Дискретное преобразование Фурье

В математике преобразование Фурье с дискретным временем ( ДВПФ ) - это форма анализа Фурье , применимая к последовательности значений.

DTFT часто используется для анализа выборок непрерывной функции. Термин дискретное время относится к тому факту, что преобразование работает с дискретными данными, часто с выборками, интервал которых имеет единицы времени. Из равномерно расположенных образцов она производит функцию частоты , которая является периодическим суммирования из непрерывного преобразования Фурье исходной непрерывной функции. При определенных теоретических условиях, описываемых теоремой выборки , исходная непрерывная функция может быть полностью восстановлена ​​из DTFT и, следовательно, из исходных дискретных выборок. Само ДВПФ является непрерывной функцией частоты, но ее дискретные отсчеты можно легко вычислить с помощью дискретного преобразования Фурье.(ДПФ) (см. § Выборка ДВПФ ), который на сегодняшний день является наиболее распространенным методом современного анализа Фурье.

Оба преобразования обратимы. Обратное ДВПФ - это исходная последовательность дискретизированных данных. Обратное ДПФ - это периодическое суммирование исходной последовательности. Быстрого преобразования Фурье (БПФ) представляет собой алгоритм для вычисления одного цикла ДПФ, и обратный производит один цикл обратного ДПФ.

Определение [ править ]

Дискретное преобразование Фурье дискретной последовательности действительных или комплексных чисел x [ n ] для всех целых чисел n представляет собой ряд Фурье , который производит периодическую функцию частотной переменной. Когда переменная частота, ω, имеет нормированные единицы из радиан / образца , периодичность является 2π , а ряд Фурье : ^{[1] : стр.147}

Полезность этой функции в частотной области основана на формуле суммирования Пуассона . Пусть X ( f ) будет преобразованием Фурье любой функции x ( t ) , выборки которой на некотором интервале T ( секунды ) равны (или пропорциональны) последовательности x [ n ] , то есть T ⋅ x ( nT ) = x [ n ] . Тогда периодическая функция, представленная рядом Фурье, является периодическим суммированием X ( f )в единицах частоты f в герцах ( циклов / сек ) : ^{[a] [A]}

${\displaystyle X_{1/T}(f)=X_{2\pi }(2\pi fT)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\ e^{-i2\pi fTn}\;{\stackrel {\mathrm {Poisson\;f.} }{=}}\;\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right).}$

( Уравнение 2 )

Рис. 1. Изображение преобразования Фурье (вверху слева) и его периодического суммирования (DTFT) в нижнем левом углу. В нижнем правом углу показаны образцы ДВПФ, вычисленные с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Целое число k имеет единицы циклов / отсчет , а 1 / T - это частота дискретизации, f _s ( отсчетов / сек ). Таким образом, X _{1 / T} ( f ) содержит точные копии X ( f ) , которые сдвинуты на кратные f _s герц и объединены путем сложения. При достаточно большом е _с к = 0 термин может наблюдаться в области [- F _сек / 2, е _с / 2 ] практически без искажений (алиасинг ) от других терминов. На рисунке 1 крайние точки распределения в верхнем левом углу замаскированы за счет наложения спектров при периодическом суммировании (нижний левый).

Отметим также, что e ^{- i2πfTn} - преобразование Фурье функции δ ( t - nT ) . Следовательно, альтернативное определение DTFT: ^[B]

${\displaystyle X_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.}$

( Уравнение 3 )

Модулированная гребенчатая функция Дирака представляет собой математическую абстракцию, которую иногда называют импульсной выборкой . ^[2]

Обратное преобразование [ править ]

Операция, которая восстанавливает дискретную последовательность данных из функции DTFT, называется обратным DTFT . Например, обратное непрерывное преобразование Фурье обеих частей уравнения 3 дает последовательность в виде модулированной гребенчатой ​​функции Дирака:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

Тем не менее, отметив , что Х _{1 / Т} ( е ) является периодическим, вся необходимая информация содержится в любом интервале длины 1 / T . Как в уравнении 1, так и в уравнении 2 суммирование по n представляет собой ряд Фурье с коэффициентами x [ n ] . Стандартные формулы для коэффициентов Фурье также являются обратными преобразованиями:

Периодические данные [ править ]

Когда последовательность входных данных x [ n ] является N- периодической , уравнение 2 может быть вычислительно сведено к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), потому что :

• Вся доступная информация содержится в N образцах.
• X _{1 / T} ( f ) сходится к нулю везде, кроме целых кратных 1 / ( NT ) , известных какчастоты гармоник . На этих частотах DTFT расходится с разной частотно-зависимой скоростью. И эти скорости задаются ДПФ одного цикла последовательности x [ n ] .
• ДВПФ является периодическим, поэтому максимальное количество уникальных амплитуд гармоник составляет (1 / T ) / (1 / ( NT )) = N

