Ряд Фурье

Преобразования Фурье
Непрерывное преобразование Фурье
Ряд Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье над кольцом
Преобразование Фурье на конечных группах
Фурье-анализ
Связанные преобразования

В математике , A Фурье серии ( / е ʊr я eɪ , - я ər /^[1] ) является периодической функцией , состоящий из гармонически связанных синусоид , в сочетании с помощью взвешенного суммирования. При соответствующих весах один цикл (или период ) суммирования может быть выполнен для аппроксимации произвольной функции в этом интервале (или всей функции, если она также является периодической). Таким образом, суммирование является синтезом другой функции. Преобразование Фурье с дискретным временемявляется примером ряда Фурье. Процесс получения весов, описывающих данную функцию, является формой анализа Фурье . Для функций на неограниченных интервалах аналогами анализа и синтеза являются преобразование Фурье и обратное преобразование.

Функция ( выделена красным) - это сумма шести синусоидальных функций разных амплитуд и гармонически связанных частот. Их суммирование называется рядом Фурье. Преобразование Фурье (выделено синим цветом), которое отображает зависимость амплитуды от частоты, выявляет 6 частот ( в нечетных гармониках ) и их амплитуды ( 1 / нечетное число ).

{\ displaystyle s (x)}

{\ Displaystyle S (е)}

История[ редактировать ]

Ряд Фурье назван в честь Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана ле Ронда д'Аламбера и Даниэля Бернулли . ^[A] Фурье ввел ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первоначальные результаты в своей Mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides 1807 г. ( Трактат о распространении тепла в твердых телах ). и публикация его Théorie analytique de la chaleur (Аналитическая теория тепла ) в 1822 году. Мемуар ввел анализ Фурье, в частности ряды Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт, что произвольная (сначала непрерывная ^[2], а затем обобщенная на любую кусочно- гладкую ^[3] ) функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое сообщение об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской Академией . ^[4] Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций восходят к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на деферентах и эпициклах .

Уравнение теплопроводности - это уравнение в частных производных . До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя частные решения были известны, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источник тепла был синусоидальной или косинусоидальной волной. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями . Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию ) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений . Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позже Петер Густав Лежен Дирихле ^[5] и Бернхард Риман ^[6]^[7]^[8] выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы могут быть применены к широкому кругу математических и физических задач, особенно к тем, которые связаны с линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, для которых собственными решениями являются синусоиды . Ряд Фурье имеет много таких применений в области электротехники , вибрации анализа, акустики , оптики , обработки сигналов , обработки изображений , квантовой механики , эконометрических , ^[9] теории оболочек , ^[10] и т.д.

Определение [ править ]

Рассмотрим вещественную функцию, которая интегрируема на отрезке длины , который будет периодом ряда Фурье. Типичные примеры интервалов анализа: ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle P}$

{\ Displaystyle х \ в [0,1],}

и

{\ displaystyle P = 1.}

{\ Displaystyle х \ в [- \ пи, \ пи],}

и

{\ Displaystyle P = 2 \ pi.}

В процессе анализа определяются веса, индексированные целым числом , которые также являются количеством циклов гармоники в интервале анализа. Следовательно, длина цикла в единицах равна . И соответствующая частота гармоники равна . Эти гармоники и , а их амплитуды (вес) найдены путем интегрирования по интервалу длины : ^[11] ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle п ^ {\ текст {th}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle P / n}$ ${\ displaystyle n / P}$ ${\ displaystyle n ^ {th}}$ ${\ displaystyle \ sin \ left (2 \ pi x {\ tfrac {n} {P}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ cos \ left (2 \ pi x {\ tfrac {n} {P}} \ right)}$ ${\ displaystyle P}$

Коэффициенты Фурье

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {n} & = {\ frac {2} {P}} \ int _ {P} s (x) \ cdot \ cos \ left ({\ tfrac {2 \ pi}) {P}} nx \ right) \, dx \\ b_ {n} & = {\ frac {2} {P}} \ int _ {P} s (x) \ cdot \ sin \ left ({\ tfrac { 2 \ pi} {P}} nx \ right) \, dx. \ End {align}}}

( Уравнение 1 )

Если является -периодическим, то достаточно любого интервала такой длины. ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle P}$
${\ displaystyle a_ {0}}$ и может быть сокращено до и . ${\ displaystyle b_ {0}}$ $a_{0}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\,dx$ $b_{0}=0$
Многие тексты предпочитают упрощать аргументы синусоидальных функций. $P=2\pi$

Процесс синтеза (фактический ряд Фурье):

Ряд Фурье, синус-косинусная форма

{\begin{aligned}s_{N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)\right).\end{aligned}}

( Уравнение 2 )

В общем, целое число теоретически бесконечно. Даже в этом случае ряды могут не сходиться или точно не совпадать при всех значениях (таких как одноточечный разрыв) в интервале анализа. Для «хороших» функций, типичных для физических процессов, обычно предполагается равенство. $N$ $s(x)$ $x$

Если это функция, содержащаяся в интервале длины (и ноль в другом месте), верхний правый квадрант является примером того, как могут выглядеть ее коэффициенты ряда Фурье ( ), когда они построены против их соответствующих гармонических частот. Верхний левый квадрант представляет собой соответствующее преобразование Фурье. Суммирование рядов Фурье (не показано) синтезирует периодическое суммирование, тогда как обратное преобразование Фурье (не показано) синтезирует только

s(t)

P

A_{n}

s(t).

s(t),

s(t).

Используя тригонометрическую идентичность:

A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right),

и определение , и , пары синуса и косинуса может быть выражены в виде одной синусоиды с фазовым сдвигом, аналогично преобразованием между ортогональными (декартовой) и полярными координатами: $A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$ $\varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})$

Ряд Фурье, амплитудно-фазовая форма

s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right).

