Уильям Роуэн Гамильтон изобрел кватернионы , математическую сущность в 1843 году. В этой статье описывается оригинальная трактовка кватернионов Гамильтоном с использованием его обозначений и терминов. Трактовка Гамильтона более геометрическая, чем современный подход, который подчеркивает алгебраические свойства кватернионов . Математически обсуждаемые кватернионы отличаются от современного определения только используемой терминологией.
Классические элементы кватерниона
Гамильтон определил кватернион как частное двух направленных прямых в трехмерном пространстве; [1] или, в более общем смысле, как частное двух векторов. [2]
Кватернион можно представить как сумму скаляра и вектора . Его также можно представить как произведение его тензора и его версора .
Скалярный
Гамильтон изобрел термин скаляры для действительных чисел , потому что они охватывают «шкалу прогрессии от положительной бесконечности к отрицательной» [3] или потому, что они представляют «сравнение позиций на одной общей шкале». [4] Гамильтон считал обычную скалярную алгебру наукой о чистом времени. [5]
Вектор
Гамильтон определил вектор как «прямую линию ... имеющую не только длину, но и направление». [6] Гамильтон получил слово вектор от латинского vehere , чтобы нести. [7]
Гамильтон задумал вектор как «разность двух его крайних точек». [6] Для Гамильтона вектор всегда был трехмерным объектом, имеющим три координаты относительно любой заданной системы координат, включая, помимо прочего, полярные и прямоугольные системы. [8] Поэтому он назвал векторы «тройками».
Гамильтон определил сложение векторов в геометрических терминах, поместив начало второго вектора в конец первого. [9] Он продолжил определение вычитания векторов.
Добавляя вектор к самому себе несколько раз, он определил умножение вектора на целое число , затем расширил это до деления на целое число и умножения (и деления) вектора на рациональное число. Наконец, взяв пределы, он определил результат умножения вектора α на любой скаляр x как вектор β с тем же направлением, что и α, если x положителен; направление, противоположное α, если x отрицательно; и длина, равная | х | умноженное на длину α. [10]
Фактор из двух параллельных , следовательно , или анти-параллельных векторов является скаляром с абсолютным значением , равным отношению длин двух векторов; скаляр положительный, если векторы параллельны, и отрицательный, если они антипараллельны. [11]
Единичный вектор
Единичный вектор представляет собой вектор длину одного. Примеры единичных векторов включают i, j и k.
Тензор
- Примечание: использование слова « тензор » Гамильтоном не совпадает с современной терминологией. Тензор Гамильтона на самом деле является абсолютным значением алгебры кватернионов, что делает ее нормированным векторным пространством .
Гамильтон определил тензор как положительную числовую величину или, точнее, беззнаковое число. [12] [13] [14] Тензор можно рассматривать как положительный скаляр. [15] «Тензор» можно представить как «фактор растяжения». [16]
Гамильтон ввел термин тензор в свою первую книгу «Лекции по кватернионам», основанные на лекциях, которые он прочитал вскоре после изобретения кватернионов:
- кажется удобным по определению расширить значение нового слова «тензор», чтобы сделать его способным включать также те другие случаи, в которых мы оперируем строкой, уменьшая, а не увеличивая ее длину; и обычно изменяя эту длину в любом определенном соотношении. Таким образом, у нас будет (как было намечено в конце рассматриваемой статьи) дробные и даже несоизмеримые тензоры, которые будут просто числовыми множителями, и все они будут положительными или (точнее говоря) беззнаковыми числами , то есть не облаченными в алгебраические знаки положительного и отрицательного ; потому что в рассматриваемой здесь операции мы абстрагируемся от направлений (а также от ситуаций) линий, которые сравниваются или обрабатываются.
У каждого кватерниона есть тензор, который является мерой его величины (точно так же, как длина вектора является мерой величины вектора). Когда кватернион определяется как отношение двух векторов, его тензор является отношением длин этих векторов.
