Евклидов вектор

Вектор, указывающий от A к B

В математике , физика и инженерии , в евклидове векторе или просто вектор (иногда называемый геометрический вектор ^[1] или пространственный вектор ^[2] ) представляет собой геометрический объект , который имеет величину (или длину ) и направление . Векторы могут быть добавлены к другим векторам согласно векторной алгебре . Евклидов вектор часто представляется в виде луча ( отрезка прямой с определенным направлением) или графически в виде стрелки, соединяющей начальную точку A с конечной точкой. B , ^[3] и обозначается . ^[4]${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$

Вектор - это то, что нужно, чтобы «перенести» точку А в точку В ; латинское слово « вектор» означает «носитель». ^[5] Впервые он был использован астрономами 18-го века, исследовавшими вращение планет вокруг Солнца. ^[6] Величина вектора представляет собой расстояние между двумя точками, и направление относится к направлению перемещения от A до B . Многие алгебраические операции над действительными числами, такие как сложение , вычитание , умножение и отрицание, имеют близкие аналоги для векторов ^[7]операции, подчиняющиеся известным алгебраическим законам коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности . Эти операции и связанные с ними законы квалифицируют евклидовы векторы как пример более обобщенной концепции векторов, определяемых просто как элементы векторного пространства .

Векторы играют важную роль в физике : скорость и ускорение движущегося объекта, а также силы, действующие на него, можно описать векторами. ^[8] Многие другие физические величины можно рассматривать как векторы. Хотя большинство из них не представляют расстояния (за исключением, например, положения или смещения ), их величина и направление могут быть представлены длиной и направлением стрелки. Математическое представление физического вектора зависит от системы координатиспользовал, чтобы описать это. Другие векторные объекты, которые описывают физические величины и трансформируются аналогичным образом при изменении системы координат, включают псевдовекторы и тензоры . ^[9]

История [ править ]

Концепция вектора, как мы ее знаем сегодня, развивалась постепенно в течение более 200 лет. Существенный вклад в ее развитие внесли около десятка человек. ^[10]

В 1835 году Джусто Беллавитис абстрагировался от основной идеи, создав концепцию равноправия . Работая на евклидовой плоскости, он сделал равноправными любую пару отрезков прямой одинаковой длины и ориентации. По сути, он реализовал отношение эквивалентности на парах точек (бипоинтах) на плоскости и, таким образом, построил первое пространство векторов на плоскости. ^{[10] : 52–4}

Термин вектор был введен William Rowan Hamilton как часть кватернион , которая является суммой Q = ев + v о наличии действительного числа сек (также называется скаляр ) и 3-мерный вектор . Как и Беллавитис, Гамильтон рассматривал векторы как представители классов равноправных направленных сегментов. Как комплексные числа использовать мнимую единицу в дополнении к реальной линии , Гамильтон рассматривал вектор V быть мнимой частью кватерниона:

Алгебраически мнимая часть, геометрически построенная из прямой линии или радиус-вектора, которая, как правило, для каждого определенного кватерниона имеет определенную длину и определенное направление в пространстве, может быть названа векторной частью или просто вектором кватернион. ^[11]

Несколько других математиков разработали векторные системы в середине девятнадцатого века, включая Огюстена Коши , Германа Грассмана , Августа Мёбиуса , графа де Сен-Венана и Мэтью О'Брайена . Работа Грассмана 1840 года Theorie der Ebbe und Flut (Теория приливов и отливов) была первой системой пространственного анализа, которая похожа на сегодняшнюю систему и содержала идеи, соответствующие перекрестному произведению, скалярному произведению и векторному дифференцированию. Работы Грассмана в значительной степени игнорировались до 1870-х годов. ^[10]

Питер Гатри Тейт нес кватернионный стандарт после Гамильтона. Его « Элементарный трактат о кватернионах» 1867 года включал обширную трактовку оператора набла или дель ∇.

В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд опубликовал « Элементы динамики» . Клиффорд упростил исследование кватернионов, выделив скалярное произведение и кросс-произведение двух векторов из полного кватернионного продукта. Этот подход сделал векторные вычисления доступными для инженеров - и других специалистов, работающих в трех измерениях и скептически относящихся к четвертому.

Джозайя Уиллард Гиббс , который подвергся воздействию кватернионов в « Трактате об электричестве и магнетизме» Джеймса Клерка Максвелла , выделил их векторную часть для независимого рассмотрения. Первая половина книги Гиббса « Элементы векторного анализа» , опубликованной в 1881 году, представляет собой, по сути, современную систему векторного анализа. ^{[10] [7]} В 1901 году Эдвин Бидвелл Вильсон опубликовал « Векторный анализ» , адаптированный из лекций Гибба, из которого исключено любое упоминание кватернионов при разработке векторного исчисления.