( Уравнение 3 )

Обычная форма для обобщения на комплексные значения (следующий раздел) получается с использованием формулы Эйлера для разбиения функции косинуса на комплексные экспоненты. Здесь комплексное сопряжение обозначено звездочкой: $s(x)$

{\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}(+n)x}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}(-n)x}.\end{array}}

Поэтому с определениями:

c_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\c_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx,

конечный результат:

Ряд Фурье, экспоненциальная форма

s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.

( Уравнение 4 )

Комплексные функции [ править ]

Если - комплексная функция действительной переменной, обе компоненты (действительная и мнимая части) являются действительными функциями, которые могут быть представлены рядом Фурье. Два набора коэффициентов и частичная сумма определяются как: $s(x)$ $x,$

c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx

и

c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx

s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.

Определение урожайности: $c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}$

s_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.

( Уравнение 5 )

Это идентично Eq.4 исключением и уже не комплексно сопряженными. Формула для также не изменилась: $c_{n}$ $c_{-n}$ $c_{n}$

{\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx.\end{aligned}}

Другие общие обозначения [ править ]

Обозначения неадекватны для обсуждения коэффициентов Фурье нескольких различных функций. Поэтому его обычно заменяют модифицированной формой функции ( в данном случае), такой как или , а функциональная нотация часто заменяет нижний индекс: $c_{n}$ $s$ ${\hat {s}}(n)$ $S[n]$

{\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}(n)\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{j\,2\pi nx/P}&&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation}}\end{aligned}}

В технике, особенно когда переменная представляет время, последовательность коэффициентов называется представлением в частотной области . Квадратные скобки часто используются, чтобы подчеркнуть, что область действия этой функции представляет собой дискретный набор частот. $x$

Другое широко используемое представление в частотной области использует коэффициенты ряда Фурье для модуляции гребенки Дирака :

S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),

где представляет собой непрерывную частотную область. Если переменная имеет единицы измерения в секундах, имеет единицы измерения в герцах . «Зубцы» гребенки расположены на расстоянии, кратном (то есть по гармоникам ) , что называется основной частотой . можно восстановить из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье : $f$ $x$ $f$ $1/P$ $s_{\infty }(x)$

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}

Поэтому построенная функция обычно называется преобразованием Фурье , хотя интеграл Фурье периодической функции не сходится на частотах гармоник. ^[B] $S(f)$

Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны

Конвергенция [ править ]

В инженерных приложениях обычно предполагается, что ряды Фурье сходятся почти везде (за исключением дискретных разрывов), поскольку функции, встречающиеся в инженерии, ведут себя лучше, чем функции, которые математики могут предоставить в качестве контрпримеров этому предположению. В частности, если она непрерывна и производная (которая может существовать не везде) интегрируема с квадратом, то ряд Фурье абсолютно и равномерно сходится к . ^[12] Если функция интегрируема с квадратом на интервале , то ряд Фурье сходится к функции почти в каждой точке $s$ $s(x)$ $s$ $s(x)$ $[x_{0},x_{0}+P]$ . Сходимость рядов Фурье также зависит от конечного числа максимумов и минимумов функции, которая широко известна как одно из условий Дирихле для рядов Фурье . См. Сходимость рядов Фурье . Можно определить коэффициенты Фурье для более общих функций или распределений, в таких случаях обычно представляет интерес сходимость по норме или слабая сходимость .

Четыре частичные суммы (ряд Фурье) длиной 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к прямоугольной волне улучшается по мере увеличения количества членов (анимация)
Четыре частные суммы (ряд Фурье) длиной 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к пилообразной волне улучшается по мере увеличения числа членов (анимация)
Пример сходимости к несколько произвольной функции. Обратите внимание на развитие «звона» (феномен Гиббса) на переходах в / из вертикальных участков.

Интерактивную анимацию можно увидеть здесь.

Примеры [ править ]

Пример 1: простой ряд Фурье [ править ]

График пилообразной волны , периодического продолжения линейной функции на интервале

s(x)=x/\pi

(-\pi ,\pi ]

Анимированный сюжет первых пяти последовательных частичных рядов Фурье

Теперь воспользуемся приведенной выше формулой, чтобы получить разложение в ряд Фурье очень простой функции. Рассмотрим пилообразную волну

s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,

s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .

В этом случае коэффициенты Фурье имеют вид

{\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}

Можно доказать, что ряд Фурье сходится к в каждой точке, где дифференцируема, и, следовательно,: $s(x)$ $x$ $s$

{\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} .\end{aligned}}

( Ур.7 )

Когда ряд Фурье сходится к 0, который является полусуммой левого и правого пределов s at . Это частный случай теоремы Дирихле для рядов Фурье. $x=\pi$ $x=\pi$

Этот пример подводит нас к решению проблемы Базеля .

Пример 2: мотивация Фурье [ править ]

Распределение тепла в металлической пластине по методу Фурье

Разложение в ряд Фурье нашей функции в примере 1 выглядит более сложным, чем простая формула , поэтому не сразу понятно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя существует множество приложений, мотивация Фурье заключалась в решении уравнения теплопроводности . Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата со сторонами в метры с координатами . Если внутри пластины нет источника тепла, и если три из четырех сторон поддерживаются при 0 градусах Цельсия, а четвертая сторона, заданная как , поддерживается при градиенте температуры в градусах Цельсия в течение in , то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла по истечении длительного периода времени) определяется выражением $s(x)=x/\pi$ $\pi$ $(x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]$ $y=\pi$ $T(x,\pi )=x$ $x$ $(0,\pi )$

T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.

Здесь sinh - функция гиперболического синуса . Это решение уравнения теплопроводности получается умножением каждого члена уравнения 7 на . Хотя функция нашего примера, кажется, имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла нетривиально. Функцию нельзя записать в виде выражения в закрытой форме . Этот метод решения тепловой проблемы стал возможным благодаря работе Фурье. $\sinh(ny)/\sinh(n\pi )$ $s(x)$ $T(x,y)$ $T$

Другие приложения [ править ]

Другое применение этого ряда Фурье - решение проблемы Базеля с использованием теоремы Парсеваля . Пример обобщает, и можно вычислить ζ (2 n ) для любого положительного целого числа n .

