Гладкость

"C infinity" перенаправляется сюда. Для расширенной комплексной плоскости см сферу Римана .${\ displaystyle \ mathbb {C} _ {\ infty}}$

"C ^ n" перенаправляется сюда. Для см. Комплексное координатное пространство .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Функция удара - это плавная функция с компактной опорой .

В математическом анализе , то гладкость из функции является свойством измеряется по количеству непрерывных производных он имеет более некоторой области. ^{[1] [2]} Как минимум, функция может считаться «гладкой», если она дифференцируема всюду (следовательно, непрерывна). ^[3] С другой стороны, он может также обладать производными всех порядков в своей области определения , и в этом случае он называется бесконечно дифференцируемым и называется функцией (или функцией) C-бесконечности . ^[4]${\displaystyle C^{\infty }}$

Классы дифференцируемости [ править ]

Класс дифференцируемости - это классификация функций по свойствам их производных . Это мера производной высшего порядка, которая существует для функции.

Рассмотрим открытый набор на реальной прямой и функцию f, определенную на этом наборе с действительными значениями. Пусть k - целое неотрицательное число . Функция f называется классом (дифференцируемости) C ^k, если производные f ′, f ″, ..., f ^{( k )} существуют и непрерывны (непрерывность подразумевается дифференцируемостью для всех производных, кроме f ^{( k )} ). Функция f называется бесконечно дифференцируемой., гладкой или класса C ^∞ , если она имеет производные всех порядков. ^[5] Функция F называется из класса C ^со , или аналитическим , если е является гладким и если ее рядом Тейлор расширение вокруг любой точки в своей области сходится к функции в некоторых окрестностях точки. Таким образом, C ^ω строго содержится в C ^∞ . Выступающие функции являются примерами функций из C ^∞, но не из C ^ω.

Иными словами, класс C ⁰ состоит из всех непрерывных функций. Класс C ¹ состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция C ¹ - это в точности функция, производная которой существует и принадлежит классу C ⁰ . В общем, классы C ^k можно определить рекурсивно , объявив C ⁰ набором всех непрерывных функций и объявив C ^k для любого положительного целого числа k- множество всех дифференцируемых функций, производная которых лежит в C ^{k −1} . В частности, C ^k содержится в C ^{k −1} для любого k > 0, и есть примеры, показывающие, что это включение является строгим ( C ^k ⊊ C ^{k −1} ). Класс C ^∞ бесконечно дифференцируемых функций является пересечением классов C ^k при изменении k по неотрицательным целым числам.

Примеры [ править ]

Функция с для и дифференцируема. Однако эта функция не является непрерывно дифференцируемой.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle f(0)=0}$

Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$

непрерывна, но не дифференцируема в точке x = 0 , поэтому имеет класс C ⁰ , но не класс C ¹ .

Функция

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {({\tfrac {1}{x}})}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

дифференцируема, с производной

${\displaystyle g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos({\tfrac {1}{x}})}}+2x\sin({\tfrac {1}{x}})&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}$

Поскольку колеблется при x → 0, не является непрерывным в нуле. Следовательно, дифференцируемо, но не класса C ¹ . Более того, если в этом примере взять ( x ≠ 0) , это может быть использовано, чтобы показать, что производная функция дифференцируемой функции может быть неограниченной на компакте и, следовательно, что дифференцируемая функция на компакте может не быть локально липшицево .${\displaystyle \cos(1/x)}$${\displaystyle g'(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle g(x)=x^{4/3}\sin(1/x)}$

Функции

${\displaystyle f(x)=|x|^{k+1}}$

где k четно, непрерывны и дифференцируемы k раз при всех x . Но при x = 0 они не дифференцируемы ( k + 1) раз, поэтому они относятся к классу C ^k , но не к классу C ^j, где j > k .

Экспоненциальная функция является аналитической, и , следовательно , попадает в класс C ^со . В тригонометрические функции также являются аналитическими , где они определены.

Функция удара

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

гладкая, поэтому имеет класс C ^∞ , но не аналитична в точке x = ± 1 и, следовательно, не принадлежит классу C ^ω . Функция f является примером гладкой функции с компактным носителем .