Коэффициенты ДПФ определяются по формуле :

${\displaystyle X[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}x(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},}$     и DTFT :

${\displaystyle X_{1/T}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right).}$      ^[b]

Подстановка этого выражения в формулу обратного преобразования подтверждает :

${\displaystyle \int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\ =\ {\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}} _{\text{any k-sequence of length N}}\ \equiv \ x(nT),\quad n\in \mathbb {Z} \,}$( все целые числа )

как и ожидалось. Обратный ДПФ в строке выше иногда называют дискретным рядом Фурье ( ДПФ ). ^{[1] : с. 542}

Выборка DTFT [ править ]

Когда ДВПФ является непрерывным, обычной практикой является вычисление произвольного количества выборок ( N ) одного цикла периодической функции X _{1 / T} :  ^{[1] : стр. 557–559 и 703}

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

где - периодическое суммирование :${\displaystyle x_{_{N}}}$

${\displaystyle x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].}$     (см. Дискретный ряд Фурье )

Последовательность является обратным ДПФ. Таким образом, наша выборка DTFT приводит к тому, что обратное преобразование становится периодическим. Массив | X _k | ² значения называется периодограммой , а параметр N называется NFFT в одноименной функции Matlab. ^[3]${\displaystyle x_{_{N}}}$

Чтобы вычислить один цикл численно, нам потребуется последовательность x [ n ] конечной длины . Например, длинная последовательность может быть усечена оконной функцией длины L, что приведет к трем случаям, заслуживающим особого упоминания. Для упрощения записи рассмотрим значения x [ n ] ниже, чтобы представить значения, измененные оконной функцией.${\displaystyle x_{_{N}}}$

Случай: Прореживание частоты. L = N ⋅ I , для некоторого целого числа I (обычно 6 или 8)

Цикл сводится к суммированию I отрезков длины N . Затем ДПФ имеет различные названия, такие как :${\displaystyle x_{_{N}}}$

• БПФ с оконной презумпцией ^[4]
• Вес, перекрытие, добавить (WOLA) ^{[5] [6] [7] [8] [9] [10] [C] [D]}

• многофазный ДПФ ^{[8] [9]}
• банк многофазных фильтров ^[11]
• многоблочное управление окнами и временным алиасингом . ^[12]

Напомним, что прореживание выборочных данных в одном домене (по времени или частоте) приводит к перекрытию (иногда известному как наложение ) в другом, и наоборот. По сравнению с ДПФ с длиной L , суммирование / перекрытие вызывает децимацию по частоте, ^{[1] : стр.558,} оставляя только выборки ^ДВПФ, наименее подверженные спектральной утечке . Это обычно является приоритетом при реализации банка фильтров БПФ (канализатора). При использовании обычной оконной функции длины L , scalloping потери были бы неприемлемыми. Таким образом, многоблочные окна создаются с помощью инструментов проектирования FIR-фильтров . ^{[13] [14]}${\displaystyle x_{_{N}}}$  Их частотный профиль плоский в самой высокой точке и быстро спадает в средней точке между оставшимися отсчетами DTFT. Чем больше значение параметра I , тем лучше потенциальная производительность.

Случай: L = N +1 .

Когда симметричный, L -длина функция окна ( ) усекается до 1 коэффициента его называют периодическим или ДПФ-даже . Усечение влияет на DTFT. ДПФ из усеченных последовательностей выборок ДВПФА в частотных интервалах 1 / N . Чтобы выполнить выборку на тех же частотах, для сравнения вычисляется ДПФ для одного цикла периодического суммирования, ^[E]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{_{N}}.}$

Случай: частотная интерполяция. L ≤ N

В этом случае ДПФ упрощается до более знакомой формы:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

Чтобы воспользоваться преимуществом алгоритма быстрого преобразования Фурье для вычисления ДПФ, суммирование обычно выполняется по всем N членам, даже если N - L из них являются нулями. Поэтому случай L < N часто называют заполнением нулями .