Начало [ править ]

Жозеф Фурье писал: ^{[ сомнительно - обсудить ]}

$\varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .$
Умножение обеих сторон на , а затем интегрирование от до дает: $\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}$ $y=-1$ $y=+1$
$a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.$
- Жозеф Фурье, Память о пропаганде игры в солидном корпусе . (1807) ^[13]^[C]

Это сразу дает любому коэффициенту а _K из тригонометрических рядов для ф ( у ) для любой функции , которая имеет такое расширение. Это работает, потому что если φ имеет такое разложение, то (при подходящих предположениях сходимости) интеграл

{\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}

можно проводить посрочно. Но все члены, содержащие для j ≠ k, обращаются в нуль при интегрировании от -1 до 1, оставляя только k- й член. $\cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}$

В этих нескольких строках, которые близки к современному формализму, используемому в рядах Фурье, Фурье произвел революцию как в математике, так и в физике. Хотя подобные тригонометрические ряды ранее использовались Эйлером , Даламбером , Даниэлем Бернулли и Гауссом , Фурье полагал, что такие тригонометрические ряды могут представлять любую произвольную функцию. В каком смысле это на самом деле верно - это довольно тонкий вопрос, и многолетние попытки прояснить эту идею привели к важным открытиям в теориях сходимости , функциональных пространств и гармонического анализа .

Когда Фурье представил позднее конкурсное эссе в 1811 году, комиссия (в которую входили , среди прочего, Лагранж , Лаплас , Малюс и Лежандр ) пришла к выводу: ... способ, которым автор приходит к этим уравнениям, не лишен трудностей и ... его анализ, направленный на их интеграцию, по-прежнему оставляет желать лучшего в плане общности и даже строгости . ^{[ необходима цитата ]}

Рождение гармонического анализа [ править ]

Со времен Фурье было обнаружено множество различных подходов к определению и пониманию концепции рядов Фурье, все из которых согласуются друг с другом, но каждый из них подчеркивает разные аспекты темы. Некоторые из наиболее мощных и элегантных подходов основаны на математических идеях и инструментах, которые не были доступны в то время, когда Фурье завершил свою первоначальную работу. Первоначально Фурье определил ряд Фурье для вещественнозначных функций вещественных аргументов и использовал функции синуса и косинуса в качестве базового набора для разложения.

С тех пор было определено множество других преобразований, связанных с Фурье , которые распространили первоначальную идею на другие приложения. Эту общую область исследований теперь иногда называют гармоническим анализом . Однако ряд Фурье можно использовать только для периодических функций или для функций на ограниченном (компактном) интервале.

Расширения [ править ]

Ряд Фурье на квадрате [ править ]

Мы также можем определить ряд Фурье для функций двух переменных и в квадрате : $x$ $y$ $[-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]$

{\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\,\in \,\mathbb {Z} {\text{ (integers)}}}c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}

Помимо того, что он полезен для решения уравнений в частных производных, таких как уравнение теплопроводности, одним из примечательных применений ряда Фурье по квадрату является сжатие изображений . В частности, стандарт сжатия изображений jpeg использует двумерное дискретное косинусное преобразование , которое является преобразованием Фурье с использованием только базисных функций косинуса. ^{[ необходима цитата ]}

Ряд Фурье решеточно-периодической функции Браве [ править ]

Трехмерная решетка Браве определяется как набор векторов вида:

\mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}

где - целые числа и - три линейно независимых вектора. Предполагая, что у нас есть некоторая функция, такая, что она подчиняется следующему условию для любого вектора решетки Браве , мы могли бы составить из нее ряд Фурье. Такого рода функцией может быть, например, эффективный потенциал, который один электрон «ощущает» внутри периодического кристалла. Тогда полезно составить ряд Фурье потенциала, применяя теорему Блоха . Во-первых, мы можем записать любой произвольный вектор в системе координат решетки: $n_{i}$ $\mathbf {a} _{i}$ $f(\mathbf {r} )$ $\mathbf {R} :f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )$ $\mathbf {r}$

\mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},

куда $a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|.$

Таким образом, мы можем определить новую функцию,

g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).

Эта новая функция теперь является функцией трех переменных, каждая из которых имеет периодичность a ₁ , a ₂ , a ₃ соответственно: $g(x_{1},x_{2},x_{3})$

g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).

Это позволяет нам создать набор коэффициентов Фурье, каждый из которых индексируется тремя независимыми целыми числами . В дальнейшем для обозначения этих коэффициентов мы будем использовать обозначения функций, где ранее мы использовали индексы. Если мы напишем ряд для g на интервале [0, a ₁ ] для x ₁ , мы можем определить следующее: $m_{1},m_{2},m_{3}$

h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}

И тогда мы можем написать:

g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}

Дальнейшее определение:

{\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}

Мы можем написать еще раз так: $g$

g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}

Наконец, применив то же самое для третьей координаты, мы определяем:

{\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}

Мы пишем как: $g$

g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}

Перепланировка:

g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.

Теперь каждый вектор обратной решетки можно записать как , где - целые числа и - векторы обратной решетки, мы можем использовать тот факт, что для вычисления этого для любого произвольного вектора обратной решетки и произвольного вектора в пространстве их скалярное произведение равно: $\mathbf {G} =\ell _{1}\mathbf {g} _{1}+\ell _{2}\mathbf {g} _{2}+\ell _{3}\mathbf {g} _{3}$ $l_{i}$ $\mathbf {g} _{i}$ $\mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}$ $\mathbf {G}$ $\mathbf {r}$

\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(\ell _{1}\mathbf {g} _{1}+\ell _{2}\mathbf {g} _{2}+\ell _{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {\ell _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\ell _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\ell _{3}}{a_{3}}}\right).