Versor
Версор - это кватернион с тензором 1. В качестве альтернативы версор можно определить как частное двух векторов одинаковой длины. [17] [18]
Как правило, версор определяет все следующее: ось направления; плоскость, нормальная к этой оси; и угол поворота. [19]
Когда версор и вектор, лежащий в плоскости версора, умножаются, результатом является новый вектор той же длины, но повернутый на угол версора.
Векторная дуга
Поскольку каждый единичный вектор можно рассматривать как точку на единичной сфере , и поскольку версор можно рассматривать как частное двух векторов, у версора есть репрезентативная дуга большого круга , называемая векторной дугой , соединяющей эти две точки, извлекается из делимого или нижней части частного к делимому или верхней части частного. [20] [21]
Правый противник
Когда дуга версора имеет величину прямого угла , тогда она называется прямым версором , прямым радиальным или квадрантным версором .
Вырожденные формы
Есть два особых случая вырожденных версоров, называемых единичными скалярами. [22] Эти два скаляра (отрицательная и положительная единица) можно рассматривать как скалярные кватернионы . Эти два скаляра являются частными предельными случаями, соответствующими версорам с углами, равными нулю или π.
В отличие от других версоров, эти два не могут быть представлены уникальной дугой. Дуга 1 - это одна точка, а –1 может быть представлено бесконечным числом дуг, потому что существует бесконечное количество кратчайших линий между противоположными точками сферы.
Кватернион
Каждый кватернион можно разложить на скаляр и вектор.
Эти две операции S и V называются "взять скаляр" и "взять вектор" кватерниона. Векторная часть кватерниона также называется правой частью. [23]
Каждый кватернион равен версору, умноженному на тензор кватерниона. Обозначая вариант кватерниона
а тензор кватерниона равен
у нас есть
Правый кватернион
Правый кватернион - это кватернион, скалярная компонента которого равна нулю,
Угол прямого кватерниона составляет 90 градусов. Правый кватернион также можно рассматривать как вектор плюс нулевой скаляр. Правые кватернионы могут быть представлены в так называемой стандартной трехчленной форме. Например, если Q - правый кватернион, он может быть записан как:
Четыре операции
Четыре операции имеют фундаментальное значение в кватернионной нотации. [25]
- + - ÷ ×
В частности, важно понимать, что существует одна операция умножения, одна операция деления и отдельные операции сложения и вычитания. Этот единственный оператор умножения может работать с любыми типами математических объектов. Точно так же любой тип объекта может быть разделен, добавлен или вычтен из любого другого типа объекта. Понимание значения символа вычитания имеет решающее значение в теории кватернионов, поскольку оно приводит к пониманию концепции вектора.
Порядковые операторы
Двумя порядковыми операциями в классической нотации кватернионов были сложение и вычитание или + и -.
Эти знаки:
«... характеристики синтеза и анализа состояния развития, в зависимости от того, считается ли это состояние производным от какого-либо другого состояния этого прогресса или сравнивается с ним». [26]
Вычитание
Вычитание - это тип анализа, называемый порядковым анализом [27]
... пусть теперь пространство будет рассматриваться как поле прогрессии, которое необходимо изучить, а ТОЧКИ - как состояния этой прогрессии. ... Меня заставляют рассматривать слово «Минус» или знак - в геометрии как знак или характеристику анализа одного геометрического положения (в пространстве) по сравнению с другим (таким) положением. Сравнение одной математической точки с другой с целью определения того, что можно назвать их порядковым отношением или их относительным положением в пространстве ... [28]
Первый пример вычитания - взять точку A, чтобы представить землю, и точку B, чтобы представить солнце, затем стрелка, проведенная от A к B, представляет акт движения или движения от A к B.