Классы многомерной дифференцируемости [ править ]

Функция , определенная на открытом множестве из Говорят , ^[6] , чтобы быть класса на , для положительного целого числа , если все частные производные${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$

существуют и непрерывны для любых неотрицательных целых чисел, таких что , и every . Эквивалентное имеет класс на если -го порядка Фреше производная от существует и непрерывна в каждой точке . Функция называется классной или непрерывной .${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k}$${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle U}$

Функция , определенная на открытом множестве из , называется класса на , для положительного целого числа , если все его компоненты${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m}$

имеют класс , где - естественные проекции, определяемые . Он называется классным, или если он непрерывен, или, что то же самое, если все компоненты непрерывны, на .${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle U}$

Пространство C ^K функций [ править ]

Пусть D - открытое подмножество реальной прямой. Множество всех С ^K вещественных функций , определенных на D является векторным пространством Фреше , с счетным семейством полунорм

${\displaystyle p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|}$

где K изменяется по возрастающей последовательности компактов , объединение которых равно D , и m = 0, 1, ..., k .

Множество C ^∞ функций над D также образует пространство Фреше. Один использует те же полунормы, что и выше, за исключением того, что m может пробегать все неотрицательные целые числа.

Вышеупомянутые пространства естественным образом встречаются в приложениях, где необходимы функции, имеющие производные определенных порядков; однако, особенно при изучении уравнений с частными производными , иногда может быть более плодотворным работать с пространствами Соболева .

Параметрическая непрерывность [ править ]

Термины параметрическая непрерывность и геометрическая непрерывность ( G ⁿ ) были введены Брайаном Барски , чтобы показать, что гладкость кривой может быть измерена путем снятия ограничений на скорость , с которой параметр отслеживает кривую. ^{[7] [8] [9]}

Параметрическая непрерывность - это концепция, применяемая к параметрическим кривым , которая описывает плавность значения параметра с расстоянием вдоль кривой.

Определение [ править ]

Говорят, что (параметрическая) кривая имеет класс C ^k , если существует и непрерывна на , где производные в конечных точках считаются односторонними производными (т. Е. В точке справа и в точке слева).${\displaystyle s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle 0,1\in [0,1]}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

В качестве практического применения этой концепции кривая, описывающая движение объекта с параметром времени, должна иметь непрерывность C ¹ - чтобы объект имел конечное ускорение. Для более плавного движения, например движения камеры при съемке пленки, требуются более высокие порядки параметрической непрерывности.

Порядок преемственности [ править ]

Различный порядок параметрической непрерывности можно описать следующим образом: ^[10]

• C ⁰ : 0 –я производные непрерывны (кривые непрерывны)
• C ¹ : 0 –я и первая производные непрерывны
• C ² : 0 –я, первая и вторая производные непрерывны
• C ⁿ : производные с 0 по n –й непрерывны.

Геометрическая непрерывность [ править ]

${\displaystyle (1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0}$
Пучок конических сечений с G ² -контактных: р починки, переменной ( : круг, : эллипс, : парабола : гипербола)${\displaystyle \varepsilon }$
${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle \varepsilon =0.8}$${\displaystyle \varepsilon =1}$${\displaystyle \varepsilon =1.2}$

Концепция геометрической или геометрической непрерывности в первую очередь применялась к коническим сечениям (и связанным с ними формам) математиками, такими как Лейбниц , Кеплер и Понселе . Эта концепция была ранней попыткой описания посредством геометрии, а не алгебры, концепции непрерывности, выраженной через параметрическую функцию. ^[11]