Итак, ясно, что в нашем разложении сумма фактически берется по векторам обратной решетки:

f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },

куда

h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.

Предполагая

\mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},

мы можем решить эту систему трех линейных уравнений для , и в терминах , и , чтобы вычислить элемент объема в исходной декартовой системе координат. После того, как у нас есть , и с точки зрения , и мы можем вычислить якобиан : $x$ $y$ $z$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{3}$ $x$ $y$ $z$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{3}$

{\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}

который после некоторых вычислений и применения некоторых нетривиальных тождеств перекрестного произведения можно показать, что он равен:

{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

(может быть выгодно ради упрощения вычислений работать в такой декартовой системе координат, в которой так уж случилось, что она параллельна оси x, лежит в плоскости x - y и имеет компоненты всех трех осей ). Знаменатель - это в точности объем примитивной элементарной ячейки, которая окружена тремя примитивными векторами , и . В частности, теперь мы знаем, что $\mathbf {a_{1}}$ $\mathbf {a_{2}}$ $\mathbf {a_{3}}$ $\mathbf {a_{1}}$ $\mathbf {a_{2}}$ $\mathbf {a_{3}}$

dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}\cdot dx\,dy\,dz.

Теперь мы можем записать в виде интеграла с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки, а не с переменными , и : $h(\mathbf {G} )$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{3}$

h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }

запись для элемента объема ; и где - примитивная элементарная ячейка, таким образом, - объем элементарной элементарной ячейки. $d\mathbf {r}$ $dx\,dy\,dz$ $C$ $\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )$

Интерпретация гильбертова пространства [ править ]

На языке гильбертовых пространств набор функций является ортонормированным базисом для пространства интегрируемых с квадратом функций на . Это пространство на самом деле является гильбертово пространство с внутренним произведением заданного для любых двух элементов , и с помощью $\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \}$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ $[-\pi ,\pi ]$ $f$ $g$

\langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.

Основной результат ряда Фурье для гильбертовых пространств может быть записан как

f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.

Как показано выше, синусы и косинусы образуют ортонормированный набор. Интеграл синуса, косинуса и их произведения равен нулю (зеленая и красная области равны и сокращаются), когда , или функции различны, и пи, только если и равны, и используемая функция одинакова.

m

n

m

n

Это в точности соответствует приведенной выше сложной экспоненциальной формулировке. Версия с синусами и косинусами также оправдана интерпретацией гильбертова пространства. Действительно, синусы и косинусы образуют ортогональный набор :

\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,

\int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1

(где δ _mn - символ Кронекера ), а

\int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;\,

кроме того, синусы и косинусы ортогональны постоянной функции . Ортонормированный базис для состоящее из вещественных функций формируется с помощью функций и , с п = 1, 2, ... Плотность их пролета является следствием теоремы Стоуна-Вейерштрасса , но следует также из свойств классических ядер , таких как Фейеровские ядро . $1$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ $1$ ${\sqrt {2}}\cos(nx)$ ${\sqrt {2}}\sin(nx)$

Свойства [ править ]

Таблица основных свойств [ править ]

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующий эффект в коэффициентах ряда Фурье. Обозначение:

$z^{*}$ является комплексно сопряженным с . $z$
$f(x),g(x)$ обозначают -периодические функции, определенные на . $P$ $0<x\leq P$
$F[n],G[n]$ обозначают коэффициенты ряда Фурье (экспоненциальная форма) и, как определено в уравнении ( 5) . $f$ $g$

Свойство	Область времени	Частотная область (экспоненциальная форма)	Замечания	Ссылка
Линейность	$a\cdot f(x)+b\cdot g(x)$	$a\cdot F[n]+b\cdot G[n]$	сложные числа $a,b$
Обратное время / изменение частоты	$f(-x)$	$F[-n]$		^[14]^{: с. 610}
Сопряжение времени	$f(x)^{*}$	$F[-n]^{*}$		^[14]^{: с. 610}
Обращение времени и спряжение	$f(-x)^{*}$	$F[n]^{*}$
Реальная часть времени	$\operatorname {Re} {(f(x))}$	${\frac {1}{2}}(F[n]+F[-n]^{*})$
Воображаемая часть времени	$\operatorname {Im} {(f(x))}$	${\frac {1}{2i}}(F[n]-F[-n]^{*})$
Действительная часть частоты	${\frac {1}{2}}(f(x)+f(-x)^{*})$	$\operatorname {Re} {(F[n])}$
Мнимая часть частоты	${\frac {1}{2i}}(f(x)-f(-x)^{*})$	$\operatorname {Im} {(F[n])}$
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте	$f(x-x_{0})$	$F[n]\cdot e^{-i{\frac {2\pi x_{0}}{T}}n}$	настоящий номер $x_{0}$	^[14]^{: с. 610}
Сдвиг частоты / Модуляция во времени	$f(x)\cdot e^{i{\frac {2\pi n_{0}}{T}}x}$	$F[n-n_{0}]\!$	целое число $n_{0}$	^[14]^{: с. 610}

Свойства симметрии [ править ]

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четную и нечетную части , имеется четыре компонента, обозначенных ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования: ^[15]

{\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&if_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&F&=&F_{RE}&+&\overbrace {i\ F_{IO}} &+&i\ F_{IE}&+&F_{RO}\end{array}}

Отсюда очевидны различные отношения, например:

Преобразование вещественной функции ( $f RE + f RO$ ) - это четная симметричная функция $F RE + i F IO$ . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
Преобразование мнимозначной функции ( $i f IE + i f IO$ ) является нечетной симметричной функцией $F RO + i F IE$ , и верно обратное.
Преобразование четно-симметричной функции ( $f RE + i f IO$ ) - это вещественнозначная функция $F RE + F RO$ , и верно обратное.
Преобразование нечетно-симметричной функции ( $f RO + i f IE$ ) является мнимозначной функцией $i F IE + i F IO$ , и верно обратное.

