Поддержка (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Поддержка» математики - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то поддержка из вещественной функции F является подмножеством из области , содержащей элементы , которые не отображенная к нулю. Если область определения f является топологическим пространством , поддержка f вместо этого определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее все точки, не отображенные в ноль. Это понятие очень широко используется в математическом анализе .

Формулировка [ править ]

Пусть F : X → R является вещественной функцией, домен произвольным множества X . Теоретико-множественная поддержка из F , написанный Supp ( ф ) , есть множество точек в X , где F отличен от нуля

{\ displaystyle \ operatorname {supp} (f) = \ {x \ in X \, | \, f (x) \ neq 0 \}.}

Носитель f - это наименьшее подмножество X со свойством, что f равно нулю на дополнении подмножества. Если f ( x ) = 0 для всех, кроме конечного числа точек x в X , то говорят , что f имеет конечный носитель .

Если множество X имеет дополнительную структуру (например, топологию), то носитель f определяется аналогичным образом как наименьшее подмножество X подходящего типа, такое что f обращается в нуль в соответствующем смысле на его дополнении. Понятие поддержки также естественным образом распространяется на функции, принимающие значения в более общих наборах, чем R, и на другие объекты, такие как меры или распределения .

Закрытая поддержка [ править ]

Чаще всего возникает ситуация, когда X - топологическое пространство (например, вещественная прямая или n- мерное евклидово пространство ), а f : X → R - непрерывная вещественная (или комплексная ) -значная функция. В этом случае носитель f определяется топологически как замыкание подмножества X, где f не равно нулю ^[1]^[2]^[3], т. Е.

{\ displaystyle \ operatorname {supp} (f): = {\ overline {\ {x \ in X \, | \, f (x) \ neq 0 \}}} = {\ overline {f ^ {- 1} \ left (\ left \ {0 \ right \} ^ {c} \ right)}}.}

Поскольку пересечение замкнутых множеств замкнуто, supp ( f ) является пересечением всех замкнутых множеств, содержащих теоретико-множественный носитель f .

Например, если f : R → R - функция, определенная формулой

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1-x ^ {2} & {\ text {if}} | x | <1 \\ 0 & {\ text {if}} | x | \ geq 1 \ end {case}}}

тогда опорой f является отрезок [−1,1], поскольку f отличен от нуля на открытом интервале (−1,1) и замыкание этого множества равно [−1,1].

Понятие замкнутого носителя обычно применяется к непрерывным функциям, но определение имеет смысл для произвольных вещественных или комплекснозначных функций на топологическом пространстве, и некоторые авторы не требуют, чтобы f : X → R (или C ) была непрерывной. ^[4]

Компактная поддержка [ править ]

Функции с компактным носителем в топологическом пространстве - это функции, замкнутый носитель которых является компактным подмножеством . Если - вещественная прямая или -мерное евклидово пространство, то функция имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда она имеет ограниченный носитель , поскольку подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Например, функция, определенная выше, является непрерывной функцией с компактным носителем [−1, 1]. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

Условие компактного носителя сильнее условия обращения в нуль на бесконечности . Например, функция, определяемая ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

обращается в нуль на бесконечности, так как as , но его носитель не компактен. ${\ displaystyle f (x) \ rightarrow 0}$ $|x|\rightarrow \infty$ $\mathbb {R}$

Вещественнозначные гладкие функции с компактным носителем в евклидовом пространстве называются бамп-функциями . Моллификаторы - важный частный случай выпуклых функций, поскольку они могут использоваться в теории распределений для создания последовательностей гладких функций, приближающих негладкие (обобщенные) функции посредством свертки .

В хороших случаях функции с компактным носителем плотны в пространстве функций, обращающихся в нуль на бесконечности, но это свойство требует некоторой технической работы для обоснования в данном примере. В качестве интуиции для более сложных примеров, и на языке ограничений , для любого , любой функции на вещественной оси , которая обращается в нуль на бесконечности можно аппроксимировать, выбрав соответствующую компактное подмножество из таких , что $\varepsilon >0$ $f$ $\mathbb {R}$ $C$ $\mathbb {R}$

|f(x)-I_{C}(x)f(x)|<\varepsilon

для всех , где есть индикаторная функция из . Каждая непрерывная функция на компактном топологическом пространстве имеет компактный носитель, поскольку каждое замкнутое подмножество компактного пространства действительно компактно. $x\in X$ $I_{C}$ $C$

Основная поддержка [ править ]

