Дробная часть

Дробная часть или дробная часть ^[1] из неотрицательного действительного числа является превышение сверх этого числа в целой части . Если последний определяются как наибольшее целое число , не большее , чем х , называется полом из й или его дробная часть может быть записана в виде:${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

${\ displaystyle \ operatorname {frac} (x) = x- \ lfloor x \ rfloor, \; x> 0}$.

Для положительного числа, записанного в обычной позиционной системе счисления (такой как двоичная или десятичная ), его дробная часть, следовательно, соответствует цифрам, появляющимся после точки счисления . Результатом является действительное число в полуоткрытом интервале [0, 1).

Для отрицательных чисел [ править ]

Однако в случае отрицательных чисел существуют различные противоречивые способы расширения функции дробной части на них: она либо определяется так же, как и для положительных чисел, то есть ( Graham, Knuth & Patashnik 1992 ), ^[2] или как часть числа справа от точки счисления ( Daintith 2004 ), ^[3] или нечетной функцией : ^[4]${\ Displaystyle \ OperatorName {гидроразрыва} (х) = х- \ lfloor x \ rfloor}$${\ Displaystyle \ OperatorName {гидроразрыва} (х) = | х | - \ lfloor | x | \ rfloor}$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}}$

с , как наименьшее целое число не меньше , чем х , также называемый потолок из х . Как следствие, мы можем получить, например, три разных значения для дробной части только одного x : пусть это будет -1,3, его дробная часть будет 0,7 в соответствии с первым определением, 0,3 в соответствии со вторым определением и -0,3 согласно третьему определению, результат которого также может быть получен прямым путем с помощью${\displaystyle \lceil x\rceil }$

${\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$.

Определения и «нечетная функция» позволяют однозначно разложить любое действительное число x на сумму его целой и дробной частей, где «целая часть» относится к или соответственно. Эти два определения функции дробной части также обеспечивают идемпотентность .${\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$

Дробная часть, определяемая через отличие от ⌊ ⌋ , обычно обозначается фигурными скобками :

${\displaystyle \{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .}$

Его диапазон - полуоткрытый интервал [0, 1) . Для противоположных чисел дробные части дополняются следующим образом:

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Отношение к непрерывным дробям [ править ]

Каждое действительное число может быть по существу единственным образом представлен в виде непрерывной дроби , а именно в виде суммы его целой части и обратной ее дробной части , которая записывается в виде суммы его целой части и обратной ее дробной части, и так далее.

См. Также [ править ]

• Равнораспределенная последовательность
• Однопараметрическая группа
• Число Писот – Виджаярагхаван
• Значительный
• Факторная группа

Ссылки [ править ]