- Б - А
это представляет собой первый пример вектора в лекциях Гамильтона. В этом случае акт путешествия с Земли на Луну. [29] [30]
Добавление
Сложение - это тип анализа, называемый порядковым синтезом. [31]
Сложение векторов и скаляров
Можно добавлять векторы и скаляры. Когда к скаляру добавляется вектор, создается совершенно другая сущность, кватернион.
Вектор плюс скаляр всегда является кватернионом, даже если скаляр равен нулю. Если скаляр, добавленный к вектору, равен нулю, то созданный новый кватернион называется правым кватернионом. Он имеет характерный угол 90 градусов.
Кардинальные операции
Две основные операции [32] в кватернионной нотации - это геометрическое умножение и геометрическое деление, и их можно записать так:
- ÷, ×
Чтобы использовать деление и умножение, не требуется изучать следующие более сложные термины.
Деление - это разновидность анализа, называемого кардинальным анализом. [33] Умножение - это своего рода синтез, называемый кардинальным синтезом [34]
Разделение
Классически кватернион рассматривался как отношение двух векторов, иногда называемое геометрической дробью.
Если OA и OB представляют два вектора, проведенных из начала O в две другие точки A и B, то геометрическая дробь была записана как
В качестве альтернативы, если два вектора представлены как α и β, частное было записано как
или же
Гамильтон утверждает: «Частное двух векторов обычно является кватернионом». [35] В лекциях по кватернионам также впервые вводится понятие кватерниона как отношения двух векторов:
Логически и по определению [36] [37]
если
тогда .
В исчислении Гамильтона произведение не коммутативно , т. Е. Порядок переменных имеет большое значение. Если бы порядок q и β был изменен на противоположный, результатом, как правило, не было бы α. Кватернион q можно рассматривать как оператор, который преобразует β в α, сначала вращая его, что раньше было актом версии, а затем изменяя его длину, что раньше называлось актом напряжения .
Кроме того, по определению , отношение двух векторов равно в числителе раз взаимный в знаменателе . Поскольку умножение векторов не коммутативно, порядок в следующем выражении изменить нельзя.
Опять же порядок двух величин в правой части имеет значение.
Харди представляет определение деления в терминах правил мнемонической отмены. «Отмена выполнения движением вверх правой рукой». [38]
Если альфа и бета - векторы, а q - кватернион такой, что
тогда
а также [39]
- а также являются обратными операциями, такими что:
- а также [40]
а также
- [41]
Важный способ представить q - это оператор, который преобразует β в α, сначала вращая его ( версия ), а затем изменяя его длину (натяжение).
- [42]
Деление единичных векторов i , j , k
Результаты использования оператора деления для i , j и k были следующими. [43]
Обратная величина единичного вектора - это обратный вектор. [44]
Поскольку единичный вектор и его обратная величина параллельны друг другу, но указывают в противоположных направлениях, произведение единичного вектора и его обратной величины имеет особый случай коммутативности, например, если a - любой единичный вектор, то: [45]
Однако в более общем случае, включающем более одного вектора (независимо от того, является ли он единичным вектором), свойство коммутативности не выполняется. [46] Например:
- ≠
Это потому, что k / i тщательно определяется как:
- .
Чтобы:
- ,
тем не мение
Деление двух параллельных векторов
Хотя в общем случае частное двух векторов является кватернионом, если α и β - два параллельных вектора, то частное этих двух векторов является скаляром. Например, если
,
а также тогда
Где a / b - скаляр. [47]
Деление двух непараллельных векторов
Частное двух векторов, как правило, представляет собой кватернион:
Где α и β - два непараллельных вектора, φ - угол между ними, а ε - единичный вектор, перпендикулярный плоскости векторов α и β, направление которого задается стандартным правилом правой руки. [48]
Умножение
Классическая нотация кватернионов имела только одно понятие умножения. Умножение двух действительных чисел, двух мнимых чисел или действительного числа на мнимое число в классической системе обозначений было той же операцией.