Спектральная утечка, которая увеличивается с уменьшением L , отрицательно сказывается на некоторых важных показателях производительности, таких как разрешение нескольких частотных компонентов и количество шума, измеряемого каждой выборкой DTFT. Но эти вещи не всегда имеют значение, например, когда последовательность x [ n ] является бесшумной синусоидой (или константой), сформированной оконной функцией. Затем обычно используют заполнение нулями для графического отображения и сравнения подробных шаблонов утечки оконных функций. Чтобы проиллюстрировать это для прямоугольного окна, рассмотрим последовательность:

${\displaystyle x[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$ и ${\displaystyle L=64.}$

Рисунки 2 и 3 представляют собой графики величины двух ДПФ разного размера, как указано на их метках. В обоих случаях доминирующая составляющая находится на частоте сигнала: f = 1/8 = 0,125 . На рис. 2 также видна спектральная картина рассеяния прямоугольного окна L = 64 . Иллюзия на рис. 3 является результатом выборки DTFT только в точках пересечения нуля. Вместо ДВПФ последовательности конечной длины он производит впечатление бесконечно длинной синусоидальной последовательности. Факторами, способствующими возникновению иллюзии, являются использование прямоугольного окна и выбор частоты (1/8 = 8/64) с ровно 8 (целыми) циклами на 64 выборки. Окно Ханнадаст аналогичный результат, за исключением того, что пик будет расширен до 3 отсчетов (см. окно Ханна с четностью DFT ).

Свертка [ править ]

Теорема свертки для последовательностей :

${\displaystyle x*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[16] : с.297 [c]}

Важным частным случаем является круговая свертка последовательностей x и y, определяемая как где - периодическое суммирование. Дискретно-частотный характер означает, что произведение с непрерывной функцией также является дискретным, что приводит к значительному упрощению обратного преобразования :${\displaystyle x_{_{N}}*y,}$${\displaystyle x_{_{N}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}}$${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$

${\displaystyle x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[17] [1] : с.548.}

Для последовательностей x и y , ненулевая длительность которых меньше или равна N , окончательное упрощение :

${\displaystyle x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

Значение этого результата объясняется в алгоритмах круговой свертки и быстрой свертки .

Свойства симметрии [ править ]

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четную и нечетную части , имеется четыре компонента, обозначенных ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования : ^{[16] : с.291}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ x\quad &=\quad &x_{_{RE}}\quad &+\quad &x_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &x_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ x_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &X\quad &=\quad &X_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ X_{IO}} \quad &+\quad i\ &X_{IE}\quad &+\quad &X_{RO}\end{aligned}}}$

Отсюда очевидны различные отношения, например :

• Преобразование вещественной функции ( x _RE + x _RO ) является четной симметричной функцией X _RE + i X _IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
• Преобразование мнимозначной функции ( i x _IE + i x _IO ) является нечетной симметричной функцией X _RO + i X _IE , и верно обратное.
• Преобразование четно-симметричной функции ( x _RE + i x _IO ) является действительной функцией X _RE + X _RO , и верно обратное.
• Преобразование нечетно-симметричной функции ( x _RO + i x _IE ) является мнимозначной функцией i X _IE + i X _IO , и верно обратное.

Связь с Z-преобразованием [ править ]

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$представляет собой ряд Фурье, который также может быть выражен через двустороннее Z-преобразование . Т.е.:

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {X}}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}={\widehat {X}}(e^{i\omega }),}$

где обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье. Следовательно, мы также можем выразить часть Z-преобразования через преобразование Фурье:${\displaystyle {\widehat {X}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {X}}(e^{i\omega })&=\ X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что при изменении параметра T члены остаются на постоянном расстоянии друг от друга, а их ширина увеличивается или уменьшается. Члены X _{1 / T} ( f ) остаются постоянной ширины, а их расстояние 1 / T масштабируется вверх или вниз.${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$${\displaystyle 2\pi }$

Таблица дискретных преобразований Фурье [ править ]

Некоторые общие пары преобразований показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения:

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$- действительное число, представляющее непрерывную угловую частоту (в радианах на выборку). ( в циклах в секунду и в секундах / отсчет). Во всех случаях в таблице DTFT является 2π-периодическим (в дюймах ).${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$
• ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$обозначает функцию, определенную на .${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$
• ${\displaystyle X_{o}(\omega )}$обозначает функцию, определенную на , и ноль в другом месте. Потом:${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k).}$

• ${\displaystyle \delta (\omega )}$- дельта-функция Дирака
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$ нормализованная функция sinc
• ${\displaystyle \operatorname {rect} (t)}$это функция прямоугольника
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$является функция треугольника
• n - целое число, представляющее дискретную временную область (в выборках)
• ${\displaystyle u[n]}$дискретная ступенчатая функция
• ${\displaystyle \delta [n]}$это дельта Кронекера ${\displaystyle \delta _{n,0}}$

