Versor

В математике , А versor является кватернионами из нормы одного (а блок кватернионы ).

Каждый версор имеет вид

{\ displaystyle q = \ exp (a \ mathbf {r}) = \ cos a + \ mathbf {r} \ sin a, \ quad \ mathbf {r} ^ {2} = - 1, \ quad a \ in [0 ,\число Пи ],}

где условие r ² = −1 означает, что r является кватернионом вектора единичной длины (или что первая компонента r равна нулю, а последние три компонента r являются единичным вектором в 3 измерениях). В случае a = π / 2 версор называется правым версором .

Соответствующее трехмерное вращение имеет угол 2 a вокруг оси r в ось-угловом представлении .

Слово происходит от латинского versare = "повернуть" с суффиксом -или, образующим существительное от глагола (т.е. versor = "токарь"). Он был введен Уильямом Роуэном Гамильтоном в контексте его теории кватернионов.

Презентация по 3-м и 2-м сферам [ править ]

дуга AB + дуга BC = дуга AC

Гамильтон обозначал версор кватерниона q символом U q . Затем он смог отобразить общий кватернион в форме полярных координат.

q = T q U q ,

где T q - норма q . Норма версора всегда равна единице; следовательно , они занимают блок 3-сферы в H . Примеры версоров включают восемь элементов группы кватернионов . Особое значение имеют правые версоры , имеющие угол π / 2 . Эти версоры имеют нулевую скалярную часть, как и векторы длины один (единичные векторы). Правые версоры образуют сферу квадратных корней из −1 в алгебре кватернионов. Генераторы i , j и k являются примерами правых версоров, а также ихаддитивные обратные . Другие версоры включают двадцать четыре кватерниона Гурвица, которые имеют норму 1 и образуют вершины 24-клеточного полихорона.

Гамильтон определил кватернион как частное двух векторов. Версор можно определить как частное двух единичных векторов. Для любой фиксированной плоскости Π отношение двух единичных векторов, лежащих в, зависит только от угла (направленного) между ними, такого же a, что и в представлении единичного вектора-угла для версора, объясненного выше. Поэтому естественно понимать соответствующие версоры как направленные дуги, которые соединяют пары единичных векторов и лежат на большом круге, образованном пересечением Π с единичной сферой , где плоскость Π проходит через начало координат. Дуги одного направления и длины (или одинакового угла в радианах)) эквивалентны , т.е. определяют один и тот же версор.

Такая дуга, хотя и находится в трехмерном пространстве , не представляет собой траекторию вращения точки, как описано с зажатым продуктом с версором. В самом деле, он представляет собой левое умножение версора на кватернионы, которое сохраняет плоскость Π и соответствующий большой круг 3-векторов. Трехмерное вращение, определяемое версором, имеет угол, в два раза превышающий угол наклона дуги, и сохраняет ту же плоскость. Это поворот вокруг соответствующего вектора r , перпендикулярного Π.

Гамильтон пишет о трех единичных векторах ^[1]

{\ Displaystyle д = \ бета: \ альфа = OB: OA \}

и

{\ displaystyle q '= \ gamma: \ beta = OC: OB}

подразумевать

{\ displaystyle q'q = \ gamma: \ alpha = OC: OA.}

Умножение кватернионов нормы один соответствует (некоммутативному) «сложению» дуг большого круга на единичной сфере. Любая пара больших окружностей либо одна, либо имеет две точки пересечения . Следовательно, всегда можно переместить точку B и соответствующий вектор в одну из этих точек так, чтобы начало второй дуги совпадало с концом первой дуги.

Уравнение

{\ Displaystyle \ ехр (с \ mathbf {г}) \ ехр (а \ mathbf {s}) = \ ехр (Ь \ mathbf {т}) \!}

неявно задает представление единичного вектора и угла для произведения двух версоров. Его решение является примером общей формулы Кэмпбелла – Бейкера – Хаусдорфа в теории групп Ли . Поскольку 3-сфера, представленная версорами в, является 3-параметрической группой Ли, практика с композициями версоров является шагом в теории Ли . Очевидно, версоры - это изображение экспоненциального отображения, примененного к шару радиуса π в кватернионном подпространстве векторов.

Версоры составляют вышеупомянутые векторные дуги, и Гамильтон называл эту групповую операцию «суммой дуг», но как кватернионы они просто умножаются.

Геометрия эллиптического пространства описывается как пространство версоров. ^[2]

Представление SO (3) [ править ]

Ортогональная группа в трех измерениях, группа вращений SO (3) , часто интерпретируется с versors через внутренний автоморфизм , где U представляет собой versor. Действительно, если ${\ displaystyle q \ mapsto u ^ {- 1} qu}$

{\ Displaystyle и = \ ехр (ар)}

а вектор s перпендикулярен r ,

тогда

{\ Displaystyle и ^ {- 1} су = s \ cos 2a + sr \ sin 2a}

по расчету. ^[3] Плоскость изоморфна C, и внутренний автоморфизм по коммутативности сводится к тождественному отображению там. Так как кватернионы можно интерпретировать как алгебра двух комплексных размеров, вращение действия можно также рассматривать через специальной унитарной группы SU (2) . ${\ displaystyle \ {x + yr: x, y \ in R \} \ подмножество H}$

При фиксированном r версоры вида exp ( a r ), где a ∈ $(-π, π]$ , образуют подгруппу, изоморфную группе окружности . Орбиты действия левого умножения этой подгруппы являются слоями расслоения над 2-сфера, известная как расслоение Хопфа в случае r = i ; другие векторы дают изоморфные, но не идентичные расслоения. В 2003 году Дэвид В. Лайонс ^[4] написал, что «слои отображения Хопфа являются окружностями в S ^3."(стр. 95). Лайонс дает элементарное введение в кватернионы, чтобы пояснить расслоение Хопфа как отображение на единичные кватернионы.