Лемма Римана – Лебега [ править ]

Если это интегрируемый , , и этот результат известен как леммы Римана-Лебега . $f$ $\lim _{|n|\rightarrow \infty }{\hat {f}}(n)=0$ $\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0$ $\lim _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.$

Производная собственность [ править ]

Мы говорим, что принадлежит if является 2 $π-$ периодической функцией, на которой дифференцируема раз, а ее k- я производная непрерывна. $f$ $C^{k}(\mathbb {T} )$ $f$ $\mathbb {R}$ $k$

Если , то коэффициенты Фурье производной можно выразить через коэффициенты Фурье функции с помощью формулы . $f\in C^{1}(\mathbb {T} )$ ${\widehat {f'}}(n)$ $f'$ ${\widehat {f}}(n)$ $f$ ${\widehat {f'}}(n)=in{\widehat {f}}(n)$
Если , то . В частности, поскольку для фиксированного мы имеем as , из этого следует, что оно стремится к нулю, что означает, что коэффициенты Фурье сходятся к нулю быстрее, чем k- я степень n для любого . $f\in C^{k}(\mathbb {T} )$ ${\widehat {f^{(k)}}}(n)=(in)^{k}{\widehat {f}}(n)$ $k\geq 1$ ${\widehat {f^{(k)}}}(n)\to 0$ $n\to \infty$ $|n|^{k}{\widehat {f}}(n)$ $k\geq 1$

Теорема Парсеваля [ править ]

Если принадлежит , то . $f$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx$

Теорема Планшереля [ править ]

Если коэффициенты и тогда существует уникальная функция такая, что для каждого . $c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots$ $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty$ $f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ ${\hat {f}}(n)=c_{n}$ $n$

Теоремы о свертке [ править ]

Первые государства теоремы свертки , что если и в коэффициенты ряда Фурье из 2 $л$ -периодической свертки из и даются: $f$ $g$ $L^{1}([-\pi ,\pi ])$ $f$ $g$

[{\widehat {f*_{2\pi }g}}](n)=2\pi \cdot {\hat {f}}(n)\cdot {\hat {g}}(n),

^[D]

куда:

{\begin{aligned}\left[f*_{2\pi }g\right](x)\ &\triangleq \int _{-\pi }^{\pi }f(u)\cdot g[\operatorname {pv} (x-u)]\,du,&&{\big (}{\text{and }}\underbrace {\operatorname {pv} (x)\ \triangleq \operatorname {Arg} (e^{ix})} _{\text{principal value}}\,{\big )}\\&=\int _{-\pi }^{\pi }f(u)\cdot g(x-u)\,du,&&{\text{when }}g(x){\text{ is }}2\pi {\text{-periodic.}}\\&=\int _{2\pi }f(u)\cdot g(x-u)\,du,&&{\text{when both functions are }}2\pi {\text{-periodic, and the integral is over any }}2\pi {\text{ interval.}}\end{aligned}}

Теорема свертки второй утверждает , что коэффициенты рядов Фурье произведения и даются дискретной свертки из и последовательностей: $f$ $g$ ${\hat {f}}$ ${\hat {g}}$

[{\widehat {f\cdot g}}](n)=[{\hat {f}}*{\hat {g}}](n).

Двукратно бесконечная последовательность в это последовательность коэффициентов Фурье функции в том и только тогда , когда она является сверткой двух последовательностей в . См. ^[16] $\left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}$ $c_{0}(\mathbb {Z} )$ $L^{1}([0,2\pi ])$ $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$

Компактные группы [ править ]

Одно из интересных свойств преобразования Фурье, о котором мы упоминали, состоит в том, что оно переводит свертки в точечные произведения. Если это свойство, которое мы стремимся сохранить, можно построить ряд Фурье на любой компактной группе . Типичные примеры включают компактные классические группы . Это обобщает преобразование Фурье на все пространства вида L ² ( G ), где G - компактная группа, таким образом, что преобразование Фурье переводит свертки в поточечные произведения. Ряд Фурье существует и сходится аналогично случаю [- $π$ , $π$ ].

Альтернативным расширением на компактные группы является теорема Питера – Вейля , которая доказывает результаты о представлениях компактных групп, аналогичные представлениям о конечных группах.

Римановы многообразия [ править ]

В атомные орбитали по химии частично описаны сферические гармоники , которые могут быть использованы для получения ряда Фурье на сфере .

Если домен не является группой, внутренне определенная свертка отсутствует. Однако, если это компактное риманово многообразие , оно имеет оператор Лапласа – Бельтрами . Оператор Лапласа – Бельтрами - это дифференциальный оператор, соответствующий оператору Лапласа для риманова многообразия . Тогда по аналогии можно рассмотреть уравнения теплопроводности на . Поскольку Фурье пришел к своей основе, пытаясь решить уравнение теплопроводности, естественным обобщением является использование в качестве основы собственных решений оператора Лапласа – Бельтрами. Это обобщает ряды Фурье на пространства типа , где - риманово многообразие. Ряд Фурье сходится аналогично $X$ $X$ $X$ $L^{2}(X)$ $X$ $[-\pi ,\pi ]$ дело. Типичным примером является сфера с обычной метрикой, и в этом случае базис Фурье состоит из сферических гармоник . $X$

Локально компактные абелевы группы [ править ]

Обсуждаемое выше обобщение на компактные группы не распространяется на некомпактные неабелевы группы . Однако существует прямое обобщение на локально компактные абелевы (LCA) группы.

