Функция удара

График функции выпуклости, где и${\ Displaystyle (х, у) \ в \ mathbf {R} ^ {2} \ mapsto \ Psi (r),}$${\ Displaystyle г = (х ^ {2} + у ^ {2}) ^ {\ гидроразрыва {1} {2}}}$${\ displaystyle \ Psi (r) = e ^ {- {\ frac {1} {1-r ^ {2}}}} \ cdot \ mathbf {1} _ {\ {| r | <1 \}}. }$

В математике , А функция выпуклости (также называемая функциональным тест ) является функцией на евклидово пространства , которое является одновременно гладким (в том смысле, что непрерывные производные всех порядков) и компактный носитель . Набор всех функций столбиковых с доменом образует векторное пространство , обозначаемое или . Сопряженное пространство этого пространства , наделенное подходящей топологией является пространством распределений .${\ displaystyle f: \ mathbf {R} ^ {n} \ to \ mathbf {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (\ mathbf {R} ^ {n})}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$

Примеры [ править ]

Функция, заданная${\displaystyle \Psi :\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

является примером функции рельефа в одном измерении. Из конструкции ясно, что эта функция имеет компактный носитель, поскольку функция вещественной прямой имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченный замкнутый носитель. Доказательство гладкости проводится по тем же принципам, что и для связанной функции, обсуждаемой в статье о неаналитических гладких функциях . Эту функцию можно интерпретировать как функцию Гаусса, масштабируемую для размещения в единичном диске: подстановка соответствует отправке в .${\displaystyle \exp(-y^{2})}$${\displaystyle y^{2}=1/(1-x^{2})}$${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle y=\infty }$

Простой пример функции выпуклости в переменных получается путем взятия произведения копий указанной выше функции выпуклости в одной переменной, так что ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$

Существование функций удара [ править ]

Иллюстрация наборов в конструкции.

Можно построить неровные функции «по спецификациям». Заявлено формально, если это произвольное компактное множество в измерениях и представляет собой открытое множество , содержащее , существует функция выпуклости , которая находится на и за пределами . Поскольку его можно рассматривать как очень маленькую окрестность , это равносильно возможности построить функцию, которая включена и быстро спадает за пределы , но при этом остается гладкой.${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle K}$

Построение происходит следующим образом. Рассматривается компактная окрестность в содержащихся в , так . Характеристическая функция от будет равна на и за пределами , так что, в частности, он будет на и за пределами . Однако эта функция не является гладкой. Ключевая идея заключается в том, чтобы сгладить немного, беря сверток из с mollifier . Последний - это просто функция удара с очень маленькой опорой, а интеграл которой равен . Такой успокаивающий эффект можно получить, например, взяв функцию выпуклости${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle \chi _{V}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \Phi }$ из предыдущего раздела и выполнив соответствующее масштабирование.

Свойства и использование [ править ]

Хотя функции выпуклости гладкие, они не могут быть аналитическими, если они не обращаются в нуль тождественно. Это простое следствие теоремы о тождестве . Выдувные функции часто используются как смягчающие , гладкие функции отсечки и для формирования гладких разделов единицы . Это наиболее распространенный класс тестовых функций, используемых в анализе. Пространство выпуклых функций закрывается при многих операциях. Например, сумма, произведение или свертка двух функций выпуклости снова является функцией выпуклости, и любой дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами, примененный к функции выпуклости, создаст другую функцию выпуклости.

Преобразование Фурье функции выпуклости является (действительной) аналитической функцией, и ее можно распространить на всю комплексную плоскость: следовательно, она не может иметь компактного носителя, если она не равна нулю, поскольку единственной аналитической функцией выпуклости является нулевая функция (см. Палея-Винера теорема и теорема Лиувилля ). Поскольку функция выпуклости бесконечно дифференцируема, ее преобразование Фурье должно затухать быстрее, чем любая конечная степень для большой угловой частоты . ^[1] Преобразование Фурье конкретной функции выпуклости${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle |k|}$

${\displaystyle \Psi (x)=e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}}$

сверху может быть проанализирован методом перевала и асимптотически убывает как

${\displaystyle |k|^{-{\frac {3}{4}}}e^{-{\sqrt {|k|}}}}$

для больших . ^[2]${\displaystyle |k|}$

См. Также [ править ]

• Лапласиан индикатора
• Неаналитическая гладкая функция
• Пространство Шварца

Ссылки [ править ]