Версоры использовались для представления вращений сферы Блоха с умножением кватернионов. ^[5]

Эллиптическое пространство [ править ]

Возможности версоров иллюстрируют эллиптическую геометрию , в частности эллиптическое пространство , трехмерную область вращений. Версоры - это точки этого эллиптического пространства, хотя они относятся к поворотам в 4-мерном евклидовом пространстве . Для двух фиксированных версоров u и v отображение является эллиптическим движением . Если один из фиксированных версоров равен 1, то движение является переводом Клиффорда эллиптического пространства, названного в честь Уильяма Кингдона Клиффорда, который был сторонником этого пространства. Эллиптическая линия, проходящая через versor u - Параллелизм в пространстве выражается как $q\mapsto uqv$ $\{ue^{ar}:0\leq a<\pi \}.$ Параллели Клиффорда . Один из методов просмотра эллиптического пространства использует преобразование Кэли для отображения версоров на ℝ ³

Гиперболический версор [ править ]

Гиперболический версор - это обобщение кватернионных версоров на неопределенные ортогональные группы , такие как группа Лоренца . Он определяется как количество в форме

\exp(ar)=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a

куда

\mathbf {r} ^{2}=+1.

Такие элементы возникают в алгебрах смешанной сигнатуры , например, расщепленные комплексные числа или расщепленные кватернионы . Именно алгебра тессаринов, открытая Джеймсом Коклом в 1848 году, впервые предоставила гиперболические версии. Фактически, Джеймс Кокл написал вышеупомянутое уравнение (с $j$ вместо $r$ ), когда обнаружил, что тессарины включают новый тип воображаемого элемента.

Этот вариант был использован Гомершем Коксом (1882/83) применительно к умножению кватернионов. ^[6]^[7] Главным представителем гиперболических версоров был Александр Макфарлейн, когда он работал над формированием теории кватернионов, служащей физической науке. ^[8] Он увидел силу моделирования гиперболических версоров, работающих на плоскости комплексных чисел с расщепленными числами, и в 1891 году он ввел гиперболические кватернионы, чтобы расширить концепцию до 4- мерного пространства. Проблемы в этой алгебре привели к использованию бикватернионов после 1900 года. В широко распространенном обзоре 1899 года Макфарлейн сказал:

… Корень квадратного уравнения может быть версором по природе или скалярным. Если по своей природе он противоположен, то часть, на которую воздействует радикал, включает ось, перпендикулярную плоскости отсчета, и это так, независимо от того, включает ли радикал квадратный корень из минус единицы или нет. В первом случае версор круглый, во втором - гиперболический. ^[9]

Сегодня концепция однопараметрической группы включает концепции версора и гиперболического версора, поскольку терминология Софуса Ли заменила терминологию Гамильтона и Макфарлейна. В частности, для каждого $r$ такого, что $rr$ = +1 или $rr$ = −1 , отображение переводит вещественную прямую в группу гиперболических или обычных версоров. В обычном случае, когда $r$ и - $r$ - антиподы на сфере, однопараметрические группы имеют одинаковые точки, но противоположно направлены. В физике этот аспект вращательной симметрии называется дублетом. $a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )$ .

В 1911 году Альфред Робб опубликовал свою « Оптическую геометрию движения», в которой он определил скорость параметра, определяющую изменение системы отсчета . Этот параметр скорости соответствует действительной переменной в однопараметрической группе гиперболических версоров. С дальнейшим развитием специальной теории относительности действие гиперболического версора стало называться бустом Лоренца .

Теория лжи [ править ]

Софусу Ли было меньше года, когда Гамильтон впервые описал кватернионы, но имя Ли стало ассоциироваться со всеми группами, порожденными возведением в степень. Множество версоров с их умножением Роберт Гилмор в своем тексте по теории Ли обозначил Sl (1, q). ^[10] Sl (1, q) - это специальная линейная группа одного измерения над кватернионами, «особая», указывающая, что все элементы имеют норму один. Группа изоморфна SU (2, c), специальной унитарной группе , часто используемому обозначению, поскольку кватернионы и версоры иногда считаются анахронизмом для теории групп. Специальная ортогональная группа SO (3, г) вращений в трех измерениях тесно связано: это 2: 1 гомоморфным SU (2, с).