Если X - топологическое пространство с мерой с мерой Бореля μ (например, R ⁿ или измеримое по Лебегу подмножество в R ⁿ , снабженное мерой Лебега), то обычно идентифицируются функции, которые равны μ-почти всюду. В этом случае существенный носитель измеримой функции f : X → R , записываемый как ess supp ( f ) , определяется как наименьшее замкнутое подмножество F в X такое, что f = 0 μ-почти всюду вне F. Эквивалентно, ess supp (f) является дополнением к наибольшему открытому множеству, на котором f = 0 μ -почти всюду ^[5]

\operatorname {ess\,supp} (f):=X\setminus \bigcup \left\{\Omega \subset X\mid \Omega {\text{ is open and }}f=0\,\mu {\text{-almost everywhere in }}\Omega \right\}.

Существенный носитель функции f зависит как от меры μ, так и от f , и он может быть строго меньше, чем замкнутый носитель. Например, если f : [0,1] → R - функция Дирихле, равная 0 для иррациональных чисел и 1 для рациональных чисел, а [0,1] снабжена мерой Лебега, то носитель f - это весь интервал [0,1], но существенный носитель f пуст, так как f почти всюду совпадает с нулевой функцией.

В анализе почти всегда требуется использовать существенную поддержку функции, а не ее закрытую поддержку, когда два набора различны, поэтому ess supp ( f ) часто записывается просто как supp ( f ) и называется поддержкой. ^[5]^[6]

Обобщение [ править ]

Если М произвольное множество , содержащее нуль, понятие поддержки немедленно обобщенные функции F : X → M . Поддержка также может быть определена для любой алгебраической структуры с идентичностью (такой как группа , моноид или композиционная алгебра ), в которой элемент идентичности принимает на себя роль нуля. Например, семейство Z ^N функций от натуральных чисел до целых является несчетным набором целочисленных последовательностей. Подсемейство { f в Z^N : f имеет конечный носитель} - это счетное множество всех целочисленных последовательностей, которые имеют только конечное число ненулевых элементов.

Функции конечного носителя используются при определении алгебраических структур, таких как групповые кольца и свободные абелевы группы . ^[7]

В теории вероятностей и меры [ править ]

В теории вероятностей поддержку распределения вероятностей можно в общих чертах представить как замыкание набора возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Однако есть некоторые тонкости, которые следует учитывать при работе с общими распределениями, определенными на сигма-алгебре , а не на топологическом пространстве.

Более формально, если является случайной величиной, то опорой является наименьшее замкнутое множество, такое что . $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $X$ $R_{X}\subset \mathbb {R}$ $P(X\in R_{X})=1$

На практике , однако, носитель из дискретной случайной величины часто определяются как набор и поддержка непрерывной случайной величины определяются как набор , где является функцией плотности вероятности из (в теоретико-множественной поддержки ). ^[8] $X$ $R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :P(X=x)>0\}$ $X$ $R_{X}=\{x\in \mathbb {R} :f_{X}(x)>0\}$ $f_{X}(x)$ $X$

Обратите внимание , что слово поддержки может обратиться к логарифму от вероятности функции плотности вероятности. ^[9]

Поддержка раздачи[ редактировать ]

Можно также говорить о поддержке такого распределения , как дельта-функция Дирака δ ( x ) на действительной прямой. В этом примере мы можем рассматривать пробные функции F , которые являются гладкими функциями с опорой, не включающей точку 0. Поскольку δ ( F ) (распределение δ, примененное как линейный функционал к F ) равно 0 для таких функций, мы можем сказать, что поддержка δ есть только {0}. Поскольку меры (включая вероятностные ) на вещественной прямой являются частными случаями распределений, мы можем точно так же говорить о поддержке меры.

Предположим , что F является распределение, и что U открытое множество в евклидовом пространстве такое , что для всех тестовых функций , таких , что поддержка содержится в U , . Тогда F сказано в нуль на U . Теперь, если е обращается в нуле на любом семействе открытых множеств, то для любой тестовой функции поддерживаемой в , простой аргумент на основе компактности поддержки и разбиение единицы показывает , что , как хорошо. Таким образом , мы можем определить поддержку из F в качестве дополнения к величине открытого множества , на котором е $\phi$ $\phi$ $f(\phi )=0$ $U_{\alpha }$ $\phi$ $\bigcup U_{\alpha }$ $\phi$ $f(\phi )=0$ исчезает. Например, поддержка дельты Дирака составляет . $\{0\}$

Единственная поддержка [ править ]

В частности, в анализе Фурье интересно изучить сингулярный носитель распределения. Это имеет интуитивно понятную интерпретацию как набор точек, в которых распределение не может быть гладкой функцией .

