Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Октаплекс» перенаправляется сюда. Для получения информации о концентрате факторов свертывания крови см. Концентрат протромбинового комплекса .
24-элементный
Schlegel wireframe 24-cell.png
Диаграмма Шлегеля
(вершины и ребра)
ТипВыпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли{3,4,3}
r {3,3,4} = {3 1,1,1 } =
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png или же CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png или же CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png
Клетки24 {3,4} Octahedron.png
Лица96 {3}
Края96
Вершины24
Фигура вершиныКуб
Многоугольник Петридвенадцатигранник
Группа КокстераF 4 , [3,4,3], порядок 1152
B 4 , [4,3,3], порядок 384
D 4 , [3 1,1,1 ], порядок 192
ДвойнойСамодвойственный
Характеристикивыпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный
Единый индекс22
Сеть

В четырехмерной геометрии 24-ячейка - это выпуклый правильный 4-многогранник [1] с символом Шлефли {3,4,3}. Его также называют С 24 , или icositetrachoron , [2] octaplex (сокращенно "октаэдрической комплекс"), icosatetrahedroid , [3] octacube , гипер-алмаз или polyoctahedron , будучи изготовленным из октаэдрических клеток .

Граница 24-ячеек состоит из 24-х октаэдрических ячеек, по шесть пересекающихся в каждой вершине и по три на каждом краю. Вместе они имеют 96 треугольных граней, 96 ребер и 24 вершины. Фигура вершина представляет собой куб . 24-элементный самодвойственный . [a] Он и тессеракт - единственные выпуклые правильные 4-многогранники, в которых длина ребра равна радиусу. [b]

24-элементный не имеет штатного аналога в 3-х измерениях. Это единственный из шести выпуклых правильных 4-многогранников, который не является четырехмерным аналогом одного из пяти правильных Платоновых тел . Однако его можно рассматривать как аналог пары неправильных тел: кубооктаэдра и двойственного ему ромбического додекаэдра .

Переведенные копии 24-ячеек могут мозаично размещать четырехмерное пространство лицом к лицу, образуя 24-ячеечные соты . Как многогранник, который может мозаично перемещаться, 24-ячейка является примером параллелоэдра , простейшего из них, который не является также зонотопом .

Геометрия [ править ]

24-ячейка включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-элементного, имеющего 5 в символе Шлефли, [c] и многоугольников {7} и выше. Особенно полезно исследовать 24-ячейку, потому что можно увидеть геометрические отношения между всеми этими регулярными многогранниками в одной 24-ячейке или ее сотах .

24-ячейка является четвертой в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). [d] Его можно деконструировать на 3 перекрывающихся экземпляра своего предшественника, тессеракта (8 ячеек), так как 8 ячеек можно деконструировать на 2 перекрывающихся экземпляра своего предшественника, 16 ячеек . [5] Обратная процедура для построения каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с другой длиной ребра. [e]

Координаты [ править ]

Квадраты [ править ]

24-ячейка - это выпуклая оболочка ее вершин, которую можно описать как 24 перестановки координат :

.

Эти координаты [6] можно построить какCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, Выпрямления на 16-ячейку ,CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png, с 8 перестановками вершин из (± 2,0,0,0). Вершина 16-ячейки - октаэдр ; таким образом, разрезание вершин 16-ячеек посередине его смежных ребер дает 8 октаэдрических ячеек. Этот процесс [7] также выпрямляет тетраэдрические ячейки 16-ячеек, которые становятся 16 октаэдрами, давая 24-ячеечным 24 октаэдрические ячейки.

В таком виде 24-ячейка имеет ребра длиной √ 2 и вписана в 3-сферу радиуса √ 2 . Примечательно, что длина ребра равна радиусу описанной окружности, как у шестиугольника или кубооктаэдра . Такие многогранники радиально равносторонние . [b]

24 вершины можно рассматривать как вершины 6 ортогональных [f] экваториальных квадратов [g], которые пересекаются с [h] только в их общем центре.

Шестиугольники [ править ]

24 элемента кватерниона бинарной тетраэдрической группы совпадают с вершинами 24-ячейки. В проекции 4-кратной симметрии: * 1 порядок-1: 1 * 1 порядок-2: -1 * 6 порядок-4: ± i, ± j, ± k * 8 порядок-6: (+ 1 ± i ± j ± k) / 2 * 8 порядок-3: (-1 ± i ± j ± k) / 2.

24-ячейка самодуальна , имеет такое же количество вершин (24), что и ячеек, и такое же количество ребер (96), как граней.

Если взять двойную ячейку из 24-х ячеек с длиной ребра √ 2, совершая возвратно-поступательные движения вокруг вписанной сферы, то будет обнаружена еще одна 24-ячейка с длиной ребра и радиусом описанной окружности 1, а ее координаты обнаруживают большую структуру. В таком виде вершины 24-ячейки могут быть заданы следующим образом:

8 вершин, полученных перестановкой целочисленных координат:

(± 1, 0, 0, 0)

и 16 вершин с полуцелыми координатами вида:

(±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2)

все 24 из них находятся на расстоянии 1 от начала координат.

Рассматриваемые как кватернионы , это единичные кватернионы Гурвица .

24-ячейка имеет единичный радиус и единичную длину ребра [b] в этой системе координат. Мы называем систему координатами единичного радиуса, чтобы отличать ее от других, например, координаты радиуса √ 2, использованные выше . [я]

24 вершины можно рассматривать как вершины 4 ортогональных экваториальных шестиугольников [j], которые пересекаются [h] только в их общем центре. [k]

Треугольники [ править ]

24 вершины можно рассматривать как вершины 8 равносторонних треугольников, лежащих [l] в 4 ортогональных экваториальных плоскостях [m], которые пересекаются только в их общем центре.

Гиперкубические аккорды [ править ]

Геометрия вершин радиально равносторонней [b] 24-ячейки, показывающая 3 многоугольника большого круга и 4 длины хорды между вершинами.

24 вершины 24-ячейки распределены [8] на четырех разных длинах хорды друг от друга: √ 1 , √ 2 , √ 3 и √ 4 .

Каждая вершина соединена с 8 другими [n] ребром длиной 1, охватывающим 60 ° =π/3дуги. Следующие ближайшие - 6 вершин [o], расположенных на 90 ° =π/2по внутреннему хорде длиной √ 2 . Еще 8 вершин лежат на 120 ° =2 π/3по внутреннему хорде длиной √ 3 . Противоположная вершина находится на расстоянии 180 ° = π по диаметру длиной 2. Наконец, поскольку 24-ячейка является радиально равносторонней, ее центр можно рассматривать [p] как 25-ю каноническую вершину вершины, [q] что составляет 1 длину ребра. подальше от всех остальных.

Чтобы наглядно представить, как внутренние многогранники 24-ячеечного элемента подходят друг к другу (как описано ниже ), имейте в виду, что четыре длины хорды ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) - это длинные диаметры гиперкубов размерности 1. через 4: длинный диаметр квадрата √ 2 ; длинный диаметр куба √ 3 ; а длинный диаметр тессеракта √ 4 . [r] Более того, длинный диаметр октаэдра равен √ 2, как квадрат; а длинный диаметр самой 24-элементной ячейки равен√ 4 как тессеракт.

Геодезические [ править ]

Хорды ​​вершин 24-ячейки расположены в геодезических больших окружностях, которые лежат в наборах ортогональных плоскостей. Геодезическое расстояние между двумя вершинами 24-клеток вдоль пути √ 1 ребер всегда равен 1, 2 или 3, и это только 3 противоположных вершин. [s]

В √ 1 ребра происходят в 16 шестиугольных больших кругов (4 набора ортогональных 4 [K] плоскостей), 4 из которых пересекают в каждой вершине. [u] 96 различных ребер √ 1 делят поверхность на 96 треугольных граней и 24 октаэдрических ячейки: 24 ячейки.

В √ 2 аккорды происходят в 18 квадратных больших кругов (3 комплекта 6 ортогональных [F] плоскостей), 3 из которых пересекают в каждой вершине. [v] 72 различных хорды √ 2 не проходят в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги; они не следуют за гранями 24-элементной ячейки, они проходят через ее восьмиугольные центры ячейки. [w]

В √ 3 аккордов происходят в 32 треугольных больших кругах в 16 плоскостях (4 комплекта 4 ортогональных плоскостей), [м] 4 из которых пересекаются в каждой вершине. [x] 96 различных √ 3 хорд проходят от вершины к каждой другой вершине в тех же плоскостях, что и большие шестиугольные круги. [l]

В √ 4 аккорды встречаются в виде 12 вершин-к-вершине диаметров (3 набора ортогональных осей 4), 24 радиусов вокруг 25 - й центральной вершины. [q]

В √ 1 ребра происходят в 48 параллельных пар, √ 3 друг от друга. В √ 2 аккордов происходят в 36 параллельных парах, √ 2 друг от друга. В √ 3 аккорды происходят в 48 параллельных пар, √ 1 друг от друга. [y]

Каждая плоскость большого круга пересекает [h] с каждой из других плоскостей большого круга или плоскостей граней, к которым она ортогональна только в центральной точке, и с каждой из других плоскостей, по отношению к которым она не ортогональна на одном краю какого-либо вида. В любом случае это ребро является одной из хорд вершин 24-клетки. [аа]

Конструкции [ править ]

Треугольники и квадраты уникальным образом объединяются в 24-ячейке, чтобы генерировать в качестве внутренних элементов [p] все правильные выпуклые многогранники с треугольными и квадратными гранями в первых четырех измерениях (с оговорками для 5-ячеек и 600 -ячейка ). [ab] Следовательно, существует множество способов сконструировать или разобрать 24 клетки.