Умножение скаляра и вектора выполнялось с помощью одного и того же единственного оператора умножения; умножение двух векторов кватернионов использовало ту же операцию, что и умножение кватерниона и вектора или двух кватернионов.
Фактор, фактор и факт
- Фактор × лицо = факт [49]
Когда две величины перемножаются, первая величина называется коэффициентом [50], вторая величина называется фактом, а результат - фактом.
Распределительный
В классических обозначениях умножение было распределительным . Понимание этого позволяет легко понять, почему произведение двух векторов в классической нотации дает кватернион.
Используя таблицу умножения кватернионов, мы имеем:
Затем собираем термины:
Первые три члена являются скаляром.
Сдача
Таким образом, произведение двух векторов является кватернионом и может быть записано в виде:
Произведение двух правых кватернионов
Произведение двух правых кватернионов обычно является кватернионом.
Пусть α и β - правые кватернионы, полученные в результате взятия векторов двух кватернионов:
Их продукт в целом представляет собой новый кватернион, представленный здесь r. Этот продукт не является двусмысленным, потому что в классической записи есть только одно произведение.
Как и все кватернионы, теперь можно разложить r на векторную и скалярную части.
Члены справа называются скаляром произведения и вектором произведения [51] двух правых кватернионов.
- Примечание: «Скаляр произведения» соответствует евклидову скалярному произведению двух векторов с точностью до изменения знака (умножение на -1).
Подробнее о других операторах
Скалярный и векторный
Двумя важными операциями в двух классической системе обозначений кватернионов были S (q) и V (q), что означало взять скалярную часть и взять мнимую часть того, что Гамильтон называл векторной частью кватерниона. Здесь S и V - операторы, действующие на q. Скобки можно опускать в такого рода выражениях без двусмысленности. Классическая нотация:
Здесь q - кватернион. S q - скаляр кватерниона, а V q - вектор кватерниона.
Конъюгировать
K - сопряженный оператор. Сопряжение кватерниона - это кватернион, полученный путем умножения векторной части первого кватерниона на минус один.
Если
тогда
- .
Выражение
- ,
означает, присвоить кватерниону r значение, сопряженное с кватернионом q.
Тензор
T - тензорный оператор. Он возвращает своего рода число, называемое тензором .
Тензор положительного скаляра и есть этот скаляр. Тензор отрицательного скаляра - это абсолютное значение скаляра (т. Е. Без отрицательного знака). Например:
Тензор вектора - это по определению длина вектора. Например, если:
потом
Тензор единичного вектора равен единице. Поскольку версор вектора является единичным вектором, тензор версора любого вектора всегда равен единице. Символически:
- [52]
Кватернион по определению является частным двух векторов, а тензор кватерниона по определению является частным тензоров этих двух векторов. В символах:
- [53]
Из этого определения можно показать, что полезная формула для тензора кватерниона : [54]
Из этого определения также можно доказать, что другая формула для получения тензора кватерниона берется из общей нормы, определяемой как произведение кватерниона и его сопряженного элемента. Квадратный корень из общей нормы кватерниона равен его тензору.
Полезное тождество состоит в том, что квадрат тензора кватерниона равен тензору квадрата кватерниона, поэтому скобки можно опустить. [55]
Кроме того, тензоры сопряженных кватернионов равны. [56]
Тензор кватерниона теперь называется его нормой .
Ось и угол
Взяв угол нескалярного кватерниона, мы получили значение больше нуля и меньше π. [57] [58]
Когда нескалярный кватернион рассматривается как частное двух векторов, тогда ось кватерниона представляет собой единичный вектор, перпендикулярный плоскости двух векторов в этом исходном частном, в направлении, заданном правилом правой руки. [59] Угол - это угол между двумя векторами.