Это обобщает преобразование Фурье на или , где - группа LCA. Если он компактный, также получается ряд Фурье, который сходится аналогично случаю, но если он некомпактный, вместо него получается интеграл Фурье . Это обобщение приводит к обычному преобразованию Фурье, когда базовая локально компактная абелева группа является . $L^{1}(G)$ $L^{2}(G)$ $G$ $G$ $[-\pi ,\pi ]$ $G$ $\mathbb {R}$

Таблица общих рядов Фурье [ править ]

Некоторые общие пары периодических функций и их коэффициенты ряда Фурье показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения:

$f(x)$ обозначает периодическую функцию, определенную на . $0<x\leq T$
$a_{0},a_{n},b_{n}$ Обозначьте коэффициенты ряда Фурье (синус-косинусная форма) периодической функции, как определено в уравнении 4 . $f$

Область времени $f(x)$	Частотная область (синус-косинусная форма) ${\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$	Замечания	Ссылка
$f(x)=A\left\|\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)\right\|\quad {\text{for }}0\leq x<T$	${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {4A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$	Двухполупериодный выпрямленный синус	^[17]^{: с. 193}
$f(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<T/2\\0&\quad {\text{for }}T/2\leq x<T\\\end{cases}}$	${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{1-n^{2}}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}$	Полуволновой выпрямленный синус	^[17]^{: с. 193}
$f(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot T\\0&\quad {\text{for }}D\cdot T\leq x<T\\\end{cases}}$	${\begin{aligned}a_{0}=&AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}$	$0\leq D\leq 1$
$f(x)={\frac {Ax}{T}}\quad {\text{for }}0\leq x<T$	${\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$		^[17]^{: с. 192}
$f(x)=A-{\frac {Ax}{T}}\quad {\text{for }}0\leq x<T$	${\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}$		^[17]^{: с. 192}
$f(x)={\frac {4A}{T^{2}}}\left(x-{\frac {T}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<T$	${\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}$		^[17]^{: с. 193}

Аппроксимация и сходимость рядов Фурье [ править ]

Важным вопросом как для теории, так и для приложений является вопрос сходимости. В частности, в приложениях часто возникает необходимость заменить бесконечный ряд конечным, $\sum _{-\infty }^{\infty }$

f_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{inx}.

Это называется частичной суммой . Мы хотели бы знать, в каком смысле сходится к as . $f_{N}(x)$ $f(x)$ $N\rightarrow \infty$

Свойство наименьших квадратов [ править ]

Мы говорим, что это тригонометрический полином степени, когда он имеет вид $p$ $N$

p(x)=\sum _{n=-N}^{N}p_{n}e^{inx}.

Обратите внимание, что это тригонометрический полином степени . Из теоремы Парсеваля следует, что $f_{N}$ $N$

Теорема. Тригонометрический полином является единственным наилучшим тригонометрическим полиномом степени аппроксимации в том смысле, что для любого тригонометрического полинома степени мы имеем $f_{N}$ $N$ $f(x)$ $p\neq f_{N}$ $N$
$\|f_{N}-f\|_{2}<\|p-f\|_{2},$
где норма гильбертова пространства определяется как:
$\|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }|g(x)|^{2}\,dx}}.$

Конвергенция [ править ]

Благодаря свойству наименьших квадратов и полноте базиса Фурье мы получаем элементарный результат сходимости.

Теорема. Если принадлежит , то сходится к in , то есть сходится к 0 как . $f$ $L^{2}(\left[-\pi ,\pi \right])$ $f_{\infty }$ $f$ $L^{2}(\left[-\pi ,\pi \right])$ $\|f_{N}-f\|_{2}$ $N\rightarrow \infty$

Мы уже упоминали, что если непрерывно дифференцируема, то - n- й коэффициент Фурье производной . Это, по существу, следует из неравенства Коши – Шварца , которое является абсолютно суммируемым. Сумма этого ряда является непрерывной функцией, равной , поскольку ряд Фурье сходится в среднем к : $f$ $(i\cdot n){\hat {f}}(n)$ $f'$ $f_{\infty }$ $f$ $f$

Теорема. Если , то сходится к равномерно (а значит, и поточечно ). $f\in C^{1}(\mathbb {T} )$ $f_{\infty }$ $f$

Этот результат может быть легко доказан, если в дальнейшем предположить , что так, поскольку в этом случае стремится к нулю при . В более общем смысле, ряд Фурье является абсолютно суммируемым, поэтому сходится равномерно к при условии, что он удовлетворяет условию порядка Гельдера . В абсолютно суммируемом случае неравенство доказывает равномерную сходимость. $f$ $C^{2}$ $n^{2}{\hat {f}}(n)$ $n\rightarrow \infty$ $f$ $f$ $\alpha >1/2$ $\sup _{x}|f(x)-f_{N}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|{\hat {f}}(n)|$

Известно множество других результатов, касающихся сходимости рядов Фурье , начиная от умеренно простого результата о том, что ряд сходится в точке, если дифференцируема в точке , до гораздо более сложного результата Леннарта Карлесона о том, что ряд Фурье функции фактически сходится почти всюду . $x$ $f$ $x$ $L^{2}$

Эти теоремы и их неформальные вариации, которые не определяют условия сходимости, иногда в общем называют «теоремой Фурье» или «теоремой Фурье». ^[18]^[19]^[20]^[21]

Дивергенция [ править ]

Поскольку ряды Фурье обладают такими хорошими свойствами сходимости, многие часто удивляются некоторым отрицательным результатам. Например, ряд Фурье непрерывной T -периодической функции может не сходиться поточечно. ^{[ необходимая цитата ]} Принцип равномерной ограниченности дает простое неконструктивное доказательство этого факта.

В 1922 году Андрей Колмогоров опубликовал статью « Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout», в которой он привел пример интегрируемой по Лебегу функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Позже он построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится всюду ( Кацнельсон, 1976 ).