Основная идея геометрической непрерывности заключалась в том, что пять конических секций на самом деле были пятью разными версиями одной и той же формы. Эллипс стремится к окружности , как эксцентриситет приближается к нулю, либо к параболе , как он приближается один; а гипербола стремится к параболе при уменьшении эксцентриситета к единице; он также может иметь тенденцию к пересечению линий . Таким образом, между коническими сечениями сохранялась непрерывность . Эти идеи привели к другим концепциям непрерывности. Например, если бы круг и прямая линия были двумя выражениями одной и той же формы, возможно, линию можно было бы рассматривать как круг бесконечного радиуса.. Для того, чтобы это было так, нужно было бы сделать линию замкнутой, позволив точке быть точкой на окружности, а для и быть идентичными. Такие идеи были полезны при разработке современной, алгебраически определенной идеи непрерывности функции и непрерывности (подробнее см. Проективно расширенную вещественную линию ). ^[11]${\displaystyle x=\infty }$${\displaystyle x=+\infty }$${\displaystyle x=\neg \infty }$${\displaystyle \infty }$

Гладкость кривых и поверхностей [ править ]

Кривая или поверхность может быть описан как имеющий G ^п непрерывность с п является мерой повышения гладкости. Рассмотрим отрезки по обе стороны от точки кривой:

• G ⁰ : кривые соприкасаются в точке соединения.
• G ¹ : Кривые также имеют общее касательное направление в точке соединения.
• G ² : Кривые также имеют общий центр кривизны в точке соединения.

В общем, непрерывность G ⁿ существует, если кривые могут быть повторно параметризованы для получения C ⁿ (параметрической) непрерывности. ^{[12] [13]} Повторная параметризация кривой геометрически идентична исходной; затрагивается только параметр.

Эквивалентно две векторные функции f ( t ) и g ( t ) имеют непрерывность G ^n, если f ^{( n )} ( t ) ≠ 0 и f ^{( n )} ( t ) ≡ kg ^{( n )} ( t ) , для скаляра k > 0 (т. Е. Если направление, но не обязательно величина, двух векторов одинаковы).

Хотя может быть очевидно, что кривая потребует непрерывности G ^1, чтобы казаться гладкой, для хорошей эстетики , например, той, к которой стремятся в архитектуре и дизайне спортивных автомобилей , требуются более высокие уровни геометрической непрерывности. Например, отражения в кузове автомобиля не будут казаться гладкими, если тело не имеет непрерывности G ² .

Прямоугольник с закругленными углами (с девяносто градусов дуг окружностей в четырех углах) имеет G ¹ непрерывность, но не имеет G ² непрерывности. То же самое верно и для круглого куба с октантами сферы по углам и четвертьцилиндрами по краям. Если требуется редактируемая кривая с непрерывностью G ² , обычно выбираются кубические шлицы ; эти кривые часто используются в промышленном дизайне .

Гладкость кусочно заданных кривых и поверхностей [ править ]

Другие концепции [ править ]

Отношение к аналитичности [ править ]

Хотя все аналитические функции являются «гладкими» (т. Е. Имеют непрерывные производные) на множестве, на котором они являются аналитическими, такие примеры, как выпуклые функции (упомянутые выше), показывают, что обратное неверно для функций на вещественных числах: существуют гладкие вещественные функции, которые не являются аналитическими. Простые примеры функций, которые являются гладкими, но не аналитичными в любой точке, могут быть получены с помощью рядов Фурье ; другой пример - функция Фабиуса . Хотя может показаться, что такие функции являются скорее исключением, чем правилом, оказывается, что аналитические функции очень тонко разбросаны среди гладких; более строго, аналитические функции образуют скудныйподмножество гладких функций. Более того, для каждого открытого подмножества A вещественной прямой существуют гладкие функции, аналитические на A и нигде больше ^{[ цитата необходима ]} .

Полезно сравнить ситуацию с повсеместным распространением трансцендентных чисел на действительной прямой. Как на вещественной прямой, так и на множестве гладких функций, примеры, которые мы придумываем на первый взгляд (алгебраические / рациональные числа и аналитические функции), ведут себя гораздо лучше, чем в большинстве случаев: трансцендентные числа и нигде не аналитические функции имеют полную меру (их дополнения скудны).

Описанная таким образом ситуация резко контрастирует со сложными дифференцируемыми функциями. Если комплексная функция дифференцируема только один раз на открытом множестве, то и бесконечно дифференцируема и аналитическая на этом множестве ^{[ править ]} .