Обзор [ править ]

В физике и технике вектор обычно рассматривается как геометрическая сущность, характеризующаяся величиной и направлением. Формально он определяется как направленный линейный сегмент или стрелка в евклидовом пространстве . ^[12] В чистой математике вектор определяется в более общем смысле как любой элемент векторного пространства . В этом контексте векторы являются абстрактными объектами, которые могут характеризоваться или не характеризоваться величиной и направлением. Это обобщенное определение подразумевает, что вышеупомянутые геометрические объекты представляют собой особый вид векторов, поскольку они являются элементами особого вида векторного пространства, называемого евклидовым пространством .

Эта статья о векторах, строго определенных как стрелки в евклидовом пространстве. Когда возникает необходимость отличить эти специальные векторы от векторов, как это определено в чистой математике, их иногда называют геометрическими , пространственными или евклидовыми векторами.

Евклидов вектор, являясь стрелкой, имеет определенную начальную и конечную точки . Вектор с фиксированной начальной и конечной точкой называется связанным вектором . ^[13] Когда только величина и направление вектора имеют значение, тогда конкретная начальная точка не имеет значения, и вектор называется свободным вектором . Таким образом, две стрелки и в пространстве представляют один и тот же свободный вектор, если они имеют одинаковую величину и направление: то есть они равноправны, если четырехугольник ABB′A ′ является параллелограммом . Если евклидово пространство оснащено возможностью выбора происхождения${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}}}$, то свободный вектор эквивалентен связанному вектору той же величины и направления, начальная точка которого является началом координат.

Термин вектор также имеет обобщения на более высокие измерения и на более формальные подходы с гораздо более широкими приложениями.

Примеры в одном измерении [ править ]

Поскольку физическая концепция силы имеет направление и величину, ее можно рассматривать как вектор. В качестве примера рассмотрим силу F, направленную вправо, равную 15 ньютонам . Если положительная ось также направлена ​​вправо, то F представлен вектором 15 N, а если положительные точки влево, то вектор для F равен -15 N. В любом случае величина вектора равна 15 N. Аналогично, векторное представление смещения s в 4 метра будет 4 м или -4 м, в зависимости от его направления, а его величина будет 4 м независимо.

В физике и технике [ править ]

Векторы имеют фундаментальное значение в физических науках. Их можно использовать для представления любой величины, имеющей величину, направление и подчиняющуюся правилам сложения векторов. Примером является скорость , величина которой равна скорости . Например, скорость вверх 5 метров в секунду может быть представлена ​​вектором (0, 5) (в 2-х измерениях с положительной осью Y как «вверх»). Другая величина, представленная вектором, - это сила , поскольку она имеет величину и направление и подчиняется правилам сложения векторов. ^[8] Векторы также описывают многие другие физические величины, такие как линейное смещение, смещение , линейное ускорение,угловое ускорение , количество движения и угловой момент . Другие физические векторы, такие как электрическое и магнитное поля , представлены как система векторов в каждой точке физического пространства; то есть векторное поле . Примерами величин, которые имеют величину и направление, но не соответствуют правилам сложения векторов, являются угловое смещение и электрический ток. Следовательно, это не векторы.

В декартовом пространстве [ править ]

В декартовой системе координат связанный вектор может быть представлен путем определения координат его начальной и конечной точки. Например, точки A = (1, 0, 0) и B = (0, 1, 0) в пространстве определяют вектор границы, указывающий от точки x = 1 на оси x до точки y = 1 на оси x. y- ось.${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$

В декартовых координатах свободный вектор можно представить в терминах соответствующего связанного вектора, в этом смысле, начальная точка которого имеет координаты начала координат O = (0, 0, 0) . Затем он определяется координатами конечной точки этого связанного вектора. Таким образом, свободный вектор, представленный (1, 0, 0), является вектором единичной длины, указывающим в направлении положительной оси x .

Это координатное представление свободных векторов позволяет выразить их алгебраические свойства удобным числовым способом. Например, сумма двух (свободных) векторов (1, 2, 3) и (−2, 0, 4) является (свободным) вектором

(1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1-2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7).