Взаимные конструкции из 8 и 16 клеток [ править ]

8 целочисленных вершин (± 1, 0, 0, 0) - это вершины правильной 16-ячейки , а 16 полуцелых вершин (±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2) являются вершинами двойственного к нему тессеракта (8-клеточного). Тессеракт дает конструкцию Госсета [11] из 24 ячеек, эквивалентную разрезанию тессеракта на 8 кубических пирамид , а затем прикреплению их к граням второго тессеракта. Аналогичная конструкция в трехмерном пространстве дает ромбический додекаэдр, который, однако, не является правильным. 16-ячеечная конструкция дает конструкцию, обратную 24-элементной конструкции Чезаро [12], эквивалентную исправлению 16-ти ячеечной (срезание ее углов по средним краям, как описано выше ). Аналогичная конструкция в 3-м пространстве дает кубооктаэдр(двойственный ромбическому додекаэдру), который, однако, не является правильным. Тессеракт и 16-ячейка - единственные правильные 4-многогранники в 24-ячейке. [13]

Далее мы можем разделить 16 полуцелых вершин на две группы: те, координаты которых содержат четное число знаков минус (-), и те, которые имеют нечетное число. Каждая из этих групп из 8 вершин также определяет обычную 16-клетку. Это показывает, что вершины 24-ячейки могут быть сгруппированы в три непересекающихся набора из восьми, каждый из которых определяет обычную 16-ячейку, а дополнение определяет двойной тессеракт. [14] Это также показывает, что симметрии 16-ячейки образуют подгруппу индекса 3 группы симметрии 24-ячейки.

Уменьшение [ править ]

Мы можем фасетить 24-ячейку, разрезав [ac] через внутренние ячейки, ограниченные хордами вершин, чтобы удалить вершины, обнажив грани внутренних 4-многогранников, вписанных в 24-ячейку. Можно разрезать 24-ячейку на две части через любой плоский шестиугольник с 6 вершинами, любой плоский прямоугольник с 4 вершинами или любой треугольник с 3 вершинами. Плоскости большого круга ( вверху ) - это лишь некоторые из этих плоскостей. Здесь мы раскроем некоторые из других: грани [ad] внутренних многогранников, которые делят 24-ячейку на две неравные части. [ae]

8-элементный [ править ]

Начиная с полной 24-ячейкой, удалить 8 ортогональных вершины (4 противоположных пары на 4 перпендикулярных осях), а также 8 ребер , которые излучают от каждого, от резки до 8 кубических клеток , ограниченных √ 1 ребра , чтобы удалить 8 кубических пирамиды , чьи вершины являются удаляемые вершины. Это удаляет 4 ребра из каждого большого шестиугольного круга (сохраняя только одну противоположную пару ребер), поэтому не остается непрерывных шестиугольных больших кругов. Теперь 3 перпендикулярных ребра встречаются и образуют угол куба в каждой из 16 оставшихся вершин, [af] и 32 оставшихся ребра делят поверхность на 24 квадратных грани и 8 кубических ячеек: тессеракт. Есть три способа сделать это (выбрать набор из 8 ортогональных вершин из 24), так что в 24-ячейку вписано три таких тессеракта. Они перекрываются друг с другом, но большинство их наборов элементов не пересекаются: они имеют общее количество вершин, но не имеют длины ребра, площади грани или объема ячейки. Они разделяют 4-контент, их общее ядро. [ag]

16 ячеек [ править ]

Начиная с полных 24 ячеек, удалите 16 вершин тессеракта (сохранив 8 вершин, которые вы удалили выше), разрезав 16 тетраэдрических ячеек, ограниченных √ 2 хордами, чтобы удалить 16 тетраэдрических пирамид , вершины которых являются вершинами, которые нужно удалить. Это удаляет 12 квадратных больших кругов (сохраняя только один ортогональный набор) и все ребра √ 1 , открывая √ 2 хорды как новые ребра. Теперь оставшиеся 6 больших квадратных кругов пересекаются перпендикулярно, по 3 в каждой из 8 оставшихся вершин, [ah], и их 24 ребра делят поверхность на 32 треугольные грани и 16 тетраэдрических ячеек: 16-ячеечная. Есть три способа сделать это (удалить 1 из 3 наборов вершин тессеракта), так что в 24-ячейку вписано три таких 16-ячеек. Они перекрываются друг с другом, но большинство их наборов элементов не пересекаются: у них нет общего количества вершин, длины ребер или площади грани, но они имеют общий объем ячеек. Они также разделяют 4-контент, их общее ядро. [ag]

Тетраэдрические конструкции [ править ]

24-ячейка может быть построена в радиальном направлении из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 1, которые пересекаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. [b] Они образуют 96 √ 1 тетраэдров (каждый из которых содержит одну 24-клеточную грань), и все они имеют общую 25-ю центральную вершину. Они образуют 24 октаэдрических пирамиды (полу-16 ячеек) с вершинами в центре.

24-ячейка может быть построена из 96 равносторонних треугольников с длиной ребра √ 2 , где три вершины каждого треугольника расположены на 90 ° =π/2подальше друг от друга. Они образуют 48 √ 2 тетраэдров (ячеек трех 16-ячеек ) с центром на 24 средних радиусах 24-ячеечной.

Отношения между внутренними многогранниками [ править ]

24 ячейки, три тессеракта и три 16 ячеек глубоко переплетены вокруг их общего центра и пересекаются в общем ядре. [ag] Тессеракты вписаны в 24-ячейку [ai] так , что их вершины и края являются внешними элементами 24-ячейки, но их квадратные грани и кубические ячейки лежат внутри 24-ячейки (они не являются элементами 24-ячеечная). 16-ячеек вписаны в 24-ячейку [aj] , так что только их вершины являются внешними элементами 24-ячейки: их ребра, треугольные грани и тетраэдрические ячейки лежат внутри 24-ячейки. Внутренние [ak] 16-клеточные ребра имеют длину √ 2 .

Рисунок Кеплера тетраэдров, вписанных в куб. [15]

16 ячеек также вписаны в тессеракты: их √ 2 ребра являются диагоналями граней тессеракта, а их 8 вершин занимают все остальные вершины тессеракта. В каждый тессеракт вписано по две 16-ячеек (занимающих противоположные вершины и диагонали граней), так что каждая 16-ячейка вписана в две из трех 8-ячеек. Это напоминает способ, которым в трех измерениях можно вписать два тетраэдра в куб, открытый Кеплером. [15] На самом деле это точная размерная аналогия ( полугиперкубы ), и 48 тетраэдрических ячеек вписаны в 24 кубических ячейки именно таким образом. [16]

24 ячейки заключают три тессеракта в оболочку октаэдрических граней, оставляя в некоторых местах 4-мерное пространство между своей оболочкой и оболочкой кубов каждого тессеракта. Каждый тессеракт включает в себя две из трех 16-ячеек, оставляя в некоторых местах 4-мерное пространство между его оболочкой и каждой 16-элементной оболочкой тетраэдров. Таким образом, существуют измеримые [4] 4-мерные промежутки [al] между оболочками из 24, 8 и 16 ячеек. Формы заполнения этих пробелов являются 4-пирамиды, [AM] упоминалось выше.

Пограничные ячейки [ править ]

Несмотря на 4-мерные промежутки между оболочками из 24, 8 и 16 ячеек, их трехмерные объемы перекрываются. Различные конверты в одних местах разделены, а в других - соприкасаются (где между ними нет четырех пирамид). Там, где они соприкасаются, они сливаются и разделяют клеточный объем: в этих местах они представляют собой одну и ту же 3-мембрану, а не два отдельных, а смежных трехмерных слоя. [ao] Так как конвертов всего 7, есть места, где несколько конвертов сходятся и объединяются в объем, а также места, где конверты пересекаются (пересекаются изнутри наружу друг друга).

Некоторые внутренние элементы находятся в пределах 3-х пространств внешней (внешней) граничной оболочки 24-ячеек: каждая октаэдрическая ячейка делится пополам на три перпендикулярных квадрата (по одному от каждого из тессерактов), а диагонали этих квадратов (пересекаются друг к другу перпендикулярно в центре октаэдра) - это ребра с 16 ячейками (по одному от каждой 16 ячеек). Каждый квадрат делит октаэдр пополам на две квадратные пирамиды, а также связывает две смежные кубические ячейки тессеракта вместе как их общую грань.

