В математике , А однопараметрическая группа или однопараметрическая подгруппа обычно означает непрерывный гомоморфизм групп
с реальной линии (как аддитивная группа ) к некоторой другой топологической группе . Еслиявляется инъективным тогда, изображение будет подгруппой что изоморфно как аддитивная группа.
Однопараметрические группы были введены Софусом Ли в 1893 году для определения бесконечно малых преобразований . Согласно Ли, бесконечно малое преобразование - это бесконечно малое преобразование однопараметрической группы, которое оно порождает. [1] Именно эти бесконечно малые преобразования порождают алгебру Ли, которая используется для описания группы Ли любой размерности.
Действия группы однопараметрическом на множестве известно как поток . Гладкое векторное поле на многообразии в точке индуцирует локальный поток - однопараметрическую группу локальных диффеоморфизмов, направляющую точки вдоль интегральных кривых векторного поля. Локальный поток векторного поля используется для определения производной Ли тензорных полей вдоль векторного поля.
Примеры
Такие однопараметрические группы имеют фундаментальное значение в теории групп Ли , для которой каждый элемент ассоциированной алгебры Ли определяет такой гомоморфизм, экспоненциальное отображение . В случае матричных групп он задается матричной экспонентой .
Другой важный случай рассматривается в функциональном анализе , гдегруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве . См . Теорему Стоуна об однопараметрических унитарных группах .
В своей монографии « Группы Ли» 1957 года П.М. Кон дает следующую теорему на странице 58:
- Любая связная одномерная группа Ли аналитически изоморфна либо аддитивной группе действительных чисел , или в , аддитивная группа действительных чисел . В частности, любая одномерная группа Ли локально изоморфна .
Физика
В физике однопараметрические группы описывают динамические системы . [2] Кроме того, всякий раз, когда система физических законов допускает однопараметрическую группу дифференцируемых симметрий , по теореме Нётер существует сохраняющаяся величина .
При изучении пространства - времени использование блока гиперболы для калибровки пространственно-временных измерений стало обычным , так как Герман Минковский обсуждали в 1908 году принцип относительности был уменьшен до произвола, диаметр единичного гиперболы был использован для определения миро- линия . Используя параметризацию гиперболы с помощью гиперболического угла , специальная теория относительности предоставила исчисление относительного движения с однопараметрической группой, индексированной по скорости . Быстрота заменяет скорость в кинематики и динамики теории относительности. Поскольку скорость неограничена, однопараметрическая группа, на которой она стоит, некомпактна. Концепция скорости была введена Э. Т. Уиттакером в 1910 году и названа Альфредом Роббом в следующем году. Параметр быстроты равен длине гиперболического версора , концепции девятнадцатого века. Физики-математики Джеймс Кокл , Уильям Кингдон Клиффорд и Александр Макфарлейн использовали в своих трудах эквивалентное отображение декартовой плоскости с помощью оператора., где - гиперболический угол и .
В GL (n, ℂ)
Важный пример в теории групп Ли возникает, когда считается , группа обратимых матрицы со сложными элементами. В этом случае основной результат будет следующим: [3]
- Теорема : предположим является однопараметрической группой. Тогда существует единственный матрица такой, что
- для всех .
Из этого результата следует, что дифференцируема, хотя это не было предположением теоремы. Матрица затем можно восстановить из в виде
- .
Этот результат можно использовать, например, чтобы показать, что любой непрерывный гомоморфизм между матричными группами Ли является гладким. [4]
Топология
Техническая сложность заключается в том, что как подпространство вможет иметь более грубую топологию, чем топология на; это может произойти в тех случаях, когдаинъективно. Подумайте, например, о случае, когдаэто тор , а также строится путем наматывания прямой линии на при нерациональном наклоне.
В этом случае индуцированная топология может не быть стандартной для реальной линии.
Смотрите также
- Интегральная кривая
- Однопараметрическая полугруппа
- Теорема Нётер
Рекомендации
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- ^ Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen , английский перевод Д. Д. Делфениха, § 8, ссылка из неоклассической физики
- ^ Zeidler, E. (1995) Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения Springer-Verlag
- ^ Холл 2015 Теорема 2.14
- ^ Холл 2015 Следствие 3.50