичными первоначальному примеру Вейерштрасса. Например, функцию косинуса можно заменить в бесконечном ряду кусочно-линейной функцией «зигзаг» . Г. Х. Харди показал, что функция приведенной выше конструкции нигде не дифференцируема при предположениях 0 < a <1, ab ≥ 1. ^[9]

Преемственность Гёльдера [ править ]

Функцию Вейерштрасса удобно записать эквивалентным образом:

${\displaystyle W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)}$

для . Тогда W _α ( x ) непрерывна по Гёльдеру показателя α, т. Е. Существует константа C такая, что${\displaystyle \alpha =-{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}}$

${\displaystyle |W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }}$

для всех x и y . ^[10] Более того, W ₁ непрерывно по Гёльдеру всех порядков α <1, но не липшицево .

Плотность нигде не дифференцируемых функций [ править ]

Оказывается, функция Вейерштрасса - далеко не единичный пример: хотя она «патологическая», она также «типична» для непрерывных функций:

• В топологическом смысле: множество нигде не дифференцируемых вещественнозначных функций на [0, 1] сходится в векторном пространстве C ([0, 1];  R ) всех непрерывных действительных функций на [0, 1] с топологией равномерной сходимости . ^{[11] [12]}
• В теоретико-мерный смысл: когда пространство С ([0, 1];  R ) оснащен классической Винерой гаммой , совокупность функций, дифференцируемые по даже одной точке [0, 1] & gamma ; - мера ноль . То же самое справедливо , даже если один принимает конечномерные «ломтики» из C ([0, 1];  R ), в том смысле , что нигде не дифференцируемые функции образуют преобладающее подмножество из C ([0, 1];  R ) .

См. Также [ править ]

• Кривая Бланманже
• Коха снежинка
• Непрерывная функция в никуда

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дэвид, Клэр (2018), «Обход динамических систем: простой способ получить размерность подсчета ящиков графика функции Вейерштрасса», Труды Международного центра геометрии Академии наук Украины, 11 (2): 53 -68, DOI : 10,15673 / tmgc.v11i2.1028
• Фалконер, К. (1984), Геометрия фрактальных множеств , Кембриджские трактаты по математике, Книга 85, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
• Gelbaum, B Bernard R .; Олмстед, Джон М. Х. (2003) [1964], Контрпримеры в анализе , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Hardy, GH (1916), "недифференцируемая функция Вейерштрасса" (PDF) , Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 17 (3): 301-325, DOI : 10,2307 / 1989005 , JSTOR  1989005
• Вейерштрасс, Карл (18 июля 1872 г.), Übercontinirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen , Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Вейерштрасс, Карл (1895 г.), «Übercontinirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen» , Mathematische Werke von Karl Weierstrass , 2 , Берлин, Германия: Mayer & Müller74, стр. 71–71.
  • Английский перевод: Эдгар, Джеральд А. (1993), «О непрерывных функциях действительного аргумента, которые не обладают четко определенной производной для любого значения своего аргумента», Классика фракталов , Исследования нелинейности, издательство Addison-Wesley Publishing Company , стр. 3–9, ISBN 978-0-201-58701-2

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Вейерштрасса» . MathWorld . (другая функция Вейерштрасса, которая также является непрерывной и нигде не дифференцируемой)
• Нигде не доказано существование дифференцируемой непрерывной функции с использованием принципа сжатия Банаха .
• Нигде нет доказательства существования монотонной непрерывной функции с помощью теоремы Бэра о категории .
• Йохан Тим. «Непрерывные нигде не дифференцируемые функции» . Магистерская диссертация Lulea Univ of Technology 2003 . Проверено 28 июля 2006 года .
• Функция Вейерштрасса на комплексной плоскости Красивый фрактал.
• SpringerLink - Журнал анализа Фурье и приложений, Том 16, номер 1 Простые доказательства нигде-дифференцируемости для функции Вейерштрасса и случаи медленного роста
• Функции Вейерштрасса: непрерывные, но нигде не дифференцируемые