См. Также [ править ]

Теорема ATS
Ядро Дирихле
Дискретное преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье
Теорема Фейера
Фурье-анализ
Синус Фурье и ряд косинусов
преобразование Фурье
Феномен Гиббса
Ряд Лорана - замена q = e ^ix преобразует ряд Фурье в ряд Лорана или наоборот. Это используется в расширении q -серии j -инварианта .
Спектральный анализ методом наименьших квадратов
Многомерное преобразование
Спектральная теория
Теория Штурма – Лиувилля
Интегралы по теореме о вычетах от f [z], особенности, полюсы

Заметки [ править ]

^ Эти трое сделали некоторые важные ранние работы над волновым уравнением , особенно Даламбер. Работа Эйлера в этой области была в основном одновременной / в сотрудничестве с Бернулли , хотя последний внес независимый вклад в теорию волн и колебаний. (См. Fetter & Walecka 2003 , стр. 209–210).
^ Поскольку интеграл, определяющий преобразование Фурье периодической функции, не сходится, необходимо рассматривать периодическую функцию и ее преобразование как распределения . В этом смыслеявляется дельта - функция Дирака , которая представляет собой пример распределения. ${\mathcal {F}}\{e^{i{\frac {2\pi nx}{P}}}\}$
^ Эти слова не строго фурье. Хотя в цитируемой статье автор указан как Фурье, сноска указывает, что статья была написана Пуассоном (что она не была написана Фурье, также ясно из последовательного использования третьего лица для ссылки на него) и что это "по причинам исторического интереса", представленные как оригинальные мемуары Фурье.
^ Масштабный коэффициент всегда равен периоду, 2 $л$ в этом случае.

Ссылки [ править ]

^ «Фурье» . Dictionary.com Полный . Случайный дом .
^ Стиллвелл, Джон (2013). «Логика и философия математики в девятнадцатом веке» . In Ten, CL (ред.). История философии Рутледж . Том VII: Девятнадцатый век. Рутледж. п. 204. ISBN 978-1-134-92880-4.
^ Fasshauer, Грег (2015). «Ряды Фурье и краевые задачи» (PDF) . Математика 461 Заметки к курсу, глава 3 . Департамент прикладной математики Технологического института Иллинойса . Дата обращения 6 ноября 2020 .
^ Каджори, Флориан (1893). История математики . Макмиллан. п. 283 .
Перейти ↑ Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav (1829). « О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами » [О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 4 : 157–169. arXiv : 0806.1294 .
^ "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" [О представимости функции тригонометрическим рядом]. Habilitationsschrift , Геттинген ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , vol. 13, 1867. Издано Рихардом Дедекиндом посмертно для Римана (на немецком языке). Архивировано 20 мая 2008 года . Проверено 19 мая 2008 года .
^ Mascre, D .; Риман, Бернхард (1867 г.), «Посмертный тезис о представлении функций тригонометрическими рядами», в Граттан-Гиннесс, Айвор (изд.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 , Elsevier (опубликовано в 2005 г.), стр. 49, ISBN 9780080457444
^ Remmert, Reinhold (1991). Теория сложных функций: Чтения по математике . Springer. п. 29. ISBN 9780387971957.
^ Nerlove, Марк; Гретер, Дэвид М .; Карвалью, Хосе Л. (1995). Анализ экономических временных рядов. Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика . Эльзевир. ISBN 0-12-515751-7.
^ Вильгельм Флюгге , Напряжения в оболочках (1973), 2-е издание. ISBN 978-3-642-88291-3 . Первоначально опубликовано на немецком языке как Statik und Dynamik der Schalen (1937).
^ Дорф, Ричард С .; Талларида, Рональд Дж. (1993). Карманный справочник формул электротехники (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. С. 171–174. ISBN 0849344735.
↑ Толстов, Георгий П. (1976). Ряд Фурье . Курьер-Дувр. ISBN 0-486-63317-9.
^ Фурье, Жан-Батист-Жозеф (1888). Гастон Дарбу (ред.). Oeuvres de Fourier [ Работы Фурье ] (на французском языке). Париж: Готье-Виллар и Филс. С. 218–219 - через Галлику.
^ а б в г Шмалий Ю.С. (2007). Сигналы непрерывного времени . Springer. ISBN 978-1402062711.
^ Proakis, Джон G .; Манолакис, Димитрис Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Прентис Холл. п. 291 . ISBN 978-0-13-373762-2.
^ "Характеризации линейного подпространства, связанного с рядами Фурье" . MathOverflow. 2010-11-19 . Проверено 8 августа 2014 .
^ а б в г д Папула, Лотар (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [ Математические функции для инженеров и физиков ] (на немецком языке). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571.
^ Зиберт, Уильям МакКи. (1985). Цепи, сигналы и системы . MIT Press. п. 402. ISBN. 978-0-262-19229-3.
^ Мартон, L .; Мартон, Клэр (1990). Успехи электроники и электронной физики . Академическая пресса. п. 369. ISBN. 978-0-12-014650-5.
^ Кузмани Ганс (1998). Спектроскопия твердого тела . Springer. п. 14. ISBN 978-3-540-63913-8.
^ Прибрам, Карл Х .; Ясуэ, Кунио; Джибу, Мари (1991). Мозг и восприятие . Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс. п. 26. ISBN 978-0-89859-995-4.

Дальнейшее чтение [ править ]

Уильям Э. Бойс; Ричард С. ДиПрима (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е изд.). Нью-Джерси: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-43338-1.
Жозеф Фурье, перевод Александра Фримена (2003). Аналитическая теория тепла . Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0. Полная переиздание в 2003 году английского перевода Александра Фримена 1878 года работы Фурье Théorie Analytique de la Chaleur , первоначально опубликованного в 1822 году.
Энрике А. Гонсалес-Веласко (1992). «Связи в математическом анализе: случай рядов Фурье». Американский математический ежемесячник . 99 (5): 427–441. DOI : 10.2307 / 2325087 . JSTOR 2325087 .
Феттер, Александр Л .; Валецка, Джон Дирк (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред . Курьер. ISBN 978-0-486-43261-8.
Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ (второе исправленное изд.). Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-63331-4.
Феликс Кляйн , Развитие математики в XIX веке . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Перевод М. Акермана из журнала Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Berlin, 1928.
Вальтер Рудин (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: ISBN McGraw-Hill, Inc. 0-07-054235-X.
А. Зигмунд (2002). Тригонометрические ряды (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-89053-5. Первое издание вышло в 1935 году.