Как мы видели выше, 16-ячеечные √ 2 тетраэдрические ячейки вписаны в кубические ячейки тессеракта √ 1 и имеют одинаковый объем. 24-ячеечные √ 1 октаэдрические ячейки перекрывают свой объем √ 1 кубическими ячейками: они делятся пополам квадратной гранью на две квадратные пирамиды [17], вершины которых также лежат в вершине куба. [ap] Октаэдры имеют общий объем не только с кубами, но и с вписанными в них тетраэдрами; таким образом, 24 ячейки, тессеракты и 16 ячеек разделяют некоторый граничный объем. [an]

Как конфигурация [ править ]

Эта матрица конфигурации [18] представляет собой 24 ячейки. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всех 24 ячейках. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

Поскольку 24-элементный самодвойственный, его матрица идентична повороту на 180 градусов.

Симметрии, корневые системы и мозаики [ править ]

24 вершины 24-ячейки (красные узлы) и ее двойных (желтые узлы) представляют 48 корневых векторов группы F 4 , как показано на этой проекции плоскости Кокстера F 4.

[19]

В 24 корневых векторах D 4 корневой системы от простой группы Ли SO (8) образуют вершины 24-ячейки. Вершины можно увидеть в 3 гиперплоскостях , [водно] с 6 вершин октаэдра ячейки на каждом из внешних гиперплоскостей и 12 вершин кубооктаэдра на центральную гиперплоскости. Эти вершины в сочетании с 8 вершинами 16-ячейки представляют 32 корневых вектора простых групп Ли B 4 и C 4 .

48 вершин (или, строго говоря, их радиус-векторы) объединения 24-клетки и двойственной к ней, образуют корневую систему типа F 4 . 24 вершины исходной 24-ячейки образуют корневую систему типа D 4 ; его размер имеет соотношение √ 2 : 1. То же верно и для 24 вершин двойника. Полная группа симметрии 24-ячейки - это группа Вейля F 4 , которая порождается отражениями через гиперплоскости, ортогональные корням F 4 . Это разрешимая группа порядка 1152. Группа вращательной симметрии 24-ячейки имеет порядок 576.

Кватернионная интерпретация [ править ]

При интерпретации как кватернионы решетка корней F 4 (которая является целым промежутком вершин 24-ячейки) замкнута при умножении и, следовательно, является кольцом . Это кольцо целочисленных кватернионов Гурвица . Вершины 24-ячейки образуют группу единиц (т.е. группу обратимых элементов) в кватернионном кольце Гурвица (эта группа также известна как бинарная тетраэдрическая группа ). Вершины 24-ячейки - это в точности 24 кватерниона Гурвица с квадратом нормы 1, а вершины двойственной 24-ячейки - это вершины с квадратом нормы 2. Решетка корней D 4 является двойственной к F 4 и задается подкольцом кватернионов Гурвица с четным квадратом нормы.

Вершины других выпуклых правильных 4-многогранников также образуют мультипликативные группы кватернионов, но некоторые из них порождают решетку корней.

Ячейки Вороного [ править ]

В клетках Вороных этот D 4 корня решетки являются регулярной 24-клеткой. Соответствующее тесселяция Вороного дает тесселяцию 4-мерного евклидова пространства регулярными 24-ячеечными сотами . 24-ячейки центрированы в точках решетки D 4 (кватернионы Гурвица с четным квадратом нормы), а вершины находятся в точках решетки F 4 с квадратом нечетной нормы. Каждая 24-ячеечная мозаика имеет 24 соседа. С каждым из них он имеет общий октаэдр. У него также есть 24 других соседа, с которыми он разделяет только одну вершину. Восемь 24-ячеек встречаются в любой заданной вершине этой мозаики. Символ Шлефлидля этой мозаики - {3,4,3,3}. Это одна из трех обычных мозаик R 4 .

Блок шары , вписанные в 24-клетках этого тесселяция приводит к плотнейшей известной решетчатой упаковке из гиперсфер в 4 -х измерениях. Также было показано, что конфигурация вершин 24-элементной клетки дает максимально возможное число поцелуев в 4-х измерениях .

Радиально равносторонние соты [ править ]

Двойная мозаика сотовой структуры с 24 ячейками {3,4,3,3} представляет собой сотовую структуру с 16 ячейками {3,3,4,3} . Третья регулярная мозаика четырехмерного пространства - это тессератические соты {4,3,3,4} , вершины которых могут быть описаны 4-целыми декартовыми координатами. Конгруэнтные отношения между этими тремя мозаиками могут быть полезны при визуализации 24-элементной ячейки, в частности, радиальной равносторонней симметрии, которую он разделяет с тессерактом. [b]

Сота из 24 ячеек с единичной длиной ребра может быть наложена на соты из тессерактов с единичной длиной ребра так, что каждая вершина тессеракта (каждая 4-целая координата) также является вершиной 24-ячеечной ячейки (и тессеракта). ребра также являются ребрами с 24 ячейками), и каждый центр 24 ячеек также является центром тессеракта. [21] 24-ячейки вдвое больше тессерактов по 4-мерному содержанию (гиперобъем), так что в целом есть два тессеракта для каждых 24-ячеек, только половина из которых вписана в 24-ячейку. Если эти тессеракты окрашены в черный цвет, а соседние с ними тессеракты (с которыми они имеют общую кубическую грань) окрашены в красный цвет, получается четырехмерная шахматная доска. [22] Из 24 радиусов от центра до вершины [ар]Для каждой 24-ячейки 16 также являются радиусами черного тессеракта, вписанного в 24-ячейку. Остальные 8 радиусов простираются за пределы черного тессеракта (через центры его кубических граней) к центрам 8 смежных красных тессерактов. Таким образом, соты из 24 ячеек и соты тессерактики совпадают особым образом: 8 из 24 вершин каждой 24-ячейки не встречаются в вершине тессеракта (вместо этого они находятся в центре тессеракта). Каждый черный тессеракт вырезается из 24-ячеек путем его усечения в этих 8 вершинах, отсекая 8 кубических пирамид (как при обращении конструкции Госсета, [11]но вместо того, чтобы быть удаленными, пирамиды просто окрашиваются в красный цвет и остаются на месте). Восемь 24-ячеек встречаются в центре каждого красного тессеракта: каждая встречает свою противоположность в этой общей вершине, а шесть других - в общей октаэдрической ячейке.

Красные тессеракты - это заполненные ячейки (они содержат центральную вершину и радиусы); черные тессеракты - это пустые ячейки. Множество вершин этого объединения двух сот включает вершины всех 24 ячеек и тессерактов, а также центры красных тессерактов. Добавление центров с 24 ячейками (которые также являются центрами черного тессеракта) к этой соте дает соту с 16 ячейками, набор вершин которой включает все вершины и центры всех 24 ячеек и тессерактов. Ранее пустые центры смежных 24 ячеек становятся противоположными вершинами 16-ячеек с единичной длиной ребра. 24 полу-16-ячеек (октаэдрические пирамиды) встречаются в каждом ранее пустом центре, чтобы заполнить каждую 24-ячейку, а их октаэдрические основания - это 6-вершинные октаэдрические грани 24-ячеечной (общей со смежной 24-ячейкой).

Вращения [ править ]

Существуют три различных ориентации тессерактических сот, которые можно сделать так, чтобы они совпадали с 24-ячеечными сотами таким образом, в зависимости от того, какой из трех непересекающихся наборов из 24 ячеек из 8 ортогональных вершин (какой набор из 4 перпендикулярных осей) был выбран. чтобы выровнять его, точно так же, как три тессеракта могут быть вписаны в 24-ячейку, повернутую относительно друг друга. Расстояние от одной из этих ориентаций до другой представляет собой изоклиническое вращение на 60 градусов (двойное вращение на 60 градусов в каждой паре плоскостей ортогональных осей вокруг одной фиксированной точки). [au] Этот поворот наиболее отчетливо виден в гексагональных центральных плоскостях, где шестиугольник вращается, чтобы изменить, какой из трех его диаметров совмещен с осью системы координат. [j]

Прогнозы [ править ]

Параллельные проекции [ править ]

Проекционные конверты из 24 ячеек. (Каждая ячейка нарисована с разноцветными гранями, перевернутые ячейки не нарисованы)

Вершина первой параллельная проекция 24-клетки в 3-мерное пространство имеет ромбический додекаэдрический конверт . Двенадцать из 24 октаэдрических ячеек попарно проектируются на шесть квадратных дипирамид, которые встречаются в центре ромбического додекаэдра. Остальные 12 октаэдрических ячеек проецируются на 12 ромбических граней ромбического додекаэдра.

Клеток-первый параллельная проекция 24-клетки в 3-мерное пространство имеет кубооктаэдрический конверт. Две из октаэдрических ячеек, ближайшая и дальше от зрителя по w-ось, проецируются на октаэдр, вершины которого лежат в центре квадратных граней кубооктаэдра. Этот центральный октаэдр окружают выступы 16 других ячеек, имеющих 8 пар, каждая из которых выступает в один из 8 объемов, лежащих между треугольной гранью центрального октаэдра и ближайшей треугольной гранью кубооктаэдра. Остальные 6 ячеек выступают на квадратные грани кубооктаэдра. Это соответствует разложению кубооктаэдра на правильный октаэдр и 8 неправильных, но равных октаэдров, каждый из которых имеет форму выпуклой оболочки куба с удаленными двумя противоположными вершинами.

Края первых параллельная проекция имеет удлиненную гексагональную dipyramidal конверта, и лицо первого параллельную проекция имеет неоднородную гексагональную би- antiprismic огибающий.

