Периодическое суммирование

В обработке сигналов , любой периодической функции , с периодом Р , может быть представлена с помощью суммирования бесконечного числа экземпляров апериодической функции, , которые смещены целыми кратными P . Такое представление называется периодическим суммированием: ${\ displaystyle s_ {P} (t)}$ ${\ displaystyle s (t)}$

{\ displaystyle s_ {P} (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (t + nP) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s ( т-нП).}

Преобразование Фурье и 3 варианта, вызванные периодической выборкой (с интервалом T) и / или периодическим суммированием (с интервалом P) лежащей в основе функции временной области.

Когда альтернативно представлена в виде комплексного ряда Фурье , коэффициенты Фурье пропорциональны значениям (или «образцы») от непрерывного преобразования Фурье , с интервалом в 1 / P . ^[1]^[2] Это тождество является формой формулы суммирования Пуассона . Аналогичный образом , ряд Фурье, коэффициенты которого являются образцами с постоянными интервалами ( Т ) эквивалентен периодическим суммированием из которого известен как дискретного времени преобразования Фурье . ${\ displaystyle s_ {P} (t)}$ ${\ Displaystyle S (е) \ \ треугольник \ {\ mathcal {F}} \ {s (т) \},}$ ${\ displaystyle s (t)}$ ${\ Displaystyle S (е),}$

Периодическое суммирование дельта-функции Дирака - это гребенка Дирака . Точно так же периодическое суммирование интегрируемой функции является ее сверткой с гребенкой Дирака.

Факторное пространство как домен [ править ]

Если периодическая функция представляется с использованием фактор - пространство домена , то можно написать ${\ Displaystyle \ mathbb {R} / (P \ mathbb {Z})}$

\varphi _{P}:\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )\to \mathbb {R}

\varphi _{P}(x)=\sum _{\tau \in x}s(\tau )

вместо. Аргументы являются классами эквивалентности из действительных чисел , которые разделяют ту же дробную часть при делении . $\varphi _{P}$ $P$

Цитаты [ править ]

^ Пинский, Марк (2001). Введение в анализ Фурье и всплески . Брукс / Коул. ISBN 978-0534376604.
^ Зигмунд, Антони (1988). Тригонометрические серии (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521358859.

См. Также [ править ]

[1] Пинский, Марк (2001). Введение в анализ Фурье и всплески . Брукс / Коул. ISBN 978-0534376604.

[2] Зигмунд, Антони (1988). Тригонометрические серии (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521358859.

[1]