В символах
Взаимный
Если
то его обратная величина определяется как
Выражение:
У обратных величин есть много важных приложений, [60] [61] например вращения , особенно когда q является версором. У Versor есть простая формула для его взаимности. [62]
На словах обратная величина от версора равна сопряженной с ней. Точки между операторами показывают порядок операций, а также помогают указать, что, например, S и U - это две разные операции, а не одна операция с именем SU.
Общая норма
Произведение кватерниона с его сопряженным элементом является его общей нормой. [63]
Операция взятия общей нормы кватернион представлена буквой N . По определению общая норма - это произведение кватерниона на сопряженный с ним. Можно доказать [64] [65], что общая норма равна квадрату тензора кватерниона. Однако это доказательство не является определением. Гамильтон дает точные независимые определения как общей нормы, так и тензора. Эта норма была принята, как предполагается из теории чисел, однако, по словам Гамильтона, «они не будут часто нужны». Тензор обычно более полезен. Слово « норма» не встречается в « Лекциях по кватернионам» и только дважды в оглавлении « Элементов кватернионов» .
В символах:
Общая норма версора всегда равна положительной единице. [66]
Бикватернионы
Геометрически действительные и геометрически мнимые числа
В классической кватернионной литературе уравнение
считалось, что имеет бесконечно много решений, которые назывались геометрически реальными . Эти решения представляют собой единичные векторы, образующие поверхность единичной сферы.
Геометрический реальные кватернионы является тот , который может быть записан в виде линейной комбинации I , J и K , таким образом, что квадраты коэффициентов добавить к одному. Гамильтон продемонстрировал, что у этого уравнения должны быть дополнительные корни в дополнение к геометрически действительным корням. Учитывая существование мнимого скаляра, можно записать ряд выражений и дать им имена собственные. Все они были частью первоначального исчисления кватернионов Гамильтона. В символах:
где q и q ′ - действительные кватернионы, а квадратный корень из минус единицы является мнимым из обычной алгебры и называются мнимыми или символическими корнями [67], а не геометрически действительной векторной величиной.
Воображаемый скаляр
Геометрически мнимые величины являются дополнительными корнями приведенного выше уравнения чисто символического характера. В статье 214 « Элементов» Гамильтон доказывает, что если есть i, j и k, то должна быть и другая величина h, которая является мнимым скаляром, что, как он заметил, должно было уже прийти в голову любому, кто внимательно прочитал предыдущие статьи. [68] Статья 149 Элементов посвящена геометрически мнимым числам и включает сноску, в которой вводится термин бикватернион . [69] Термины мнимое в обычной алгебре и скалярное мнимое иногда используются для этих геометрически мнимых величин.
Геометрически мнимые корни уравнения интерпретировались в классическом мышлении как геометрически невозможные ситуации. Статья 214 элементов кватернионов исследует пример уравнения прямой и окружности, которые не пересекаются, как показано уравнением, имеющим только геометрически воображаемый корень. [70]
В более поздних работах Гамильтона он предложил использовать букву h для обозначения мнимого скаляра [71] [72] [73]
Бикватернион
На странице 665 « Элементов кватернионов» Гамильтон определяет бикватернион как кватернион с комплексными числовыми коэффициентами. Скалярная часть бикватерниона представляет собой комплексное число, называемое бискаларом . Векторная часть бикватерниона - это бивектор, состоящий из трех сложных компонентов. Бикватернионы представляют собой комплексификацию исходных (реальных) кватернионов.
Другие двойные кватернионы
Гамильтон изобрел термин ассоциативный, чтобы различать мнимый скаляр (известный теперь как комплексное число ), который является коммутативным и ассоциативным, и четырьмя другими возможными корнями отрицательной единицы, которые он обозначил L, M, N и O, кратко упомянув их в приложение B к лекциям по кватернионам и в частных письмах. Однако неассоциативные корни минус единицы не появляются в Elements of Quaternions . Гамильтон умер до того, как работал [ необходимо разъяснение ] над этими странными существами. Его сын утверждал, что это «луки, предназначенные для рук другого Улисса». [74]
Смотрите также
- Конструкция Кэли-Диксона
- Октонионы
- Теорема Фробениуса
Сноски
- ^ Гамильтон 1853 стр. 60 в Google Книгах
- ^ Харди 1881 стр. 32 в Google Книгах
- ↑ Гамильтон, в журнале Philosophical , цитируется в OED .