Перспективные проекции [ править ]

Вершина первой перспективная проекция из 24-клетки в 3-мерное пространство имеет тетракис шестигранный конверт. Расположение ячеек на этом изображении похоже на изображение при параллельной проекции.

Следующая последовательность изображений показывает структуру трехмерной перспективной проекции 24-элементной ячейки. Точка обзора 4D размещена на расстоянии, в пять раз превышающем радиус центра вершины 24-ячейки.

Перспективная проекция Cell-first

На этом изображении ближайшая ячейка отображается красным цветом, а остальные ячейки обведены краями. Для ясности отбракованы клетки, направленные в противоположную сторону от точки обзора 4D.
На этом изображении четыре из 8 ячеек, окружающих ближайшую ячейку, показаны зеленым. Четвертая ячейка находится за центральной ячейкой с этой точки зрения (слегка различима, поскольку красная ячейка полупрозрачна).
Наконец, отображаются все 8 ячеек, окружающих ближайшую ячейку, причем последние четыре отображаются пурпурным цветом.
Обратите внимание, что эти изображения не включают ячейки, которые обращены в сторону от точки обзора 4D. Следовательно, здесь показаны только 9 ячеек. На дальней стороне 24-элементной ячейки находятся еще 9 ячеек в идентичном расположении. Остальные 6 ячеек лежат на «экваторе» 24 ячеек и соединяют два набора ячеек.

Стереографическая проекция
Трехмерная проекция 24-ячейки, выполняющей простое вращение .

Анимированный разрез 24-элементной

Стереоскопический 3D проекция icositetrachoron (24 клетки).
Воспроизвести медиа

Изометрическая ортогональная проекция: 8 ячеек (Тессеракт) + 16 ячеек = 24 ячейки

Ортогональные проекции [ править ]

орфографические проекции
Самолет КокстераП 4
График
Двугранная симметрия[12]
Самолет КокстераB 3 / A 2 (а)B 3 / A 2 (б)
График
Двугранная симметрия[6][6]
Самолет КокстераВ 4B 2 / A 3
График
Двугранная симметрия[8][4]

Визуализация [ править ]

24 ячейки ограничены 24 октаэдрическими ячейками . Для визуализации удобно, что октаэдр имеет противоположные параллельные грани (черта, которую он разделяет с ячейками тессеракта и 120-ячейкой ). Октаэдры можно сложить лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью 6 ячеек. Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. Выберите произвольную ячейку и назовите ее « Северный полюс ». Восемь меридианов большого круга (длиной в две ячейки) расходятся в трех измерениях, сходясь на 3-м южном полюсе."ячейка. Этот скелет составляет 18 из 24 ячеек (2 +  8 × 2 ). См. таблицу ниже.

В 24 ячейке есть еще один связанный большой круг , двойственный к предыдущему. Путь, который пересекает 6 вершин только по ребрам, находится в двойственном многограннике, который является самодвойственным многограннику. Это шестиугольные геодезические, описанные выше . Этим путем легко проследить изображение поперечного сечения экваториального кубооктаэдра .

Начиная с Северного полюса, мы можем построить 24 ячейки в 5 широтных слоях. За исключением полюсов, каждый слой представляет собой отдельную 2-сферу, а экватор - большую 2-сферу. Ячейки, помеченные экваториальными в следующей таблице, являются промежуточными по отношению к ячейкам большого круга меридиана. Промежуточные «экваториальные» ячейки касаются гранями ячеек меридиана. Они касаются друг друга и полюсных ячеек в их вершинах. Это последнее подмножество из восьми немеридиональных и полюсных ячеек имеет такое же относительное положение друг относительно друга, что и ячейки в тессеракте (8-ячейке), хотя они соприкасаются своими вершинами, а не гранями.

Слой #Количество ячеекОписаниеЖирностьОбласть, край
11 ячейкаСеверный полюс0 °Северное полушарие
28 ячеекПервый слой меридианных ячеек60 °
36 ячеекНемеридиональный / межстраничный90 °Экватор
48 ячеекВторой слой ячеек меридиана120 °Южное полушарие
51 ячейкаЮжный полюс180 °
Общий24 ячейки
Перспективная проекция ребро-центр, показывающая одно из четырех колец из 6 октаэдров вокруг экватора.

24-ячейка может быть разделена на непересекающиеся наборы из четырех из этих 6-элементных колец большого круга, образуя дискретное расслоение Хопфа из четырех взаимосвязанных колец. [24] Одно кольцо является «вертикальным» и включает в себя полюсные ячейки и четыре меридиональные ячейки. Каждое из трех других колец охватывает две экваториальные ячейки и четыре меридиональных ячейки, две из северного полушария и два из южного.

Обратите внимание, что этот путь большого круга шестиугольника подразумевает, что внутренний / двугранный угол между соседними ячейками составляет 180 - 360/6 = 120 градусов. Это говорит о том, что вы можете расположить ровно три 24 ячейки рядом друг с другом в плоскости и сформировать четырехмерную соту из 24 ячеек, как описано ранее.

Можно также пройти по маршруту большого круга через противоположные вершины октаэдров, длина которого составляет четыре клетки. Это квадратные геодезические вдоль четырех √ 2 хорд, описанных выше.. Этот путь соответствует переходу по диагонали через квадраты в поперечном сечении кубооктаэдра. 24-элементный многогранник - единственный правильный многогранник более чем в двух измерениях, где вы можете пересечь большой круг только через противоположные вершины (и внутреннюю часть) каждой ячейки. Этот большой круг самодвойственен. Этот путь был затронут выше относительно набора из 8 немеридиональных (экваториальных) и полюсных ячеек. 24 ячейки могут быть равнораспределены на три подмножества по 8 ячеек, каждое из которых имеет структуру тессеракта. Каждый из этих подмножеств может быть далее равнораспределен на две взаимосвязанные цепочки больших кругов длиной четыре ячейки. Вместе эти три подмножества теперь образуют другое, шестикольцевое дискретное расслоение Хопфа.

Три конструкции группы Кокстера [ править ]

Существуют две формы более низкой симметрии 24-элементной ячейки, производные от выпрямленной 16-ячейки , с симметрией B 4 или [3,3,4], нарисованной двухцветной с 8 и 16 октаэдрическими ячейками. Наконец, он может быть построен на основе симметрии D 4 или [3 1,1,1 ] и нарисован трехцветным с 8 октаэдрами в каждом.

Три сетки по 24-клеток с клетками окрашенных D 4 , B 4 и F 4 симметрии
Исправленный димитессерактВыпрямленный 16-элементныйОбычный 24-элементный
D 4 , [3 1,1,1 ], заказ 192B 4 , [3,3,4], заказ 384F 4 , [3,4,3], заказ 1152
Три набора из 8 выпрямленных тетраэдрических ячеекОдин набор из 16 выпрямленных тетраэдрических ячеек и один набор из 8 октаэдрических ячеек.Один набор из 24 октаэдрических ячеек
Фигура вершины
(каждое ребро соответствует одной треугольной грани, раскрашенной симметрично)

Связанные сложные многоугольники [ править ]

Регулярный комплекс многоугольника 4 {3} 4 ,CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png или же CDel узел h.pngCDel 6.pngCDel 4node.pngсодержит 24 вершины 24-ячейки и 24 4-ребра, которые соответствуют центральным квадратам 24 из 48 октаэдрических ячеек. Его симметрия 4 [3] 4 , порядок 96. [25]

Правильный комплексный многогранник 3 {4} 3 ,CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png или же CDel узел h.pngCDel 8.pngCDel 3node.png, in имеет реальное представление как 24-ячейка в 4-мерном пространстве. 3 {4} 3 имеет 24 вершины и 24 3-ребра. Его симметрия 3 [4] 3 , порядок 72.

Связанные фигуры в ортогональных проекциях
Имя{3,4,3}, CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png4 {3} 4 ,CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png3 {4} 3 ,CDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png
Симметрия[3,4,3], CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, заказ 11524 [3] 4 ,CDel 4node.pngCDel 3.pngCDel 4node.png, заказ 963 [4] 3 ,CDel 3node.pngCDel 4.pngCDel 3node.png, заказ 72
Вершины242424
Края96 2-кром.24 4-гранный24 3 кромки
Изображение
24 ячейки в плоскости Кокстера F4 с 24 вершинами в двух кольцах по 12 и 96 ребрами.
4 {3} 4 ,CDel 4node 1.pngCDel 3.pngCDel 4node.png имеет 24 вершины и 32 4-ребра, показанные здесь с 8 красными, зелеными, синими и желтыми квадратными 4-ребрами.
3 {4} 3 илиCDel 3node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png имеет 24 вершины и 24 3-ребра, показанные здесь с 8 красными, 8 зелеными и 8 синими квадратными 3-ребрами с синими заливками.

Связанные 4-многогранники [ править ]

Несколько однородных 4-многогранников могут быть получены из 24-ячеечного путем усечения :

  • усечение на 1/3 длины края дает усеченные 24 ячейки ;
  • усечение на 1/2 длины кромки дает выпрямленный 24-элементный ;
  • и усечение на половину глубины к двойным 24 ячейкам дает усеченные битами 24 ячейки , которые являются транзитивными ячейками .