Евклидовы и аффинные векторы [ править ]

В геометрических и физических параметрах иногда можно естественным образом связать длину или величину и направление с векторами. Кроме того, понятие направления строго связано с понятием угла между двумя векторами. Если определено скалярное произведение двух векторов - скалярное произведение двух векторов - тогда также можно определить длину; скалярное произведение дает удобную алгебраическую характеристику как угла (функция скалярного произведения между любыми двумя ненулевыми векторами), так и длины (квадратный корень из скалярного произведения самого вектора). В трех измерениях можно дополнительно определить перекрестное произведение , которое дает алгебраическую характеристику области.и ориентация в пространстве параллелограмма, определяемого двумя векторами (используемыми как стороны параллелограмма). В любом измерении (и, в частности, в более высоких измерениях) можно определить внешний продукт , который (среди прочего) обеспечивает алгебраическую характеристику площади и ориентации в пространстве n -мерного параллелогранника, определяемого n векторами.

Однако не всегда возможно или желательно определять длину вектора естественным образом. Этот более общий тип пространственного вектора является предметом векторных пространств (для свободных векторов) и аффинных пространств (для связанных векторов, каждый из которых представлен упорядоченной парой «точек»). Важным примером является пространство Минковского (которое важно для нашего понимания специальной теории относительности ), где существует обобщение длины, которое позволяет ненулевым векторам иметь нулевую длину. Другие физические примеры взяты из термодинамики , где многие из интересующих величин можно рассматривать как векторы в пространстве без понятия длины или угла. ^[14]

Обобщения [ править ]

В физике, а также в математике вектор часто идентифицируется с кортежем компонентов или списком чисел, которые действуют как скалярные коэффициенты для набора базисных векторов . Когда базис преобразуется, например, вращением или растяжением, тогда компоненты любого вектора в терминах этого базиса также преобразуются в противоположном смысле. Сам вектор не изменился, но основание изменилось, поэтому компоненты вектора должны измениться для компенсации. Вектор называется ковариантным или контравариантным., в зависимости от того, как преобразование компонентов вектора связано с преобразованием базиса. В общем, контравариантные векторы - это «регулярные векторы» с единицами измерения расстояния (такими как смещение) или расстояния, умноженного на некоторые другие единицы (такие как скорость или ускорение); ковариантные векторы, с другой стороны, имеют единицы измерения расстояния, такие как градиент . Если вы меняете единицы измерения (частный случай изменения основы) с метров на миллиметры, масштабный коэффициент 1/1000, смещение 1 м становится 1000 мм - контравариантное изменение числового значения. Напротив, градиент в 1  К / м становится 0,001 К / мм - ковариантное изменение значения (подробнее см. Ковариация и контравариантность векторов ). Тензорыявляются другим типом величин, которые ведут себя подобным образом; вектор - это один из типов тензора .

В чистой математике вектор - это любой элемент векторного пространства над некоторым полем, который часто представляется как вектор координат . Векторы, описанные в этой статье, являются очень частным случаем этого общего определения, потому что они контравариантны по отношению к окружающему пространству. Контравариантность отражает физическую интуицию, стоящую за идеей о том, что вектор имеет «величину и направление».

Представления [ править ]

Векторы обычно обозначаются полужирным шрифтом в нижнем регистре , как в , и , ^[4], или полужирным курсивом в нижнем регистре, как в a . ( Прописные буквы , как правило , используется для представления матриц .) Другие конвенции включают в себя или , особенно в почерке. В качестве альтернативы некоторые используют тильду (~) или волнистую линию подчеркивания, нарисованную под символом, например , что является соглашением для обозначения жирного шрифта. Если вектор представляет собой направленное расстояние или смещение от точки A до точки B${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {w}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ Displaystyle {\ underset {^ {\ sim}} {а}}}$(см. рисунок), он также может обозначаться как или AB . В немецкой литературе было особенно распространено представление векторов маленькими дробными буквами, такими как .${\displaystyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Векторы обычно показаны на графиках или других диаграммах в виде стрелок (направленных сегментов линии ), как показано на рисунке. Здесь, точка называется происхождение , хвост , основание , или начальная точка , а точка В называется головкой , наконечник , конечную точку , конечный пункт или конечный пункт . Длина стрелки пропорциональна величине вектора , а направление, в котором указывает стрелка, указывает направление вектора.

На двумерной диаграмме, вектор перпендикулярно к плоскости диаграммы иногда желательно. Эти векторы обычно отображаются в виде маленьких кружков. Круг с точкой в ​​центре (Unicode U + 2299 ⊙) указывает вектор, указывающий из передней части диаграммы к зрителю. Круг с вписанным в него крестом (Unicode U + 2297 ⊗) указывает вектор, указывающий на диаграмму и позади нее. Это можно представить как наблюдение за кончиком наконечника стрелы и наблюдение за полетами стрелы со спины.