- ↑ Гамильтон (1866) Книга I Глава II Статья 17 в Google Книгах
- ↑ Гамильтон 1853, стр. 2, абзац 3 введения. Ссылается на его раннюю статью «Алгебра как наука чистого времени». в Google Книгах
- ^ a b Гамильтон (1866) Книга I Глава I Статья 1 в Google Книгах
- ^ Hamilton (1853) Лекция I Статья 15, введение термина вектора, из vehere в Google Книги
- ^ Гамильтон (1853) Лекция I Вектор статьи 17 является естественным триплетом в Google Книгах
- ^ Hamilton (1866) Книга I Глава I Статья 6 в Google Книги
- ↑ Гамильтон (1866) Книга I Глава I Статья 15 в Google Книгах
- ↑ Гамильтон (1866) Книга I Глава II Статья 19 в Google Книгах
- ^ Гамильтон 1853 стр. 57 в Google Книгах
- ↑ Hardy 1881, стр. 5, в Google Книгах
- ^ Tait 1890 стр. 31 объясняет старое определение тензора как положительного числа, данное Гамильтоном в Google Книгах.
- ^ Hamilton 1989 pg 165, называет тензор положительным скаляром. в Google Книгах
- ^ (1890), стр. 32 31 в Google Книгах.
- ↑ Гамильтон, 1898, раздел 8, стр. 133, статья 151. Об отличии кватерниона или вектора и некоторых общих формулах преобразования в Google Книгах.
- ↑ Гамильтон (1899), статья 156, стр. 135, введение термина Versor в Google Книгах.
- ↑ Гамильтон (1899), Раздел 8, статья 151, стр. 133 в Google Книгах
- ↑ Гамильтон, 1898, раздел 9, статья 162, стр. 142 Векторные дуги, рассматриваемые в Google Книгах как представители версий кватернионов.
- ^ (1881), искусство. 49 pg 71-72 71 в Google Книгах
- ^ Элементы кватернионов Статья 147 стр. 130 130 в Google Книгах
- ^ См. Раздел 13 "Элементы кватернионов" на странице 190 в Google Книгах.
- ↑ Гамильтон (1899), Раздел 14, статья 221 на странице 233 в Google Книгах
- ^ Гамильтон 1853 стр. 4 в Google Книгах
- ^ Гамильтон 1853, статья 5, стр. 4-5 в Google Книгах
- ↑ Гамильтон, стр. 33, в Google Книгах
- ^ Гамильтон 1853 стр. 5-6 в Google Книгах
- ^ см. Гамильтон 1853 стр. 8-15 в Google Книгах
- ^ Гамильтон 1853 стр. 15 введение термина вектор как разность между двумя точками. в Google Книгах
- ^ Гамильтон 1853 стр.19 Гамильтон связывает знак плюса с порядковым синтезом в Google Книгах
- ↑ Гамильтон (1853 г.), стр. 35, Гамильтон впервые представляет кардинальные операции в Google Книгах.
- ^ Hamilton Division 1953 pg.36 определяется как кардинальный анализ в Google Книгах
- ^ Гамильтон 1853 стр. 37 в Google Книгах
- ↑ Гамильтон (1899), статья 112, стр. 110 в Google Книгах
- ↑ Hardy (1881), стр. 32 в Google Книгах.