Гладкие перегородки единства [ править ]

Гладкие функции с заданным замкнутым носителем используются при построении гладких разбиений единицы (см. Разбиение единицы и глоссарий по топологии ); они важны при изучении гладких многообразий , например, чтобы показать, что римановы метрики могут быть определены глобально, исходя из их локального существования. Простым случаем является функция выпуклости на действительной прямой, то есть гладкая функция f, которая принимает значение 0 вне интервала [ a , b ] и такая, что

${\displaystyle f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,}$

Для заданного количества перекрывающихся интервалов на прямой функции выступа могут быть построены на каждом из них, а на полубесконечных интервалах (−∞, c ] и [ d , + ∞), чтобы покрыть всю строку, так что сумма функции всегда 1.

Из того, что только что было сказано, разбиение единицы не применимо к голоморфным функциям ; их различное поведение по отношению к существованию и аналитическому продолжению - один из корней теории пучков . Напротив, пучки гладких функций обычно не несут много топологической информации.

Гладкие функции на коллекторах и между ними [ править ]

Учитывая гладкое многообразие , размерность м , с атласом , то картой является гладкой на М , если для всех существует график , таким образом, что отпускание пути , обозначается гладкое как функция от , чтобы в окрестностях точки (все частные производные до в заданном порядке являются непрерывными). Обратите внимание, что гладкость может быть проверена по отношению к любой предпочтительной диаграмме относительно p в атласе , поскольку требования к гладкости для функций перехода между диаграммами гарантируют, что если гладкость около p на одной диаграмме, она будет гладкой около${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha }}$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \exists (U,\phi )\in {\mathfrak {U}}:p\in U}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \phi ^{-1}}$${\displaystyle (\phi ^{-1})^{*}f=f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi (p)}$${\displaystyle f}$p в любой другой карте атласа. Если вместо этого является отображение на п - мерного многообразия , то Р является гладким , если для каждого р ∈ M , есть диаграмма о р в , и блок - о в с , таким образом, что является гладким , как функция от R ^м к R ⁿ .${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (U,\phi )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (V,\psi )}$${\displaystyle F(p)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle F(U)\subset V}$${\displaystyle \psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)}$

Гладкие отображения между многообразиями индуцируют линейные отображения между касательными пространствами : в каждой точке прямой (или дифференциальный) переводит касательные векторы в точке p в касательные векторы в F (p) :, а на уровне касательного расслоения прямая линия представляет собой векторное расслоение гомоморфизм : . Двойственный к прямому образу является откатом , который «тянет» ковекторы на спину к ковекторам на и К -формам для k - форм: . Таким образом, гладкие функции между многообразиями могут передавать локальные данные , такие как векторные поля.${\displaystyle F:M\to N}$${\displaystyle F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$${\displaystyle F_{*}:TM\to TN}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M)}$и дифференциальные формы , от одного многообразия к другому или вплоть до евклидова пространства, где вычисления, такие как интегрирование , хорошо понятны.

В общем случае прообразы и дальнейшие действия по гладким функциям не являются многообразиями без дополнительных предположений. Прообразы регулярных точек (т. Е. Если дифференциал не обращается в нуль на прообразе) являются многообразиями; это теорема про прообраз . Точно так же продвижение вдоль вложений - это многообразия. ^[14]

Гладкие функции между подмножествами многообразий [ править ]

Соответствующее понятие гладкого отображения имеется для произвольных подмножеств многообразий. Если f  : X → Y - функция , область определения и область значений которой являются подмножествами многообразий X ⊂ M и Y ⊂ N соответственно. Функция f называется гладкой, если для всех x ∈ X существует открытое множество U ⊂ M с x ∈ U и гладкая функция F  : U →N такаячто F ( р ) = е ( р ) для всех р ∈ U ∩ X .

См. Также [ править ]

• Неаналитическая гладкая функция
• Квазианалитическая функция
• Сингулярность (математика)
• Извилистость
• Плавная схема
• Гладкое число (теория чисел)
• Сглаживание
• Сплайн

Ссылки [ править ]