Подпространство называется алгеброй Ли группы версоров. Коммутаторное произведение просто удваивает перекрестное произведение двух векторов, образует умножение в алгебре Ли. Тесная связь с SU (1, c) и SO (3, r) очевидна в изоморфизме их алгебр Ли. ^[10] $\{xi+yj+zk:x,y,z\in R\}\subset H$ $[u,v]=uv-vu\ ,$

Группы Ли, содержащие гиперболические версоры, включают группу на единичной гиперболе и специальную унитарную группу SU (1,1) .

См. Также [ править ]

цис (математика) ( $цис (x) = cos (x) + i sin (x)$ )
Кватернионы и пространственное вращение
Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве
Поворот (геометрия)

Заметки [ править ]

^ Элементы кватернионов , 2-е издание, т. 1, стр. 146
^ Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1950) Обзор «Кватернионов и эллиптического пространства» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} ( Жоржем Лемэтром ) из « Математических обзоров»
^ Представление вращения
^ Lyons, David W. (апрель 2003), "Элементарный Введение в Хопфа Расслоение" ( PDF ) , математический журнал , 76 (2): 87-98, CiteSeerX 10.1.1.583.3499 , DOI : 10,2307 / 3219300 , ISSN 0025-570X , JSTOR 3219300
^ KB Уортон, Д. Кох (2015) "единичные кватернионы и Блохи Сфера", журнал физика 48 (23) DOI : 10,1088 / 1751-8113 / 48/23/235302 МРА 3355237
^ Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства» . Труды Кембриджского философского общества . 13 : 69–143.
^ Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства» . Proc. Camb. Фил. Soc . 4 : 194–196.
^ Александр Макфарлейн (1894) Статьи по анализу пространства , особенно статьи № 2, 3 и 5, Б. Вестерман, Нью-Йорк, веб-ссылка с archive.org
^ Наука , 9: 326 (1899)
^ a b Роберт Гилмор (1974) Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения , глава 5: Некоторые простые примеры, страницы 120–35, Wiley ISBN 0-471-30179-5 Гилмор обозначает действительное, комплексное и кватернионное деление алгебры r, c и q, а не более распространенные R, C и H.

Ссылки [ править ]

Уильям Роуэн Гамильтон (1844–1850) О кватернионах или новой системе воображаемых в алгебре , Philosophical Magazine , ссылка на коллекцию Дэвида Р. Уилкинса в Тринити-колледже в Дублине .
Уильям Роуэн Гамильтон (1899) Элементы кватернионов , 2-е издание, отредактированный Чарльзом Джаспером Джоли, Longmans Green & Company. См. Стр. 135–147.
Артур Шерберн Харди (1887) Элементы кватернионов , стр. 71,2 «Представление версоров сферическими дугами» и стр. 112–8 «Приложения к сферической тригонометрии».
Артур Стаффорд Хэтэуэй (1896) Букварь по кватернионам , глава 2: повороты, вращения, шаги по дуге, из проекта Гутенберг
Сибель Селестино Силва, Роберто де Андраде Мартинс (2002) «Полярные и аксиальные векторы против кватернионов», Американский журнал физики 70: 958. Раздел IV: Версоры и унитарные векторы в системе кватернионов. Раздел V: Версор и унитарные векторы в векторной алгебре.
Питер Моленбрук (1891) Theorie der Quaternionen , Seite 48, "Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel", Лейден: Brill.

Внешние ссылки [ править ]

Версор в энциклопедии математики .
http://www.biology-online.org/dictionary/versor
http://www.thefreedictionary.com/Versor
Учебное пособие Луиса Ибаньеса Кватерниона из Национальной медицинской библиотеки

[1] Элементы кватернионов , 2-е издание, т. 1, стр. 146

[2] Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1950) Обзор «Кватернионов и эллиптического пространства» ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} ( Жоржем Лемэтром ) из « Математических обзоров»

[3] Представление вращения

[4] Lyons, David W. (апрель 2003), "Элементарный Введение в Хопфа Расслоение" ( PDF ) , математический журнал , 76 (2): 87-98, CiteSeerX 10.1.1.583.3499 , DOI : 10,2307 / 3219300 , ISSN 0025-570X , JSTOR 3219300

[5] KB Уортон, Д. Кох (2015) "единичные кватернионы и Блохи Сфера", журнал физика 48 (23) DOI : 10,1088 / 1751-8113 / 48/23/235302 МРА 3355237

[6] Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства» . Труды Кембриджского философского общества . 13 : 69–143.

[7] Кокс, Х. (1883) [1882]. «О применении кватернионов и Ausdehnungslehre Грассмана к различным видам однородного пространства» . Proc. Camb. Фил. Soc . 4 : 194–196.

[8] Александр Макфарлейн (1894) Статьи по анализу пространства , особенно статьи № 2, 3 и 5, Б. Вестерман, Нью-Йорк, веб-ссылка с archive.org

[9] Наука , 9: 326 (1899)

[RG-10] Роберт Гилмор (1974) Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения , глава 5: Некоторые простые примеры, страницы 120–35, Wiley ISBN 0-471-30179-5 Гилмор обозначает действительное, комплексное и кватернионное деление алгебры r, c и q, а не более распространенные R, C и H.

[1]