Для вычисления с использованием векторов графическое представление может быть слишком громоздким. Векторы в n- мерном евклидовом пространстве могут быть представлены как координатные векторы в декартовой системе координат . Конечная точка вектора может быть идентифицирована с помощью упорядоченного списка из n действительных чисел ( n - кортеж ). Эти числа являются координатами конечной точки вектора относительно данной декартовой системы координат и обычно называются скалярными компонентами (или скалярными проекциями ) вектора на оси системы координат.

В качестве примера в двух измерениях (см. Рисунок) вектор от начала координат O = (0, 0) до точки A = (2, 3) просто записывается как

${\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}$

Представление о том, что хвост вектора совпадает с началом координат, неявно и легко понимается. Таким образом, более явные обозначения обычно считаются ненужными (и действительно используются редко).${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}$

В трехмерном евклидовом пространстве (или R ³ ) векторы отождествляются с тройками скалярных компонентов:

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}).}$

также написано

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z}).}$

Это может быть обобщено на n-мерное евклидово пространство (или R ⁿ ).

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n}).}$

Эти числа часто объединяются в вектор-столбец или вектор- строку , особенно при работе с матрицами , следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]^{\operatorname {T} }.}$

Другой способ представить вектор в n -мерностях - ввести стандартные базисные векторы. Например, в трех измерениях их три:

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1).}$

Они имеют интуитивную интерпретацию , как векторы единичной длины , направленная вверх на х -, у -, а г оси х в А декартовой системе координат , соответственно. С их помощью любой вектор a в R ³ может быть выражен в виде:

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\ }$

или же

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3},}$

где a ₁ , a ₂ , a ₃ называются компонентами вектора (или проекциями вектора ) a на базисные векторы или, что то же самое, на соответствующие декартовы оси x , y и z (см. рисунок), а a ₁ , a ₂ , a ₃ - соответствующие скалярные компоненты (или скалярные проекции).

Во вводных учебниках физики вместо них часто обозначаются стандартные базисные векторы (или , в которых символ шляпы ^ обычно обозначает единичные векторы ). В этом случае скалярная и векторная компоненты обозначаются соответственно a _x , a _y , a _z и a _x , a _y , a _z (обратите внимание на разницу, выделенную жирным шрифтом). Таким образом,${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{x}+\mathbf {a} _{y}+\mathbf {a} _{z}=a_{x}{\mathbf {i} }+a_{y}{\mathbf {j} }+a_{z}{\mathbf {k} }.}$

Обозначение e _i совместимо с обозначением индекса и соглашением о суммировании, обычно используемым в математике, физике и инженерии более высокого уровня.

Разложение или разрешение [ править ]

Как объяснялось выше , вектор часто описывается набором компонентов вектора, которые в сумме образуют данный вектор. Обычно эти компоненты являются проекциями вектора на набор взаимно перпендикулярных опорных осей (базисных векторов). Говорят, что вектор разложен или разрешен относительно этого набора.

Разложение или разрешение ^[15] вектора на компоненты не является уникальным, потому что оно зависит от выбора осей, на которые проецируется вектор.

Кроме того, использование декартовых единичных векторов , такое как , как базис , в котором для представления вектора не является обязательным. Векторы также могут быть выражены в терминах произвольного базиса, включая единичные векторы цилиндрической системы координат ( ) или сферической системы координат ( ). Последние два варианта более удобны для решения задач, обладающих цилиндрической или сферической симметрией соответственно.${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

Выбор базиса не влияет на свойства вектора или его поведение при преобразованиях.

Вектор также может быть разбит на «нефиксированные» базисные векторы, которые меняют свою ориентацию в зависимости от времени или пространства. Например, вектор в трехмерном пространстве можно разложить относительно двух осей, соответственно нормальной и касательной к поверхности (см. Рисунок). Кроме того, радиальные и тангенциальные компоненты вектора связаны с радиусом от поворота объекта. Первый параллелен радиусу, а второй ортогонален ему. ^[16]

В этих случаях каждый из компонентов может быть, в свою очередь, разложен относительно фиксированной системы координат или базисного набора (например, глобальной системы координат или инерциальной системы отсчета ).

Основные свойства [ править ]

В следующем разделе используется декартова система координат с базисными векторами.

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}$

и предполагает, что все векторы имеют начало в качестве общей базовой точки. Вектор a запишется как

${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$

Равенство [ править ]

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую величину и направление. Равнозначно они будут равны, если их координаты равны. Итак, два вектора

${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

и

${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

равны, если

${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}$

Противоположные, параллельные и антипараллельные векторы [ править ]

Два вектора противоположны, если они имеют одинаковую величину, но противоположное направление. Итак, два вектора

${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

и

${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

противоположны, если

${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}$

Два вектора параллельны, если они имеют одинаковое направление, но не обязательно одинаковой величины, или антипараллельны, если они имеют противоположное направление, но не обязательно одинаковой величины.

