Успокаивающий

Усмиритель (вверху) в первом измерении . Внизу красным цветом изображена функция с углом (слева) и резким скачком (справа), а синим - его смягченная версия.

В математике , Мягчители (также известные как приближения к идентичности ) являются гладкие функции со специальными свойствами, которые используются, например , в теории распределения для создания последовательности гладких функций , аппроксимирующего негладких (обобщенная) функции , с помощью свертки . Интуитивно, учитывая довольно нерегулярную функцию, сворачивая ее с помощью смягчителя, функция становится «смягченной», то есть ее резкие черты сглаживаются, оставаясь при этом близкими к исходной негладкой (обобщенной) функции. ^[1]

Они также известны как успокаивающие средства Фридрихса в честь Курта Отто Фридрихса , который их представил. ^[2]

Исторические заметки [ править ]

Смягчители были введены Куртом Отто Фридрихсом в его статье ( Friedrichs 1944 , pp. 136–139), которая считается переломным моментом в современной теории дифференциальных уравнений в частных производных . ^[3] Название этого математического объекта имело любопытное происхождение, и Питер Лакс рассказывает всю историю в своем комментарии к статье, опубликованной в " Selecta " Фридрихса . ^[4] По его словам, в то время математик Дональд Александр Фландерс был коллегой Фридрихса: так как он любил консультироваться с коллегами по поводу использования английского языка, он попросил Фландерса совета, как назвать оператор сглаживания, который он использовал. ^[3]Фландрия была пуританином , по прозвищу его друзья Молл в честь Молла Фландерса в знак признания его моральных качеств: он предложил назвать новую математическую концепцию « успокаивающим средством» в качестве каламбура, включающего в себя прозвище Фландрии и глагол « смягчать », что означает « сгладить »в переносном смысле. ^[5]

Ранее Сергей Соболев использовал смягчители в своей эпохальной статье 1938 года ^[6], которая содержит доказательство теоремы вложения Соболева : сам Фридрихс признал работу Соболева по смягчителям, заявив, что: « Эти смягчители были введены Соболевым и автором ... ". ^[7]

Следует отметить, что термин «успокаивающий» претерпел лингвистический дрейф со времен этих основополагающих работ: Фридрихс определил как « успокаивающий » интегральный оператор , ядро которого является одной из функций, которые в настоящее время называются успокаивающими средствами. Однако, поскольку свойства линейного интегрального оператора полностью определяются его ядром, имя mollfier было унаследовано самим ядром в результате обычного использования.

Определение [ править ]

Современное (основанное на распространении) определение [ править ]

Определение 1. Если - гладкая функция на ℝ ⁿ , n ≥ 1, удовлетворяющая следующим трем требованиям.${\ displaystyle \ varphi}$

(1)   он имеет компактную опору ^[8]

(2)  ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \! \ varphi (x) \ mathrm {d} x = 1}$

(3)  ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$

где - дельта-функция Дирака и предел следует понимать в пространстве распределений Шварца , тогда - успокаивающее средство . Функция также может удовлетворять дополнительным условиям: ^[9] например, если она удовлетворяет${\displaystyle \delta (x)}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

(4)   ≥ 0 для всех x ∈ ℝ ⁿ , то он называется положительным успокаивающим средством.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$

(5)   = для некоторой бесконечно дифференцируемой функции  : ℝ ⁺ → ℝ, то она называется симметричным успокаивающим средством${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (|x|)}$ ${\displaystyle \mu }$

Примечания к определению Фридрихса [ править ]

Примечание 1 . Когда теория распределений еще не была широко известна и не использовалась, вышеупомянутое свойство (3) ^[10] было сформулировано следующим образом: свертка функции с заданной функцией, принадлежащей собственному гильбертову или банаховому пространству, сходится при ε → 0 к этому функция: ^[11] именно это и сделал Фридрихс . ^[12] Это также проясняет, почему успокаивающие относятся к приблизительной идентичности . ^[13]${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$

Примечание 2 . Как кратко указано в разделе « Исторические заметки » этой статьи, первоначально термин «успокаивающий» обозначал следующий оператор свертки : ^{[13] [14]}

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

где и - гладкая функция, удовлетворяющая первым трем условиям, указанным выше, и одному или нескольким дополнительным условиям положительности и симметрии.${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$${\displaystyle \varphi }$

Конкретный пример [ править ]

Рассмотрим функцию из с переменной в ℝ ^п определяется${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$

где числовая константа обеспечивает нормировку. Легко видеть, что эта функция бесконечно дифференцируема, не аналитична с нулевой производной при | х | = 1 . поэтому может использоваться как успокаивающее средство, как описано выше: также легко увидеть, что это определяет положительный и симметричный успокаивающий фактор . ^[15]${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$

Функция в одном измерении${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$

Свойства [ править ]