Внешние ссылки [ править ]

"Ряды Фурье" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Хобсон, Эрнест (1911). «Ряд Фурье» . Британская энциклопедия . 10 (11-е изд.). С. 753–758.
Вайсштейн, Эрик В. "Ряд Фурье" . MathWorld .
Джозеф Фурье - сайт о жизни Фурье, который использовался для исторического раздела этой статьи в Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2001 г.)

Эта статья включает материал из примера серии Фурье на PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[2] Эти трое сделали некоторые важные ранние работы над волновым уравнением , особенно Даламбер. Работа Эйлера в этой области была в основном одновременной / в сотрудничестве с Бернулли , хотя последний внес независимый вклад в теорию волн и колебаний. (См. Fetter & Walecka 2003 , стр. 209–210).

[13] Поскольку интеграл, определяющий преобразование Фурье периодической функции, не сходится, необходимо рассматривать периодическую функцию и ее преобразование как распределения . В этом смыслеявляется дельта - функция Дирака , которая представляет собой пример распределения. ${\mathcal {F}}\{e^{i{\frac {2\pi nx}{P}}}\}$

[16] Эти слова не строго фурье. Хотя в цитируемой статье автор указан как Фурье, сноска указывает, что статья была написана Пуассоном (что она не была написана Фурье, также ясно из последовательного использования третьего лица для ссылки на него) и что это "по причинам исторического интереса", представленные как оригинальные мемуары Фурье.

[19] Масштабный коэффициент всегда равен периоду, 2 $л$ в этом случае.

[1] «Фурье» . Dictionary.com Полный . Случайный дом .

[Stillwell2013-3] Стиллвелл, Джон (2013). «Логика и философия математики в девятнадцатом веке» . In Ten, CL (ред.). История философии Рутледж . Том VII: Девятнадцатый век. Рутледж. п. 204. ISBN 978-1-134-92880-4.

[iit.edu-4] Fasshauer, Грег (2015). «Ряды Фурье и краевые задачи» (PDF) . Математика 461 Заметки к курсу, глава 3 . Департамент прикладной математики Технологического института Иллинойса . Дата обращения 6 ноября 2020 .

[Cajori1893-5] Каджори, Флориан (1893). История математики . Макмиллан. п. 283 .

[6] Перейти ↑ Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav (1829). « О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами » [О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 4 : 157–169. arXiv : 0806.1294 .

[7] "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" [О представимости функции тригонометрическим рядом]. Habilitationsschrift , Геттинген ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , vol. 13, 1867. Издано Рихардом Дедекиндом посмертно для Римана (на немецком языке). Архивировано 20 мая 2008 года . Проверено 19 мая 2008 года .

[8] Mascre, D .; Риман, Бернхард (1867 г.), «Посмертный тезис о представлении функций тригонометрическими рядами», в Граттан-Гиннесс, Айвор (изд.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 , Elsevier (опубликовано в 2005 г.), стр. 49, ISBN 9780080457444

[9] Remmert, Reinhold (1991). Теория сложных функций: Чтения по математике . Springer. п. 29. ISBN 9780387971957.

[10] Nerlove, Марк; Гретер, Дэвид М .; Карвалью, Хосе Л. (1995). Анализ экономических временных рядов. Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика . Эльзевир. ISBN 0-12-515751-7.

[11] Вильгельм Флюгге , Напряжения в оболочках (1973), 2-е издание. ISBN 978-3-642-88291-3 . Первоначально опубликовано на немецком языке как Statik und Dynamik der Schalen (1937).

[12] Дорф, Ричард С .; Талларида, Рональд Дж. (1993). Карманный справочник формул электротехники (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. С. 171–174. ISBN 0849344735.

[14] Толстов, Георгий П. (1976). Ряд Фурье . Курьер-Дувр. ISBN 0-486-63317-9.

[15] Фурье, Жан-Батист-Жозеф (1888). Гастон Дарбу (ред.). Oeuvres de Fourier [ Работы Фурье ] (на французском языке). Париж: Готье-Виллар и Филс. С. 218–219 - через Галлику.

[Shmaliy-17] а б в г Шмалий Ю.С. (2007). Сигналы непрерывного времени . Springer. ISBN 978-1402062711.

[ProakisManolakis1996-18] Proakis, Джон G .; Манолакис, Димитрис Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Прентис Холл. п. 291 . ISBN 978-0-13-373762-2.

[20] "Характеризации линейного подпространства, связанного с рядами Фурье" . MathOverflow. 2010-11-19 . Проверено 8 августа 2014 .

[Papula-21] а б в г д Папула, Лотар (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [ Математические функции для инженеров и физиков ] (на немецком языке). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571.

[22] Зиберт, Уильям МакКи. (1985). Цепи, сигналы и системы . MIT Press. п. 402. ISBN. 978-0-262-19229-3.

[23] Мартон, L .; Мартон, Клэр (1990). Успехи электроники и электронной физики . Академическая пресса. п. 369. ISBN. 978-0-12-014650-5.

[24] Кузмани Ганс (1998). Спектроскопия твердого тела . Springer. п. 14. ISBN 978-3-540-63913-8.

[25] Прибрам, Карл Х .; Ясуэ, Кунио; Джибу, Мари (1991). Мозг и восприятие . Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс. п. 26. ISBN 978-0-89859-995-4.

[1]