Сложение и вычитание [ править ]

Предположим теперь, что a и b не обязательно равные векторы, но они могут иметь разные величины и направления. Сумма a и b равна

${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$

Добавление может быть представлено графически, поместив конец стрелки b в конец стрелки a , а затем проведя стрелку от конца a к вершине b . Новая нарисованная стрелка представляет вектор a + b , как показано ниже: ^[8]

Этот метод сложения иногда называют правилом параллелограмма, потому что a и b образуют стороны параллелограмма, а a + b - одна из диагоналей. Если a и b являются связанными векторами, имеющими одну и ту же базовую точку, эта точка также будет базовой точкой a + b . Геометрически можно проверить, что a + b = b + a и ( a + b ) + c = a + ( b + c).

Разница между a и b составляет

${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$

Вычитание двух векторов можно геометрически проиллюстрировать следующим образом: чтобы вычесть b из a , поместите хвосты a и b в одну и ту же точку, а затем проведите стрелку от вершины b к вершине a . Эта новая стрелка представляет вектор (-b) + a , где (-b) является противоположностью b , см. Рисунок. И (-b) + a = a - b .

Скалярное умножение [ править ]

Вектор также может быть умножен или масштабирован на действительное число r . В контексте традиционной векторной алгебры эти действительные числа часто называют скалярами (по шкале ), чтобы отличить их от векторов. Операция умножения вектора на скаляр называется скалярным умножением . Результирующий вектор

${\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}$

Интуитивно, умножение на скаляр r растягивает вектор на коэффициент r . Геометрически это можно визуализировать (по крайней мере, в случае, когда r - целое число) как размещение r копий вектора в строке, где конечная точка одного вектора является начальной точкой следующего вектора.

Если r отрицательно, вектор меняет направление: он переворачивается на угол 180 °. Ниже приведены два примера ( r = −1 и r = 2):

Скалярное умножение дистрибутивно по сравнению с векторным сложением в следующем смысле: r ( a + b ) = r a + r b для всех векторов a и b и всех скаляров r . Также можно показать, что a - b = a + (−1) b .

Длина [ править ]

Длина или величина или норма вектора а обозначаются через ‖ ‖ или, реже, | a |, который не следует путать с абсолютным значением (скалярная «норма»).

Длину вектора a можно вычислить с помощью евклидовой нормы

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}}$

что является следствием теоремы Пифагора, поскольку базисные векторы e ₁ , e ₂ , e ₃ являются ортогональными единичными векторами.

Это оказывается равным квадратному корню из скалярного произведения вектора на себя, обсуждаемого ниже:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}$

Единичный вектор

Единичный вектор является любым вектором с длиной один; обычно единичные векторы используются просто для указания направления. Вектор произвольной длины можно разделить на его длину, чтобы получить единичный вектор. ^[17] Это называется нормализацией вектора. Единичный вектор часто обозначается шляпой, как в â .

Чтобы нормализовать вектор a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , масштабируйте вектор на величину, обратную его длине ‖ a ‖. То есть:

${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}}$

Нулевой вектор

Нулевой вектор является вектором с нулевой длиной. Письменное в координатах вектор (0, 0, 0) , и это обычно обозначается , 0 , или просто 0. ^[4] В отличие от любого другого вектора, он имеет произвольное или неопределенное направление, и не могут быть нормализованы (т.е. есть единичный вектор, кратный нулевому вектору). Сумма нулевого вектора с любым вектором a равна a (то есть 0 + a = a ).${\displaystyle {\vec {0}}}$

Точечный продукт [ править ]

Скалярное произведение двух векторов через и Ь (иногда называется скалярным произведением , или, поскольку его результат является скаляром, то скалярное произведение ) обозначаются в  ∙  Ь, ^[4] и определяется как:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }$

где θ - это мера угла между a и b (см. тригонометрическую функцию для объяснения косинуса). Геометрически это означает, что a и b нарисованы с общей начальной точкой, а затем длина a умножается на длину компонента b, который указывает в том же направлении, что и a .