96 ребер 24-ячеек можно разделить на золотое сечение, чтобы получить 96 вершин пренебрежительной 24-ячейки . Это делается путем размещения векторов по краям 24-ячеек таким образом, чтобы каждая двумерная грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разбивая каждое ребро на золотое сечение в направлении его вектора. Аналогичная модификация октаэдра дает икосаэдр или «курносый октаэдр».

24-ячейка - это уникальный выпуклый самодуальный правильный евклидов многогранник, который не является ни многоугольником, ни симплексом . Ослабление условия выпуклости допускает еще две фигуры: большую 120-элементную и большую звездчатую 120-элементную . Сам с собой он может образовывать многогранник : соединение двух 24-ячеек .

Связанные однородные многогранники [ править ]

D 4 однородная полихора
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngУзлы CDel 10lu.png		CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngУзлы CDel 11.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngУзлы CDel 10lu.png		CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngУзлы CDel 10lu.png		CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngУзлы CDel 11.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngУзлы CDel 10lu.png		CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png		CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngУзлы CDel 11.png
CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png		CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngУзлы CDel 11.png
CDel node 1.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 11.pngCDel node 1.png		CDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel split1.pngУзлы CDel hh.png
CDel узел h.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3 hh.pngCDel узел h.png
{3,3 1,1 }
ч {4,3,3}		2r {3,3 1,1 }
ч 3 {4,3,3}		т {3,3 1,1 }
ч 2 {4,3,3}		2т {3,3 1,1 }
ч 2,3 {4,3,3}		г {3,3 1,1 }
{3 1,1,1 } = {3,4,3}		rr {3,3 1,1 }
r {3 1,1,1 } = r {3,4,3}		tr {3,3 1,1 }
t {3 1,1,1 } = t {3,4,3}		sr {3,3 1,1 }
s {3 1,1,1 } = s {3,4,3}
24-элементные семейные многогранники
Имя24-элементныйусеченный 24-элементныйкурносый 24-элементныйвыпрямленный 24-элементныйнаклонный 24-элементныйусеченный битами 24 ячейкиусеченный 24-элементныйбеглый 24-элементныйусеченный 24-элементныйкомплексно усеченные 24 ячейки
Символ Шлефли{3,4,3}т 0,1 {3,4,3}
т {3,4,3}		с {3,4,3}т 1 {3,4,3}
r {3,4,3}		т 0,2 {3,4,3}
рр {3,4,3}		т 1,2 {3,4,3} 2
т {3,4,3}		t 0,1,2 {3,4,3}
tr {3,4,3}		т 0,3 {3,4,3}т 0,1,3 {3,4,3}т 0,1,2,3 {3,4,3}
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel узел h.pngCDel 3.pngCDel узел h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Диаграмма Шлегеля
П 4
В 4
В 3 (а)
В 3 (б)
В 2

24-элементный также может быть получен как выпрямленный 16-элементный:

Многогранники симметрии B4
Имятессерактисправленный тессерактусеченный тессерактскошенный тессерактбеглый тессерактусеченный битами тессерактусеченный тессерактусеченный тессерактполностью усеченный тессеракт
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png		CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png		CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Символ Шлефли{4,3,3}т 1 {4,3,3}
r {4,3,3}		т 0,1 {4,3,3}
т {4,3,3}		т 0,2 {4,3,3}
рр {4,3,3}		т 0,3 {4,3,3}т 1,2 {4,3,3} 2
т {4,3,3}		t 0,1,2 {4,3,3}
tr {4,3,3}		т 0,1,3 { 4,3,3 }т 0,1,2,3 { 4,3,3 }
Диаграмма Шлегеля
В 4
 
Имя16 ячееквыпрямленный 16-элементныйусеченный 16-элементныйскошенный 16-элементныйбеглый 16-клеточныйусеченный битами 16 ячеекусеченный 16-элементныйусеченный 16-элементныйусеченная 16-ячеечная
Диаграмма КокстераCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
знак равно CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png		CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
знак равно CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png		CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
знак равно CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png		CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png		CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png		CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
знак равно Узлы CDel 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png		CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Символ Шлефли{3,3,4}т 1 {3,3,4}
r {3,3,4}		т 0,1 {3,3,4}
т {3,3,4}		т 0,2 {3,3,4}
рр {3,3,4}		т 0,3 {3,3,4}т 1,2 {3,3,4} 2
т {3,3,4}		t 0,1,2 {3,3,4}
tr {3,3,4}		т 0,1,3 {3,3,4}т 0,1,2,3 {3,3,4}
Диаграмма Шлегеля
В 4
{3, п , 3} многогранники
КосмосS 3H 3
ФормаКонечныйКомпактныйПаракомпактНекомпактный
{3, п , 3}{3,3,3}{3,4,3}{3,5,3}{3,6,3}{3,7,3}{3,8,3}... {3, ∞, 3}
Изображение
Клетки
{3,3}
{3,4}
{3,5}
{3,6}
{3,7}
{3,8}
{3, ∞}

Фигура вершины
{3,3}
{4,3}
{5,3}
{6,3}
{7,3}
{8,3}
{∞, 3}

См. Также [ править ]

  • Octacube (скульптура)
  • Равномерный 4-многогранник # Семейство F4

Примечания [ править ]

  1. ^ 24-ячейка - это один из трех самодвойственных правильных евклидовых многогранников, которые не являются ни многоугольником, ни симплексом . Два других также являются 4-многогранниками, но не выпуклыми: большой звездчатый 120-элементный и большой 120-элементный .
  2. ^ a b c d e f g Длинный радиус (от центра до вершины) 24-ячейки равен длине ее края; таким образом, его длинный диаметр (от вершины к противоположной вершине) составляет 2 длины ребра. Лишь несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерный 24-элементный и тессеракт , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . (Кубооктаэдр - это экваториальное сечение 24-элементной ячейки, а шестиугольник - экваториальное сечение кубооктаэдра.) Радиально равносторонний многогранники - это такие многогранники, которые могут быть построены с их длинными радиусами из равносторонних треугольников, которые встречаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро.
  3. ^ Выпуклые правильные многогранники в первых четырех измерениях с 5 в символе Шлефли - это пятиугольник {5}, додекаэдр {5, 3}, 600-элементный {3,3,5} и 120-элементный {5 , 3,3}. Другими словами, 24-ячейка обладает всеми треугольными и квадратными элементами, которые существуют в четырех измерениях, за исключением обычных 5-ячеек, но ни одной из пятиугольных функций.
  4. ^ Выпуклые правильные 4-многогранники могут быть упорядочены по размеру как мера 4-мерного содержимого (гипертема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый, чем его предшественник, и включает больше содержимого [4] в пределах того же радиуса. 4-симплексный (5-элементный) наименьший предельный случай, а 120-элементный - самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку. Это обеспечивает альтернативную схему числового наименования для правильных многогранников, в которой 24-элементный многогранник является 24-точечным 4-многогранником: четвертым в возрастающей последовательности, которая проходит от 5-точечного 4-многогранника до 600-точечного 4-многогранника.
  5. ^ Длина кромки всегда будет отличатьсяесли предшественник и преемник не как в радиальном направлении равносторонняя, то есть их длина ребра это же , как их радиус (так как сохраняется). Поскольку радиально равносторонние многогранники [b] встречаются редко, кажется, что единственная такая конструкция (в любом измерении) - от 8-элементной до 24-элементной, что делает 24-элементный уникальный правильный многогранник (в любом измерении), который имеет такая же длина кромки, как и у предшественницы того же радиуса.
  6. ^ a b До 6 плоскостей могут быть взаимно ортогональными в 4-х измерениях. Трехмерное пространство вмещает только 3 перпендикулярные оси и 3 перпендикулярные плоскости, проходящие через одну точку. В 4-мерном пространстве у нас может быть 4 перпендикулярных оси и 6 перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку (по той же причине, что у тетраэдра 6 ребер, а не 4): есть 6 способов взять 4 измерения 2 за раз. Три такие пары (перпендикулярные плоскости) пересекаются в каждой вершине (по той же причине, что три ребра тетраэдра пересекаются в каждой вершине).
  7. ^ Края квадратов совпадают с линиями сетки этой системы координат. Например:
         (  0, –1,  1,  0)   (  0,  1,  1,  0)
         (  0, –1, –1,  0)   (  0,  1, –1,  0)
    - квадрат вплоскости xy. . Ребра квадратов не являются ребрами из 24 ячеек, это внутренние хорды, соединяющие две вершины,удаленные друг от друга на90 o ; поэтому квадраты - это просто невидимые конфигурации четырех вершин из 24 ячеек, а не видимые объекты с 24 ячейками.
  8. ^ a b c d Две плоскости в 4-мерном пространстве могут иметь четыре возможных взаимных положения: (1) они могут совпадать (быть в точности одной и той же плоскостью); (2) они могут быть параллельны (только так, чтобы они вообще не пересекались); (3) они могут пересекаться по одной линии, как две непараллельные плоскости в трехмерном пространстве; или (4) они могут пересекаться в одной точке: и они должны , если и только если они полностью [z] перпендикулярны ; это удивительная, парадоксальная вещь о том, как плоскости пересекаются в четырехмерном пространстве.
  9. ^ Края ортогональных экваториальных квадратов не совпадают с линиями сетки системы координат единичного радиуса. Квадраты действительно лежат в шести ортогональных плоскостях системы координат, но их края являются диагоналями √ 2 квадратов с единичной длиной ребра решетки координат. Например:                  (0,0,1,0)      (0, –1,0,0)(0,1,0,0)                  (0,0, –1,0) - квадрат вплоскости xy . Обратите внимание, что целое число 8
            