Временная область x [ n ]	Частотная область X 2π (ω)	Замечания	Ссылка
${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=1}$		[16] : с.305
${\displaystyle \delta [n-M]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}}$	целое число ${\displaystyle M}$
${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$     нечетное M     четное M ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$	целое число ${\displaystyle M>0}$
${\displaystyle u[n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$ ${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!}$	Этот термин следует интерпретировать как распределение в смысле главного значения Коши вокруг его полюсов в .${\displaystyle 1/(1-e^{-i\omega })}$${\displaystyle \omega =2\pi k}$
${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!}$	${\displaystyle 0<|a|<1}$	[16] : с.305
${\displaystyle e^{-ian}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),}$     -π <a <π ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)}$	настоящий номер ${\displaystyle a}$
${\displaystyle \cos(a\cdot n)}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],}$ ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k)}$	реальный номер с${\displaystyle a}$${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \sin(a\cdot n)}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]}$	реальный номер с${\displaystyle a}$${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\sin[N\omega /2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!}$	целые числа и ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} (W(n+a))}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }}$	реальные числа с${\displaystyle W,a}$${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)}$	реальное число ,${\displaystyle W}$${\displaystyle 0<W<0.5}$
${\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{elsewhere}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=j\omega }$	он работает как дифференцирующий фильтр
${\displaystyle {\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }}$	реальные числа с${\displaystyle W,a}$${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=|\omega |}$
${\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}}$	Преобразование Гильберта
${\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]}$	${\displaystyle X_{o}(\omega )=}$	комплекс действительных чисел${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle C}$

Свойства [ править ]

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующие эффекты в частотной области.

• ${\displaystyle *\!}$является дискретной свертки двух последовательностей
• ${\displaystyle x[n]^{*}}$является комплексно сопряженным к x [ n ] .

Свойство	Временная область x [ n ]	Частотная область ${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )}$	Замечания	Ссылка
Линейность	${\displaystyle a\cdot x[n]+b\cdot y[n]}$	${\displaystyle a\cdot X_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )}$	сложные числа ${\displaystyle a,b}$	[16] : с.294
Обратное время / изменение частоты	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(-\omega )\!}$		[16] : с.297
Сопряжение времени	${\displaystyle x[n]^{*}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(-\omega )^{*}\!}$		[16] : с.291
Обращение времени и спряжение	${\displaystyle x[-n]^{*}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )^{*}\!}$		[16] : с.291
Реальная часть времени	${\displaystyle \Re {(x[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(X_{2\pi }(\omega )+X_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[16] : с.291
Воображаемая часть времени	${\displaystyle \Im {(x[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(X_{2\pi }(\omega )-X_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[16] : с.291
Действительная часть частоты	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x[n]+x^{*}[-n])}$	${\displaystyle \Re {(X_{2\pi }(\omega ))}}$		[16] : с.291
Мнимая часть частоты	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(x[n]-x^{*}[-n])}$	${\displaystyle \Im {(X_{2\pi }(\omega ))}}$		[16] : с.291
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте	${\displaystyle x[n-k]}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}}$	целое число k	[16] : с.296
Сдвиг частоты / Модуляция во времени	${\displaystyle x[n]\cdot e^{ian}\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega -a)\!}$	настоящий номер ${\displaystyle a}$	[16] : с.300
Децимация	${\displaystyle x[nM]}$	${\displaystyle {\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!}$  [F]	целое число ${\displaystyle M}$
Расширение времени	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{cases}x[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle X_{2\pi }(M\omega )\!}$	целое число ${\displaystyle M}$	[1] : с.172
Производная по частоте	${\displaystyle {\frac {n}{i}}x[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {dX_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!}$		[16] : с.303
Интеграция по частоте	${\displaystyle \!}$	${\displaystyle \!}$
Разница во времени	${\displaystyle x[n]-x[n-1]\!}$	${\displaystyle \left(1-e^{-i\omega }\right)X_{2\pi }(\omega )\!}$
Суммирование во времени	${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{n}x[m]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}X_{2\pi }(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$
Свертка по времени / Умножение по частоте	${\displaystyle x[n]*y[n]\!}$	${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$		[16] : с.297
Умножение по времени / Свертка по частоте	${\displaystyle x[n]\cdot y[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!}$	Периодическая свертка	[16] : с.302
Взаимная корреляция	${\displaystyle \rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!}$	${\displaystyle R_{xy}(\omega )=X_{2\pi }(\omega )^{*}\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$
Теорема Парсеваля	${\displaystyle E_{xy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y[n]^{*}}\!}$	${\displaystyle E_{xy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )^{*}d\omega }\!}$		[16] : с.302

См. Также [ править ]

• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Многомерное преобразование
• Зак преобразовать

Заметки [ править ]

Цитирование страниц [ править ]

Ссылки [ править ]