Скалярное произведение также можно определить как сумму произведений компонентов каждого вектора как

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$

Перекрестный продукт [ править ]

Перекрестное произведение (также называется векторное произведение или внешнее произведение ) имеет смысл только в трех или семи измерениях. Перекрестное произведение отличается от скалярного произведения в первую очередь тем, что результатом перекрестного произведения двух векторов является вектор. Перекрестное произведение, обозначенное a  ×  b , представляет собой вектор, перпендикулярный как a, так и b, и определяется как

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} }$

где θ - мера угла между a и b , а n - единичный вектор, перпендикулярный как a, так и b, который завершает правостороннюю систему. Ограничение праворукости необходимо, потому что существуют два единичных вектора, перпендикулярных как a, так и b , а именно n и (- n ).

Перекрестное произведение a  ×  b определяется так, что a , b и a  ×  b также становятся правосторонней системой (хотя a и b не обязательно ортогональны ). Это правило правой руки .

Длину a  ×  b можно интерпретировать как площадь параллелограмма со сторонами a и b .

Перекрестное произведение можно записать как

${\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}$

Для произвольного выбора пространственной ориентации (то есть с учетом левосторонних и правосторонних систем координат) векторное произведение двух векторов является псевдовектором вместо вектора (см. Ниже).

Скалярное тройное произведение [ править ]

Скалярное тройное произведение (также называемый продуктом коробки или смешанное тройное произведением ) на самом деле не новый оператор, а способ применения двух других операторов умножения трех векторов. Скалярное тройное произведение иногда обозначается ( a b c ) и определяется как:

${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$

Он имеет три основных назначения. Во-первых, абсолютное значение коробчатого продукта - это объем параллелепипеда , края которого определяются тремя векторами. Во-вторых, тройное скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда три вектора линейно зависимы , что можно легко доказать, если учесть, что для того, чтобы три вектора не образовывали объем, все они должны лежать в одной плоскости. В-третьих, коробочное произведение положительно тогда и только тогда, когда три вектора a , b и c правосторонние.

В компонентах ( относительно правостороннего ортонормированного базиса ), если три вектора рассматриваются как строки (или столбцы, но в том же порядке), скалярное тройное произведение является просто определителем матрицы 3 на 3 имея три вектора как строки

${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\left|{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{pmatrix}}\right|}$

Скалярное тройное произведение линейно по всем трем элементам и антисимметрично в следующем смысле:

${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}$

Преобразование между несколькими декартовыми основаниями [ править ]

Все примеры до сих пор имели дело с векторами , выраженных в терминах той же основу, а именно, й базис { е ₁ , е ₂ , е ₃ }. Однако вектор может быть выражен с помощью любого количества различных оснований, которые не обязательно выровнены друг с другом, но при этом остаются одним и тем же вектором. В базисе e вектор a по определению выражается как

${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}}$.

Скалярные компоненты в базисе e по определению

${\displaystyle p=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1}}$,

${\displaystyle q=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2}}$,

${\displaystyle r=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}}$.

В другом ортонормированном базисе n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ }, который не обязательно выровнен с e , вектор a выражается как

${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}$

а скалярные компоненты в n- базисе по определению

${\displaystyle u=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1}}$,

${\displaystyle v=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2}}$,

${\displaystyle w=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}}$.

Значения p , q , r и u , v , w относятся к единичным векторам таким образом, что результирующая векторная сумма является точно таким же физическим вектором a в обоих случаях. Часто встречаются векторы, известные в терминах различных оснований (например, одно основание прикреплено к Земле, а второе - к движущемуся транспортному средству). В таком случае необходимо разработать метод преобразования между основаниями, чтобы можно было выполнять основные векторные операции, такие как сложение и вычитание. Один из способов выразить u , v , w через p , q ,r - использовать матрицы столбцов вместе с матрицей направляющих косинусов, содержащей информацию, которая связывает две основы. Такое выражение может быть сформировано путем подстановки приведенных выше уравнений в форму

${\displaystyle u=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1}}$,

${\displaystyle v=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2}}$,

${\displaystyle w=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}}$.

Распределение умножения точек дает

${\displaystyle u=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1}}$,

${\displaystyle v=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2}}$,

${\displaystyle w=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}}$.

Замена каждого скалярного произведения на уникальный скаляр дает

${\displaystyle u=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r}$,

${\displaystyle v=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r}$,

${\displaystyle w=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r}$,

и эти уравнения могут быть выражены в виде единого матричного уравнения

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}}$.