                     
          
    координаты составляют вершины 6 ортогональных квадратов.
  10. ^ a b c Перпендикулярные шестиугольники наклонены (наклонены) относительно ортогональных плоскостей системы координат единичного радиуса. Каждая плоскость содержит только одну из 4 осей системы координат. Шестиугольник состоит из 3 пар противоположных вершин (три диаметра по 24 ячейки): одна противоположная пара целочисленных координатных вершин (одна из четырех координатных осей) и две противоположные пары полуцелочисленных координатных вершин (не координатные оси). Например:
                     (   0,   0,   1,   0)
         (  1/2, -1/2,  1/2, -1/2)    (  1/2,  1/2,  1/2,  1/2)
         (-1/2, -1/2, -1/2, -1/2)    (-1/2,  1/2, -1/2,  1/2)
                     (   0,   0, –1,   0)
    - шестиугольник на оси y . В отличие от квадратов √ 2 , шестиугольники на самом деле состоят из ребер с 24 ячейками, поэтому они являются видимыми чертами 24-ячейки.
  11. ^ a b Конечно, трудно представить себе четыре шестиугольных плоскости, перпендикулярных друг другу. Их можно увидеть в кубооктаэдре (проекция 24-элементной ячейки в 3-мерном пространстве), где они кажутся находящимися под углом 60 градусов друг к другу. В трехмерной проекции два из 4 неортогональных шестиугольников пересекаются в каждой из 12 вершин, но на самом деле это 16 шестиугольников и 24 вершины. В четырех измерениях 4 неортогональных шестиугольника пересекаются в каждой вершине, но также четыре ортогональных шестиугольника пересекаются только в их общем центре, так что каждый из них проходит через непересекающийся набор из 6 из 24 вершин.
  12. ^ a b Эти треугольники лежат в тех же ортогональных плоскостях, что и шестиугольники; [j] в каждый шестиугольник вписаны два треугольника с длиной ребра √ 3 . Например, в координатах единичного радиуса:
                     (   0,   0,   1,   0)
         (  1/2, -1/2,  1/2, -1/2)    (  1/2,  1/2,  1/2,  1/2)
         (-1/2, -1/2, -1/2, -1/2)    (-1/2,  1/2, -1/2,  1/2)
                     (   0,   0, –1,   0)
    - два противоположных центральных треугольника на оси y , каждый из которых образован вершинами в чередующихся строках. В отличие от шестиугольников, треугольники √ 3 не состоят из настоящих 24-ячеечных ребер, поэтому они являются невидимыми элементами 24-ячеечного, как квадраты √ 2 .
  13. ^ a b Это не ортогональные плоскости системы координат; ребра этих треугольников длиной √ 3 являются диагоналями кубических ячеек с единичной длиной ребра, находящимися внутри 24-ячеек, но эти кубические (тессерактные) ячейки не выровнены с координатной решеткой единичного радиуса.
  14. ^ Они окружают вершину (в трехмерном пространстве граничной поверхности с 24 ячейками) так же, как 8 углов куба окружают его центр. ( Фигура вершины 24-клетки - это куб.)
  15. ^ Они окружают вершину в трехмерном пространстве так, как шесть углов октаэдра окружают его центр.
  16. ^ a b Внутренние объекты не считаются элементами многогранника. Например, центр 24-элементного элемента является заслуживающим внимания элементом (как и его длинные радиусы), но эти внутренние элементы не считаются элементами в его матрице конфигурации , которая учитывает только элементарные элементы (которые не являются внутренними для любой другой функции. включая сам многогранник). Элементы интерьера не отображаются на большинстве диаграмм и иллюстраций в этой статье (обычно они не видны). На иллюстрациях, показывающих внутренние элементы, мы всегда рисуем внутренние кромки пунктирными линиями, чтобы отличать их от элементарных кромок.
  17. ^ Б центральной вершины является каноническим апекс , потому что это одна длиной ребра равноудалено от обычных вершин в 4 - е измерения, так как вершина из канонической пирамиды является длиной ребра на равном расстоянии от других его вершин.
  18. ^ Таким образом, ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) - длины хорды вершин как тессеракта, так и 24-ячейки. Это также диаметры тессеракта (от короткого до длинного), но не 24-элементного.
  19. ^ Если расстояние Пифагора между любыми двумя вершинами равно √ 1 , их геодезическое расстояние равно 1; они могут быть двумя смежными вершинами (в искривленном 3-м пространстве поверхности) или вершиной и центром (в 4-м пространстве). Если их пифагорово расстояние равно √ 2 , их геодезическое расстояние равно 2 (будь то через 3-пространство или 4-пространство, потому что путь вдоль краев - это та же самая прямая линия с однимизгибом на90 o в качестве пути через центр). Если их Пифагора расстояние √ 3 , их геодезическое расстояние еще 2 (будьна гексагональной большой круг прошлом один 60 O изгибом, или в виде прямой линии с одним60 Oсогните его через центр). Наконец, если их пифагоровское расстояние равно √ 4 , их геодезическое расстояние по-прежнему равно 2 в 4-м пространстве (прямо через центр), но оно достигает 3 в 3-м пространстве (при обходе середины большого шестиугольного круга).
  20. ^ Б с д е В вершинной фигуре является грань , которая производится усечение вершины; канонически, на средних ребрах, инцидентных вершине. Но можно сделать похожие фигуры вершин разного радиуса, усекая их в любой точке вдоль этих ребер, вплоть до усечения в соседних вершинах, чтобы получить полноразмерную фигуру вершины. Это то, что служит здесь иллюстративной цели.
  21. ^ Восемь √ 1 ребер сходятся в 3-мерном пространстве из углов кубической вершины фигуры [t] из 24 клетоки встречаются в ее центре (вершине), где они образуют 4 пересекающиеся прямые линии. 8 вершин куба - это восемь ближайших других вершин 24-ячейки. Прямые - геодезические: две √ 1-длины отрезков явно прямой линии (в 3-м пространстве изогнутой поверхности 24-ячеек), которая изогнута в 4-м измерении в шестиугольник большого круга (в 4-м пространстве). Если представить себе изнутри этого изогнутого 3-мерного пространства, изгибы шестиугольников невидимы. Снаружи (если бы мы могли рассмотреть 24-ячейку в 4-м пространстве), прямые линии можно было бы увидеть изгибающимися в 4-м измерении в центрах куба, потому что центр смещен наружу в 4-м измерении за пределы определенной гиперплоскости. вершинами куба. Таким образом, вершинный куб на самом деле является кубической пирамидой .
  22. ^ Шесть √ 2 хорд сходятся в 3-м пространстве от центров граней кубической вершины [t] из 24 клетоки встречаются в ее центре (вершине), где они образуют 3 прямые, которые пересекаются перпендикулярно. 8 вершин куба - это восемь ближайших других вершин 24-ячейки, и восемьребер √ 1 сходятся оттуда, но давайте проигнорируем их сейчас, поскольку 7 прямых линий, пересекающихся в центре, затрудняют визуализацию всех сразу. Каждый из шести √ 2хорды проходят от центра этого куба (вершины) через центр грани к центру смежного (соединенного гранями) куба, который является другой вершиной 24-ячейки: не ближайшей вершиной (в углах куба), а одной расположен на расстоянии 90 ° во второй концентрической оболочке из шести вершин, отстоящих на √ 2, которая окружает первую оболочку из восьми вершин, удаленных на √ 1 . Центр грани, через который проходит хорда √ 2, является средней точкой хорды √ 2 , поэтому она находится внутри 24-ячейки.
  23. ^ Можно разрезать 24-ячейку на две равные части через 6 вершин (в любой шестиугольной плоскости большого круга) или через 4 вершины (в любой квадратной плоскости большого круга). Это можно увидеть в кубооктаэдре (центральной гиперплоскости 24-ячейки), где есть четыре больших шестиугольных круга (по краям) и шесть больших квадратных кругов (поперек квадратных граней по диагонали).
  24. ^ Восемь √ 3 хорд сходятся из углов кубической вершины [t] 24-ячейкии пересекаются в ее центре (вершине), где они образуют 4 пересекающиеся прямые линии. Каждая из восьмихорд √ 3 проходит от центра этого куба к центру диагонально смежного (связанного вершинами) куба, который является еще одной вершиной 24-ячеечной клетки: одна расположена на расстоянии 120 ° в третьей концентрической оболочке из восьми √ 3 -удаленные вершины, окружающие вторую оболочку из шести √ 2- удаленных вершин, которые окружают первую оболочку из восьми √ 1- удаленных вершин.
  25. ^ Каждая пара параллельных √ 1 ребер соединяет пару параллельных √ 3 хорд, образуя один из 48 прямоугольников, а каждая пара параллельных √ 2 хорд соединяет другую пару параллельных √ 2 хорд, образуя один из 18 квадратов.
  26. ^ a b Две плоские плоскости A и B четырехмерного евклидова пространства называются полностью ортогональными тогда и только тогда, когда каждая прямая в A ортогональна каждой прямой в B. В этом случае плоскости A и B пересекаются в одной точке O , так что если линия в A пересекается с линией в B, они пересекаются в O.
  27. ^ Каждая плоскость большого круга пересекается с другими плоскостями большого круга, к которым она не ортогональна на одномдиаметре √ 4 24-ячейки. Таким образом, два неортогональных квадрата или шестиугольника имеют две противоположные вершины, в отличие от двух ортогональных многоугольников большого круга, у которых нет общих точек, кроме их общего центра. Два неортогональных треугольника с большой окружностью имеют общую вершину, так как у них нет противоположных вершин.
  28. ^ 600-элементный больше, чем 24-элементный, и содержит 24-элементный элемент в качестве внутреннего элемента. [9] Правильный 5-клеточный многогранник не находится внутри любого выпуклого правильного 4-многогранника, кроме 120-клеточного , [10] хотя каждый 4-многогранник может быть разложен на неправильные 5-клетки.
  29. ^ Мы можем вырезать вершину многоугольника с помощью 0-мерного режущего инструмента (например, острия ножа или головки застежки-молнии), проведя ее вдоль одномерной линии, обнажая новый край. Мы можем вырезать вершину многогранника с помощью одномерного режущего края (например, ножа), проведя его через двумерную плоскость грани, открыв новую грань. Мы можем вырезать вершину полихорона (4-многогранника) с помощью 2-мерной плоскости сечения (как снегоочиститель), проведя ее через трехмерный объем ячейки, открыв новую ячейку. Обратите внимание, что как в пределах новой длины ребра многоугольника или области новой грани многогранника, каждая точка в пределах нового объема ячейки теперь отображается на поверхности полихорона.