- ↑ Гамильтонские лекции по кватернионам, стр. 37 в Google Книгах
- ^ Элементы кватернионов в Google Книгах
- ^ Соглашения Tait о кватернионах в Google Книгах
- ↑ Гамильтонские лекции по кватернионам, стр. 38 в Google Книгах
- ^ Гамильтон Лекции о кватернионах стр. 41 в Google Книгах
- ↑ Гамильтонские лекции о кватернионах, стр. 42 в Google Книгах
- ^ Харди (1881), страницы 40-41 в Google Книгах
- ^ Харди 1887 стр. 45 формула 29 в Google Книгах
- ^ Харди 1887 стр. 45 формула 30 в Google Книгах
- ^ Харди 1887 стр. 46 в Google Книгах
- ^ Элементы кватернионов, книга первая. в Google Книгах
- ↑ Hardy (1881), стр. 39, статья 25 в Google Книгах.
- ^ Гамильтон 1853 стр. 27 объясняет Factor Faciend и Factum в Google Книгах
- ^ Гамильтон 1898 раздел 103 в Google Книгах
- ^ (1887) скаляр вектора произведения определенного продукта, стр. 57 в Google Книгах.
- ^ Гамильтон 1898 pg164 Тензор версора вектора равен единице. в Google Книгах
- ^ Элементы кватернионов, гл. 11 в Google Книгах
- ↑ Hardy (1881), стр. 65 в Google Книгах.
- ^ Гамильтон 1898 стр. 169 искусство 190 Тензор квадрата - это квадрат тензора в Google Книгах.
- ↑ Гамильтон 1898 стр. 167 арт. 187 уравнение 12 Тензоры сопряженных кватернионов равны в Google Книгах
- ^ "Гамильтон (1853), стр. 164, искусство 148" .
- ↑ Гамильтон (1899), стр. 118 в Google Книгах.
- ↑ Гамильтон (1899), стр. 118 в Google Книгах.
- ^ См. Goldstein (1980), главу 7 для той же функции, записанной в матричной записи.
- ^ «Лоренц преобразовывает Гамильтона (1853), стр. 268 1853» .
- ↑ Харди (1881), стр. 71 в Google Книгах.
- ↑ Гамильтон (1899), стр. 128-129 в Google Книгах.
- ^ См. Сноску внизу страницы, где проверенные слова выделены. в Google Книгах
- ^ См. Гамильтон 1898 стр. 169 арт. 190 за доказательство связи между тензором и общей нормой в Google Книгах.
- ^ Гамильтон 1899 стр. 138 в Google Книгах
- ^ См. Статьи 256 и 257 "Элементы кватернионов" в Google Книгах.
- ^ Статья 214 Hamilton Elements, печально известное замечание ... как уже могло бы прийти в голову любому, кто внимательно прочитал предыдущие статьи в Google Книгах
- ^ Элементы кватернионов Статья 149 в Google Книгах
- ^ См. Элементы статьи 214 кватернионов в Google Книгах.
- ^ Элементы Гамильтона кватернионов стр. 276 Пример обозначения h для мнимого скаляра в Google Книгах
- ^ Hamilton Elements Статья 274 стр. 300 Пример использования обозначения h в Google Книгах
- ↑ Hamilton Elements, статья 274 стр. 300 Пример обозначения h, обозначающего воображаемое в обычной алгебре, в Google Книгах
- ^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1899). Элементы кватернионов . Лондон, Нью-Йорк и Бомбей: Longmans, Green, and Co. с. v.
Рекомендации
- WR Гамильтон (1853), Лекции по кватернионамв Google Книги Дублин: Ходжес и Смит
- WR Гамильтон (1866 г.), Элементы кватернионовв Google Книгах , 2-е издание, под редакцией Чарльза Джаспера Джоли, Longmans Green & Company.
- А.С. Харди (1887), Элементы кватернионов
- PG Tait (1890), Элементарный трактат о кватернионах , Кембридж: CJ Clay and Sons
- Герберт Гольдштейн (1980), Классическая механика , 2-е издание, Библиотека конгресса, каталожный номер QA805.G6 1980