Все свойства смягчителя связаны с его поведением при операции свертки : мы перечислим следующие из них, доказательства которых можно найти в каждом тексте по теории распределения . ^[16]

Свойство сглаживания [ править ]

Для любого распределения следующее семейство сверток, индексированных действительным числом${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

где обозначает свертку , - семейство гладких функций .${\displaystyle \ast }$

Приближение идентичности [ править ]

Для любого распределения следующее семейство сверток, индексированных действительным числом, сходится к${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

Поддержка свертки [ править ]

Для любого распределения ,${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}$

где указывает поддержку в смысле распределений, а указывает их добавление Минковского .${\displaystyle \mathrm {supp} }$${\displaystyle +}$

Приложения [ править ]

Основное применение смягчителей - это доказательство свойств, справедливых для гладких функций также в негладких ситуациях:

Продукт раздач [ править ]

В некоторых теориях обобщенных функций , Мягчители используются для определения умножения распределений : точно, учитывая два распределения и , предел продукта в виде гладкой функции и распределения${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}$

определяет (если существует) их продукт в различных теориях обобщенных функций .

"Слабые = сильные" теоремы [ править ]

Очень неформально, смягчители используются для доказательства тождества двух различных типов расширений дифференциальных операторов: сильного расширения и слабого расширения . Статья ( Friedrichs 1944 ) довольно хорошо иллюстрирует эту концепцию: однако большое количество технических деталей, необходимых для того, чтобы показать, что это на самом деле означает, не позволяет их формально детализировать в этом кратком описании.

Плавные функции отсечки [ править ]

По свертке характеристической функции от единичного шара с гладкой функцией (как определено в (3) , с ), получаем функцию${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$ ${\displaystyle \varphi _{1/2}}$${\displaystyle \epsilon =1/2}$

${\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})}$

которая является гладкой функцией, равной on , с поддержкой, содержащейся в . В этом легко убедиться, заметив, что если ≤ и ≤, то ≤ . Следовательно , для ≤ ,${\displaystyle 1}$${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle |x-y|}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

Легко увидеть, как эту конструкцию можно обобщить, чтобы получить гладкую функцию, идентичную единице в окрестности данного компакта и равную нулю в каждой точке, расстояние от которой до этого множества больше заданного . ^[17] Такая функция называется (гладкой) отсекающей функцией : эти функции используются для устранения особенностей данной ( обобщенной ) функции путем умножения . Они оставляют неизменным значение ( обобщенной ) функции, которую они умножают только на данном наборе , тем самым изменяя ее${\displaystyle \epsilon }$поддержка : также функции отсечения являются основными частями гладких разбиений единицы .

См. Также [ править ]

• Примерная личность
• Неаналитическая гладкая функция
• Функция удара
• Свертка
• Преобразование Вейерштрасса
• Распределение (математика)
• Курт Отто Фридрихс
• Обобщенная функция
• Сергей Соболев

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фридрихс, Курт Отто (январь 1944 г.), «Тождество слабых и сильных расширений дифференциальных операторов», Труды Американского математического общества , 55 (1): 132–151, DOI : 10.1090 / S0002-9947-1944-0009701- 0 , JSTOR  1990143 , Руководство  0009701 , Zbl  0061.26201. Первая статья, в которой были представлены смягчители.
• Фридрихса, Курт Отто (1953), "О дифференцировании решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений" , Коммуникации на теоретической и прикладной математики , VI (3): 299-326, DOI : 10.1002 / cpa.3160060301 , МР  0058828 , Zbl  0051.32703 , архивировано из оригинала 05.01.2013. В документе , где дифференцируемоести из решений эллиптических дифференциальных уравнений с частными исследован с помощью Мягчители.
• Фридрихса, Курт Отто (1986), Morawetz, Кэтлин С. (ред.), Selecta , Современные Математики, Boston- Базель - Штутгарт : Birkhäuser Verlag .. (. Том 2), стр 427 (. Том 1), стр 608, ISBN 0-8176-3270-0, Zbl  0613,01020. Подборка работ Фридрихса с биографией и комментариями Дэвида Айзексона , Фрица Джона , Тосио Като , Питера Лакса , Луи Ниренберга , Вольфгага Вазова , Гарольда Вайцнера .
• Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций , Монографии по математике, 80 , Базель - Бостон - Штутгарт : Birkhäuser Verlag, стр. Xii + 240, ISBN 0-8176-3153-4, Руководство по ремонту  0775682 , Zbl  0545.49018.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2-е изд.), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN 0-387-52343-X, Руководство по ремонту  1065136 , Zbl  0712.35001.
• Соболев, Сергей Л. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle" , Recueil Mathématique (Математический сборник) (на русском и французском языках), 4 (46) (3): 471–497, Zbl  0022.14803. Статья, в которой Сергей Соболев доказал свою теорему вложения , вводя и используя интегральные операторы, очень похожие на успокаивающие, но не называя их.