  30. ^ Каждая плоскость грани ячейки пересекается с другими плоскостями граней своего типа, которым она не полностью ортогональна или параллельна на их характерном ребре хорды вершин. Может показаться парадоксальным, что смежные грани ячеек с ортогональными гранями (например, кубов) пересекаются по краю (что, очевидно, и происходит), поскольку плоскости не должны пересекаться в 4-м пространстве (кроме одной точки). если они полностью ортогональны. [h] Разрешение этого очевидного парадокса состоит в том, что смежные плоскости граней таких ячеек 4-многогранников не полностью [z]ортогонален в 4-м пространстве. Хотя их двугранный угол равен 90 градусам в граничном 3-пространстве, они лежат в одной и той же гиперплоскости (они совпадают, а не перпендикулярны в четвертом измерении); таким образом, они пересекаются по линии, как это делают непараллельные плоскости в любом трехмерном пространстве.
  31. ^ Единственные плоскости, проходящие ровно через 6 вершин 24-ячейки (не считая центральной вершины), - это 16 шестиугольных больших окружностей. Плоскостей, проходящих ровно через 5 вершин, нет. Есть несколько видов плоскостей, проходящих через ровно 4 вершины:большие квадратные круги18 √ 2, квадратныеграни72 √ 1 (тессеракт) и 144 √ 1 на √ 2 прямоугольника. Плоскости, проходящие через ровно 3 вершины, являютсягранями равностороннего треугольника96 √ 2 (16 ячеек) и гранейравностороннего треугольника96 √ 1 (24 ячейки).
  32. ^ Кубическая вершина [t] 24-ячейкибыла усечена до тетраэдрической вершины (см . Рисунок Кеплера ). Вершинный куб исчез, и теперь осталось только 4 угла вершинной фигуры, где раньше было 8. Четыре ребра тессеракта сходятся от вершин тетраэдра и встречаются в его центре, где они не пересекаются (поскольку тетраэдр не имеет противоположных сторон). вершины).
  33. ^ a b c Общее ядро ​​- это вписанные в пространство двойные 24 ячейки с длиной ребра и радиусом 1/2. Исправление любой из трех 16-ячеек показывает эти 24-ячеечные меньшего размера, которые имеют 4-содержимое только 1/8 (1/16 содержимого 24-ячеек). Его вершины лежат в центрах октаэдрических ячеек с 24 ячейками, которые также являются центрами квадратных граней тессерактов, а также центрами ребер 16 ячеек.
  34. ^ Кубическая фигура вершины [t] 24-ячейкибыла усечена до восьмигранной вершины. Вершинный куб исчез, и теперь есть только 6 углов вершинной фигуры, где раньше было 8. Хорды 6 √ 2, которые раньше сходились из центров граней куба, теперь сходятся из вершин октаэдра; но, как и раньше, они встречаются в центре, где перпендикулярно пересекаются 3 прямые линии. Вершины октаэдра расположены на 90 ° вне исчезнувшего куба, в новых ближайших вершинах; до усечения это были вершины из 24 ячеек во второй оболочке окружающих вершин.
  35. ^ 24 вершины 24-ячейки, каждая из которых используется дважды, являются вершинами трех 16-вершинных тессерактов.
  36. ^ 24 вершины 24-ячейки, каждая из которых используется один раз, являются вершинами трех 8-вершинных 16-ячеек.
  37. ^ Края 16 ячеек не показаны ни на одном из изображений в этой статье; если бы мы хотели показать внутренние края, их можно было бы нарисовать пунктирными линиями. Края вписанных тессерактов всегда видны, потому что они также являются краями 24-ячейки.
  38. ^ 4-мерное содержимое тессеракта с единичной длиной ребра равно 1 (по определению). Содержимое 24-ячеек с единичной длиной ребра равно 2, поэтому половина его содержимого находится внутри каждого тессеракта, а половина - между их оболочками. Каждая 16-ячеечная ячейка (длина края √ 2 ) включает в себя 2/3 содержимого, оставляя 1/3 закрывающего тессеракта между их оболочками.
  39. ^ Между 24-элементным конвертом и 8-элементным конвертом у нас есть 8 кубических пирамид конструкции Госсета. Между 8-ячеечной оболочкой и 16-элементной оболочкой у нас есть 16 правильных тетраэдрических пирамид , вершины которых заполняют углы тессеракта.
  40. ^ a b Рассмотрим три перпендикуляра √ 2 длинных диаметров октаэдрической ячейки. Две из них - это диагонали квадратной грани между двумя кубиками; каждая представляет собой хорду √ 2, которая соединяет две вершины этих 8-ячеечных кубов поперек квадратной грани, соединяет две вершины двух 16-ячеечных тетраэдров (вписанных в кубы) и соединяет две противоположные вершины 24-ячеечного октаэдра (по диагонали через два из трех ортогональных квадратных центральных участков). Третий перпендикулярный длинный диаметр октаэдра делает то же самое (по симметрии); таким образом, он также соединяет две вершины пары кубов поперек их общей квадратной грани (но другую пару кубов, отличную от одной из других тессерактов в 24-ячейке).
  41. ^ a b Поскольку в 24-ячейку вписаны три перекрывающихся тессеракта, каждая октаэдрическая ячейка лежит на кубической ячейке одного тессеракта (в кубической пирамиде, основанной на кубе, но не в объеме куба), и в двух кубических ячейках двух других тессерактов (которые он охватывает, разделяя их объем). [an]
  42. ^ Это может сначала показаться невозможным с угловой точки зрения, и действительно, это будет в плоском пространстве только трех измерений. Если два куба лежат лицом к лицу в обычном трехмерном пространстве (например, на поверхности стола в обычной трехмерной комнате), октаэдр поместится внутри них так, что четыре из шести его вершин будут в четырех точках. углы квадратной грани между двумя кубиками; но тогда две другие октаэдрические вершины не будут лежать в углу куба (они попадут в объем двух кубов, но не в вершину куба). В четырех измерениях это не менее верно! Две другие октаэдрические вершины нележат в углу соседнего куба со склеенными гранями в том же тессеракте. Однако в 24-ячейке есть не один вписанный тессеракт (из 8 кубов), а три перекрывающихся тессеракта (по 8 кубов каждый). Две другие октаэдрические вершины действительно лежат в углу куба, но куб находится в другом (перекрывающемся) тессеракте. [ао]
  43. ^ Один из способов визуализировать n -мерные гиперплоскости - это n -пространства, которые могут быть определены n + 1 точкой. Точка - это 0-пространство, которое определяется 1 точкой. Линия - это 1-пространство, которое определяется двумя не совпадающими точками. Плоскость - это 2-пространство, которое определяется 3 точками, не лежащими на одной прямой (любой треугольник). В 4-м пространстве 3-мерная гиперплоскость - это 3-мерное пространство, которое определяется 4 точками, которые не являются компланарными (любой тетраэдр). В 5-м пространстве 4-мерная гиперплоскость - это 4-мерное пространство, которое определяется 5 точками, которые не являются соклеточными (любые 5-клеточные). Эти симплексныеФигуры делят гиперплоскость на две части (внутри и снаружи рисунка), но, кроме того, они делят вселенную (ограничивающее пространство) на две части (выше и ниже гиперплоскости). В п точки связана конечный симплекс фигура (с внешней стороны), и они определяют бесконечную гиперплоскость (с внутренней стороны ). [20] Эти два деления ортогональны, поэтому определяющий симплекс делит пространство на шесть областей: внутри симплекса и в гиперплоскости, внутри симплекса, но выше или ниже гиперплоскости, вне симплекса, но в гиперплоскости, и вне симплекса выше. или ниже гиперплоскости.
  44. ^ Важно визуализировать радиусы только как невидимые внутренние элементы 24-ячейки (пунктирные линии), поскольку они не являются краями сот. Точно так же центр 24-ячейки пуст (не вершина соты).
  45. ^ Трехмерные вращения происходят вокруг оси.Вокруг плоскости могут происходить четырехмерные вращения . Таким образом, в трех измерениях мы можем складывать плоскости вокруг общей линии (как при складывании плоской сетки из 6 квадратов в куб), а в четырех измерениях мы можем складывать ячейки вокруг общей плоскости (как при складывании плоской сетки из 8 кубиков). вверх в тессеракт ). Складывание квадратной грани - это просто загибание сразу двух ее ортогональных краев одновременно ; для этого недостаточно места в трех измерениях, так же как в двух измерениях недостаточно места для сгиба вокруг линии (достаточно только для сгиба вокруг точки).
  46. ^ Существует (по крайней мере) два вида правильных размерных аналогий : обычный вид между размерностью n и размерностью n + 1, и гораздо более редкий и менее очевидный вид между размерностью n и размерностью n + 2. Примером последнего является то, что вращения в 4-м пространстве могут происходить вокруг одной точки, как и повороты в 2-м пространстве. Другим является правило n- сфер, согласно которому площадь поверхности сферы, вложенной в n + 2 измерения, ровно в 2 π r раз больше объема, заключенного сферой, вложенной в n.размеры, наиболее известные примеры заключаются в том, что длина окружности равна 2 π r умножить на 1, а площадь поверхности обычной сферы равна 2 π r умножить на 2 r . Кокстер цитирует [23] как пример, в котором размерная аналогия может подвести нас как метод, но на самом деле это наша неспособность признать, является ли одномерная или двухмерная аналогия подходящим методом.
  47. ^ Вращения в четырех измерениях могут происходить вокруг плоскости, например, когда соседние ячейки складываются вокруг своей плоскости пересечения (по аналогии с тем, как соседние грани складываются вокруг своей линии пересечения). [as] Но в четырех измерениях есть еще один способ вращения, который называется двойным вращением.. Двойное вращение - это возникающее явление в четвертом измерении и не имеет аналогии в трех измерениях: складывание квадратных граней и складывание кубических ячеек являются примерами простых вращений, единственного вида, который происходит менее чем в четырех измерениях. При трехмерном вращении точки на линии остаются фиксированными во время вращения, в то время как все остальные точки перемещаются. В четырехмерных простых поворотах точки на плоскости остаются фиксированными во время вращения, а все остальные точки перемещаются. В 4-мерном двойном вращении точка остается неподвижной во время вращения, а все остальные точки перемещаются (как при 2-мерном вращении!). Это одна из нескольких удивительных и противоречивых вещей о вращении в четырехмерном пространстве. [в]