Например, преобразование Фурье от Хевисайда ступенчатой функции может, с точностью до постоянных факторов, можно считать 1 / х (функция) , за исключением при х = 0. В то время как х = 0, очевидно , особая точка, это более точно говорят, что преобразование распределения имеет сингулярную поддержку {0}: его нельзя точно выразить как функцию по отношению к тестовым функциям с поддержкой, включающей 0. Это можно выразить как применение несобственного интеграла Коши с главным значением .

Для распределений нескольких переменных особые опоры позволяют определять множества волновых фронтов и понимать принцип Гюйгенса с точки зрения математического анализа . Сингулярные опоры также могут использоваться для понимания явлений, специфичных для теории распределений, таких как попытки «умножить» распределения (возведение в квадрат дельта-функции Дирака не удается - в основном потому, что особые опоры умножаемых распределений должны быть непересекающимися).

Семейство опор [ править ]

Абстрактное понятие семейства носителей на топологическом пространстве X , пригодное для теории пучков , было определено Анри Картаном . При распространении двойственности Пуанкаре на многообразия , которые не являются компактными, идея «компактного носителя» естественным образом входит по одну сторону двойственности; см., например, когомологии Александера – Спаниера .

Bredon, Sheaf Theory (2-е издание, 1997 г.) дает эти определения. Семейство Φ замкнутых подмножеств X называется семейством носителей , если оно замкнуто вниз и замкнуто относительно конечного объединения . Его степень есть объединение над Φ. Паракомпактифицирующее семейство носителей , который удовлетворяет , что любые дальнейший У в Ф, с топологией подпространства , в паракомпакте ; и имеет некоторую Z в Φ, которая является окрестностью . Если X - локально компактное пространство , предполагается, что Хаусдорф - это семейство всехкомпактные подмножества удовлетворяют дальнейшим условиям, что делает их паракомпактифицирующими.

См. Также [ править ]

Теорема Титчмарша о свертке
Поддержка модуля
Ограниченная функция

Ссылки [ править ]

^ Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ, 2-е изд . Нью-Йорк: Джон Вили. п. 132.
^ Хермандер Lars (1990). Линейные дифференциальные уравнения с частными производными I, 2-е изд . Берлин: Springer-Verlag. п. 14.
^ Паскуччи, Андреа (2011). PDE и методы мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Bocconi & Springer. Берлин: Springer-Verlag. п. 678. DOI : 10.1007 / 978-88-470-1781-8 . ISBN 978-88-470-1780-1.
^ Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ, 3-е изд . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 38.
^ а б Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . п. 13. ISBN 978-0821827833.
^ Аналогичным образом используется существенная верхняя грань измеримой функции вместо ее супремума.
Перейти ↑ Tomasz, Kaczynski (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. п. 445. ISBN 9780387215976. OCLC 55897585 .
^ Табога, Марко. «Поддержка случайной величины» . statlect.com . Проверено 29 ноября 2017 года .
^ Эдвардс, AWF (1992). Вероятность (Расширенная ред.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.

[folland-1] Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ, 2-е изд . Нью-Йорк: Джон Вили. п. 132.

[hormander-2] Хермандер Lars (1990). Линейные дифференциальные уравнения с частными производными I, 2-е изд . Берлин: Springer-Verlag. п. 14.

[Pasc-3] Паскуччи, Андреа (2011). PDE и методы мартингейла в ценообразовании опционов . Серия Bocconi & Springer. Берлин: Springer-Verlag. п. 678. DOI : 10.1007 / 978-88-470-1781-8 . ISBN 978-88-470-1780-1.

[4] Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ, 3-е изд . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 38.

[lieb-5] а б Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . п. 13. ISBN 978-0821827833.

[6] Аналогичным образом используется существенная верхняя грань измеримой функции вместо ее супремума.

[7] Перейти ↑ Tomasz, Kaczynski (2004). Вычислительная гомология . Мишайков, Константин Михаил, Мрозек, Мариан. Нью-Йорк: Спрингер. п. 445. ISBN 9780387215976. OCLC 55897585 .

[8] Табога, Марко. «Поддержка случайной величины» . statlect.com . Проверено 29 ноября 2017 года .

[9] Эдвардс, AWF (1992). Вероятность (Расширенная ред.). Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 31–34. ISBN 0-8018-4443-6.

[1]