Это матричное уравнение связывает скалярные компоненты a в базисе n ( u , v и w ) с компонентами базиса e ( p , q и r ). Каждый матричный элемент c _jk является направляющим косинусом, связывающим n _j с e _k . ^[18] Термин направляющий косинус относится к косинусу угла между двумя единичными векторами, который также равен их скалярному произведению . ^[18] Следовательно,

${\displaystyle c_{11}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$

${\displaystyle c_{12}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle c_{13}=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle c_{21}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}}$

${\displaystyle c_{22}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle c_{23}=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle c_{31}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}}$

${\displaystyle c_{32}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}}$

${\displaystyle c_{33}=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}}$

В совокупности ссылаясь на e ₁ , e ₂ , e ₃ как на основу e и на n ₁ , n ₂ , n ₃ как на базу n , матрица, содержащая все c _jk , известна как « матрица преобразования из e в n ». , или « матрица поворота от e к n » (потому что ее можно представить как «поворот» вектора от одного базиса к другому), или « матрица направляющих косинусов отот e до n " ^[18] (поскольку она содержит направляющие косинусы). Свойства матрицы вращения таковы, что ее обратная матрица равна ее транспонированию . Это означает, что« матрица вращения от e к n »является транспонированной для матрица от n до e ".

Свойства матрицы направляющих косинусов C следующие: ^[19]

• определитель равен единице, | C | = 1
• обратное равно транспонированию,
• строки и столбцы являются ортогональными единичными векторами, поэтому их скалярные произведения равны нулю.

Преимущество этого метода состоит в том, что матрицу направляющих косинусов обычно можно получить независимо, используя углы Эйлера или кватернион для связи двух векторных базисов, поэтому преобразования базиса могут выполняться напрямую, без необходимости вычислять все скалярные произведения, описанные выше. .

Последовательно применяя несколько матричных умножений, любой вектор может быть выражен в любом базисе, если известен набор направляющих косинусов, связывающих последовательные базисы. ^[18]

Другие размеры [ править ]

За исключением перекрестного и тройного произведений, приведенные выше формулы обобщаются для двух измерений и более высоких измерений. Например, сложение обобщается на два измерения как

${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}}$

и в четырех измерениях как

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}$

Перекрестное произведение нелегко обобщить на другие измерения, в отличие от тесно связанного внешнего продукта , результатом которого является бивектор . В двух измерениях это просто псевдоскаляр

${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}$

Семимерное крест продукт похож на произведение в том , что ее результатом является вектор , перпендикулярный к двум аргументам; однако естественного способа выбрать один из возможных таких продуктов не существует.

Физика [ править ]

Векторы имеют множество применений в физике и других науках.

Длина и единицы [ править ]

В абстрактных векторных пространствах длина стрелки зависит от безразмерного масштаба . Если он представляет собой, например, силу, «масштаб» имеет физический размер длина / сила. Таким образом, обычно существует согласованность в масштабе между количествами одного и того же размера, но в остальном масштабные соотношения могут варьироваться; например, если «1 ньютон» и «5 м» обозначены стрелкой 2 см, масштаб будет 1 м: 50 Н и 1: 250 соответственно. Равная длина векторов разной размерности не имеет особого значения, если нет некоторой константы пропорциональности, присущей системе, которую представляет диаграмма. Также длина единичного вектора (размерная длина, а не длина / сила и т. Д.) Не имеет значения, инвариантного для системы координат.

Векторнозначные функции [ править ]

Часто в областях физики и математики вектор эволюционирует во времени, что означает, что он зависит от временного параметра t . Например, если r представляет собой вектор положения частицы, то r ( t ) дает параметрическое представление траектории частицы. Векторнозначные функции могут быть дифференцированы и интегрированы путем дифференцирования или интегрирования компонентов вектора, и многие из знакомых правил исчисления по- прежнему справедливы для производной и интеграла векторнозначных функций.

Положение, скорость и ускорение [ править ]

Положение точки x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) в трехмерном пространстве может быть представлено как вектор положения , базовая точка которого является началом координат.

${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$

Вектор положения имеет размерность длины .

Для двух точек x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) их смещение является вектором

${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}$

который определяет положение y относительно x . Длина этого вектора дает расстояние по прямой от x до y . Смещение имеет размеры длины.

Скорость v точки или частицы является вектором, длина его дает скорость . Для постоянной скорости положение в момент времени t будет

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}$

где x ₀ - это положение в момент времени t = 0. Скорость - это производная положения по времени. Его размеры - длина / время.

Ускорение точки является вектором , который является производным по времени от скорости. Его размеры - длина / время ² .

Сила, энергия, работа [ править ]

Сила - это вектор с размерами масса × длина / время ^2, а второй закон Ньютона - это скалярное умножение.

${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}$

Работа - это скалярное произведение силы и смещения

${\displaystyle E={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}$

Векторы, псевдовекторы и преобразования [ править ]

Альтернативная характеристика евклидовых векторов, особенно в физике, описывает их как списки величин, которые ведут себя определенным образом при преобразовании координат . Контравариантен вектор должен иметь компоненты , которые «преобразование обратного к основанию» при изменении основы. Сам вектор не меняется при преобразовании базиса; вместо этого компоненты вектора вносят изменение, которое отменяет изменение основы. Другими словами, если опорные оси (и основание, полученное из них) были повернуты в одном направлении, компонентное представление вектора будет вращаться в противоположном направлении, чтобы сгенерировать тот же конечный вектор. Точно так же, если опорные оси были растянуты в одном направлении, компоненты вектора уменьшились бы точно компенсирующим образом. Математически, если базис подвергается преобразованию, описываемому обратимой матрицей M , так что координатный вектор x преобразуется в x ′ = M x , то контравариантный вектор vнеобходимо аналогичным образом преобразовать через v ′ = M v${\displaystyle ^{-1}}$ . Это важное требование - то, что отличает контравариантный вектор от любой другой тройки физически значимых величин. Например, если v состоит из x , y и z -компонент скорости , то v является контравариантным вектором: если координаты пространства растягиваются, вращаются или скручиваются, то компоненты скорости преобразуются таким же образом . С другой стороны, например, тройка, состоящая из длины, ширины и высоты прямоугольного блока, может составлять три компонента абстрактного вектора., но этот вектор не был бы контравариантным, поскольку поворот блока не изменяет его длину, ширину и высоту. Примеры контравариантных векторов включают смещение , скорость , электрическое поле , импульс , силу и ускорение .

На языке дифференциальной геометрии , требование о том , что компоненты вектора преобразуются по одной и той же матрицы координат перехода эквивалентно определения контравариантным вектора быть тензором из контравариантного ранга один. В качестве альтернативы, контравариантный вектор определяется как касательный вектор , а правила преобразования контравариантного вектора следуют из правила цепочки .

Некоторые векторы трансформируются как контравариантные векторы, за исключением того, что, когда они отражаются через зеркало, они переворачиваются и получают знак минус. Говорят, что преобразование, которое переключает праворукость на левшу и наоборот, как это делает зеркало, изменяет ориентацию пространства. Вектор, который приобретает знак минус при изменении ориентации пространства, называется псевдовектором или аксиальным вектором . Обычные векторы иногда называют истинными векторами или полярными векторами, чтобы отличить их от псевдовекторов. Псевдовекторы чаще всего встречаются как произведение двух обычных векторов.

Одним из примеров псевдовектора является угловая скорость . Когда вы едете в машине и смотрите вперед, каждое колесо имеет вектор угловой скорости, направленный влево. Если мир отражается в зеркале, которое переключает левую и правую стороны автомобиля, отражение этого вектора угловой скорости указывает вправо, но фактический вектор угловой скорости колеса по-прежнему указывает влево, что соответствует минусу. знак. Другие примеры псевдовекторов включают магнитное поле , крутящий момент или, в более общем смысле, любое векторное произведение двух (истинных) векторов.

Это различие между векторами и псевдовекторами часто игнорируется, но оно становится важным при изучении свойств симметрии . См. Паритет (физика) .

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Математические методы [ править ]

• Апостол, Том (1967). Исчисление . Vol. 1: Исчисление с одной переменной с введением в линейную алгебру. Вайли. ISBN 978-0-471-00005-1.
• Апостол, Том (1969). Исчисление . Vol. 2: Исчисление с несколькими переменными и линейная алгебра с приложениями. Вайли. ISBN 978-0-471-00007-5.
• Хайнбокель, Дж. Х. (2001), Введение в тензорное исчисление и механику сплошной среды , Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4.
• Ито, Киёси (1993), Энциклопедический математический словарь (2-е изд.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Вектор" , Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Кейн, Томас Р .; Левинсон, Дэвид А. (1996), Dynamics Online , Саннивейл, Калифорния: OnLine Dynamics.
• Ланг, Серж (1986). Введение в линейную алгебру (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-96205-0.
• Педое, Дэниел (1988). Геометрия: всеобъемлющий курс . Дувр. ISBN 0-486-65812-0.

Физические процедуры [ править ]

• Арис, Р. (1990). Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости . Дувр. ISBN 978-0-486-66110-0.
• Фейнман, Ричард ; Leighton, R .; Пески, М. (2005). «Глава 11». Лекции Фейнмана по физике . Vol. Я (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-8053-9046-9.

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: Евклидовым вектором

Викискладе есть медиафайлы по теме векторов .

В Wikibook Waves есть страница на тему: Векторы

• "Вектор" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Векторные онлайн-идентичности ( PDF )
• Введение в векторы Концептуальное введение ( прикладная математика )