Цитаты [ править ]

  1. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 118, Глава VII: Обыкновенные многогранники в более высоком пространстве.
  2. ^ Джонсон 2018 , стр. 249, 11,5.
  3. ^ Ghyka 1977 , стр. 68.
  4. ^ a b Coxeter 1973 , стр. 292-293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p, q, r } в четырех измерениях: [Бесценная таблица, содержащая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребер . Они должны быть алгебраически преобразованы для сравнения многогранников единичного радиуса.]
  5. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 302, Таблица VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: см. Столбец результатов
  6. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 156, §8.7. Декартовы координаты.
  7. ↑ Coxeter 1973 , pp. 145–146, §8.1 Простые усечения общего регулярного многогранника.
  8. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 298, Таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных твердых сечениях (§13.1); (i) участки {3,4,3} (ребра 2), начинающиеся с вершины; см. столбец а .
  9. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 153, 8.5. Конструкция Госсета для {3,3,5}: «Фактически, вершины {3,3,5}, каждая из которых взята по 5 раз, являются вершинами 25 {3,4,3}».
  10. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 304, Таблица VI (iv) II = {5,3,3}: Фасетирование {5,3,3} [120] 4 ] {3,3,5} 120-ячеек дает 120 обычных 5-ячеек.
  11. ^ а б Кокстер 1973 , стр. 150, Госсет.
  12. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 148, §8.2. Конструкция Чезаро для {3, 4, 3} ..
  13. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 302, таблица VI (ii) II = {3,4,3}, столбец результатов.
  14. ^ Косетер 1973 , стр. 149-150, §8.22. см. иллюстрации Рис. 8.2 A и Рис. 8.2 B
  15. ^ а б Кеплер 1619 , стр. 181.
  16. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 269, §14.32. «Например, в случае…»
  17. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 150: «Таким образом, 24 ячейки {3, 4, 3} являются дипирамидами, основанными на 24 квадратах. (Их центры - средние точки 24-х сторон.)»
  18. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 12, §1.8. Конфигурации.
  19. ^ Ван Ittersum 2020 , стр. 73-79, §4.2.
  20. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 120, §7.2 .: «... любые n +1 точки, не лежащие в ( n -1) -пространстве, являются вершинами n -мерного симплекса .... Таким образом, общий симплекс можно также определить как конечная область n -пространства, окруженная n +1 гиперплоскостями или ( n -1) -пространствами ».
  21. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 163: Кокстер отмечает, что Госсет был, по-видимому, первым, кто заметил, что ячейки 24-ячеечной соты {3,4,3,3} концентричны с чередующимися ячейками тессерактической сотовой структуры {4,3,3,4}, и что это наблюдение позволило Госсету построить полный набор правильных многогранников и сот.
  22. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 156: «... у шахматной доски есть n-мерный аналог».
  23. Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 119, §7.1. Пространственная аналогия: «Например, если увидеть, что окружность круга равна 2 π r , а поверхность сферы - 4 π r 2 , ... маловероятно, что использование аналогии, без помощи вычислений, когда-либо приведет к нас к правильному выражению, 2 π 2 r 3. "
  24. ^ Banchoff 2013 , стр. 265-266.
  25. Перейти ↑ Coxeter 1991 .

Ссылки [ править ]

  • Кеплер, Иоганнес (1619). Harmonices Mundi (Гармония мира) . Иоганн Планк.
  • Банчофф, Томас Ф. (2013). "Торические разложения правильных многогранников в 4-мерном пространстве". В Сенешале, Марджори (ред.). Формируя пространство . Springer Нью-Йорк. стр.  257 -266. DOI : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8.
  • Кокстер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  • Кокстер, HSM (1991), Регулярные комплексные многогранники (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета
  • Кокстер, HSM (1995), Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони С .; Вайс, Азия Ивич (ред.), Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Кокстера (2-е изд.), Публикация Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Документ 22) HSM Кокстер, Регулярные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • Гика, Матила (1977). Геометрия искусства и жизни . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-23542-4.
  • Джонсон, Норман (2018), Геометрии и преобразования , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-10340-5
  • Джонсон, Норман (1991), Унифицированные многогранники (рукопись под ред.)
  • Джонсон, Норман (1966), Теория однородных многогранников и сот (доктор философии).
  • Вайсштейн, Эрик В. «24 ячейки» . MathWorld . (также под Икоситетрахороном)
  • Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры) x3o4o3o - ico» .
  • Ольшевский, Георгий. «Икоситетрахорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
    • [1] [3,4,3]: Икоситетрахорон (22)
    • [2] [4,3,3]: Ректифицированный 16-элементный (22)
    • [3] [3 1,1,1 ]: Икоситетрахорон (22)
  • Der 24-Zeller (24-ячейка) Регулярные многогранники Марко Мёллера в R 4 (немецкий)
  • ван Иттерсум, Клара (2020). «Группы симметрий правильных многогранников в трех и четырех измерениях» . TUDelft .

Внешние ссылки [ править ]

  • 24-ячеечная анимация
  • 24 ячейки в стереографических проекциях
  • Описание и схемы из 24 ячеек
  • Додекагоны Петри в 24-ячейке: математические и анимационные программы
  • v
  • т
  • е
Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
СемьяА пB nI 2 (p) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
Правильный многоугольникТреугольникКвадратп-угольникШестиугольникПентагон
Равномерный многогранникТетраэдрОктаэдр • КубДемикубДодекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник5-элементный16 ячеек • ТессерактDemitesseract24-элементный120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник5-симплекс5-ортоплекс • 5-куб.5-полукуб
Равномерный 6-многогранник6-симплекс6-ортоплекс • 6-куб6-полукуб1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник7-симплекс7-ортоплекс • 7-куб7-полукруглый1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник8-симплекс8-ортоплекс • 8-куб.8-полукруглый1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник9-симплекс9-ортоплекс • 9-куб9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник10-симплекс10-ортоплекс • 10-куб10-полукуб
Равномерное n - многогранникn - симплексn - ортоплекс • n - кубn - demicube1 к2 • 2 к1 • к 21n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений