Ромбический додекаэдр

Ромбический додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Каталонский твердый
Диаграмма Кокстера
Обозначение Конвея	jC
Тип лица	V3.4.3.4 ромб
Лица	12
Края	24
Вершины	14
Вершины по типу	8 {3} +6 {4}
Группа симметрии	O h , B 3 , [4,3], (* 432)
Группа вращения	О, [4,3] + , (432)
Двугранный угол	120 °
Характеристики	выпуклый, гранно-транзитивный равногранный , изотоксальный , параллелоэдр
Кубооктаэдр ( двойственный многогранник )	Сеть

3d модель ромбического додекаэдра

В геометрии , то ромбический додекаэдр является выпуклым многогранник с 12 конгруэнтных ромбическими лиц . У него 24 ребра и 14 вершин двух типов. Это Каталонский твердое и двойственный многогранник из кубооктаэдр .

Свойства [ править ]

Ромбический додекаэдр - это зоноэдр . Его многогранный двойник - кубооктаэдр . Длинную диагональ каждой грани ровно √ 2 раза больше длины короткой диагонали, так что острые углы на каждой грани ( с мерой агссоз1/3), или примерно 70,53 °.

Будучи двойственным к архимедову многограннику , ромбический додекаэдр является гранно-транзитивным , что означает, что группа симметрии твердого тела транзитивно действует на множестве граней. В элементарных терминах это означает, что для любых двух граней A и B существует вращение или отражение твердого тела, в результате чего оно занимает одну и ту же область пространства при перемещении грани A к грани B.

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как выпуклую оболочку объединения вершин куба и октаэдра. 6 вершин, где встречаются 4 ромба, соответствуют вершинам октаэдра, а 8 вершин, в которых встречаются 3 ромба, соответствуют вершинам куба.

Ромбический додекаэдр является одним из девяти реберно-транзитивных выпуклых многогранников, остальные - это пять Платоновых тел , кубооктаэдр , икосододекаэдр и ромбический триаконтаэдр .

Ромбический додекаэдр можно использовать для мозаичного построения трехмерного пространства. Его можно сложить, чтобы заполнить пространство так же, как шестиугольники заполняют плоскость.

Этот многогранник в пространстве заполнения тесселяции можно рассматривать как Вороную тесселяцию в гранецентрированной кубической решетке . Это зона Бриллюэна объемно-центрированных кубических (ОЦК) кристаллов. Некоторые минералы, такие как гранат, образуют ромбический додекаэдрический кристалл . Как отметил Иоганн Кеплер в своей книге о снежинках 1611 года ( Strena seu de Nive Sexangula ), медоносные пчелы используют геометрию ромбических додекаэдров для формирования сот из мозаики ячеек, каждая из которых представляет собой шестиугольную призму, покрытую половиной ромбического додекаэдра. Ромбический додекаэдр также появляется в элементарных ячейкахалмаз и алмазоиды . В этих случаях четыре вершины (чередующиеся тройные) отсутствуют, но химические связи лежат на остальных ребрах. ^[1]

График ромбического додекаэдра негамильтонов .

Ромбический додекаэдр можно разрезать центром на 4 тригональных трапеции . Эти ромбоэдры являются ячейками треугольных трапециевидных сот . Это аналогично рассечению правильного шестиугольника, разрезанного на ромбы и выложенного на плоскости ромбиком .

В коллекциях Лувра есть матрица в форме ромбического додекадрона, датируемая Птолемеевым Египтом . Грани начертаны греческими буквами, представляющими числа от 1 до 12: Α Β Γ Δ Ε Ζ Ϛ Η Θ Ι ΙΑ ΙΒ. Функция матрицы неизвестна. ^[2]

• Ромбический додекаэдр

• Ромбически рассеченный шестиугольник

• Гранатовый кристалл

• На этой анимации показано построение ромбического додекаэдра из куба путем инвертирования пирамид с центральными гранями куба.

Размеры [ править ]

Если длина край ромбического додекаэдра , то радиус из вписанного шара ( касательной к каждой из граней ромбического додекаэдра в) является

${\ displaystyle r _ {\ mathrm {i}} = {\ frac {\ sqrt {6}} {3}} a \ приблизительно 0,816 \, 496 \, 5809a,}$ OEIS :  A157697

а радиус средней сферы равен

${\ displaystyle r _ {\ mathrm {m}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} a \ приблизительно 0,942 \, 809 \, 041 \, 58a,}$ OEIS :  A179587 .

Площадь и объем [ править ]

Площадь A и объем V ромбического додекаэдра с длиной ребра a равны:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 8 {\ sqrt {2}} a ^ {2} \ приблизительно 11.313 \, 7085a ^ {2} \\ V & = {\ frac {16 {\ sqrt {3}} } {9}} a ^ {3} \ приблизительно 3.079 \, 201 \, 44a ^ {3} \ end {align}}}$

Ортогональные проекции [ править ]

Ромбического додекаэдра имеет четыре специальные ортогональные проекции вдоль его оси симметрии , сосредоточенных на лице, кромки, и два типа вершин, в три раза и в четыре раза. Последние два соответствуют самолетам Кокстера B ₂ и A ₂ .

Декартовы координаты [ править ]

Восемь вершин, где три грани встречаются под тупыми углами, имеют декартовы координаты :

(± 1, ± 1, ± 1)

Координаты шести вершин, где четыре грани встречаются под острыми углами:

(± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0) и (0, 0, ± 2)

Ромбический додекаэдр можно рассматривать как вырожденный предельный случай пиритоэдра с перестановкой координат (± 1, ± 1, ± 1) и (0, 1 + h , 1 - h ² ) с параметром h  = 1.

Топологически эквивалентные формы [ править ]

Параллелоэдр [ править ]

Ромбического додекаэдра является параллелоэдр , А пространство заполнения полиэдр , dodecahedrille , будучи двойственной к tetroctahedrille или половину кубического соты , и описываются двумя схемами Кокстера : и . При симметрии D _3d его можно рассматривать как удлиненный тригональный трапецоэдр .

Двугранный ромбический додекаэдр [ править ]

Другие конструкции симметрии ромбического додекаэдра также заполняют пространство, и как параллелоэдры они похожи на вариации заполняющих пространство усеченных октаэдров . ^[3]

Например, с 4 квадратными гранями и ромбическими гранями под _углом 60 градусов и двугранной симметрией D _4h , порядок 16. Его можно рассматривать как кубооктаэдр с квадратными пирамидами, увеличенными сверху и снизу.

Додекаэдр Билинского [ править ]

В 1960 году Станко Билински открыл второй ромбический додекаэдр с 12 конгруэнтными гранями ромба, додекаэдр Билински . Он имеет ту же топологию, но другую геометрию. Ромбические грани в этой форме имеют золотое сечение . ^{[4] [5]}

Дельтоидальный додекаэдр [ править ]

Другая топологически эквивалентная вариация, иногда называемая дельтоидальным додекаэдром ^[6] или трапециевидным додекаэдром , ^{[7] [8],} является изоэдрической с тетраэдрическим порядком симметрии 24, искажая ромбические грани в воздушных змеев (дельтоидов). Он имеет 8 вершин, смещенных внутрь или наружу в альтернативных наборах по 4, с предельным случаем тетраэдрической огибающей. Вариации можно параметризовать с помощью ( a , b ), где b и a зависят друг от друга, так что тетраэдр, определяемый четырьмя вершинами грани, имеет нулевой объем, то есть является плоской гранью. (1,1) - ромбическое решение. Как ( а) подходы 1/2, ( б ) стремится к бесконечности. Всегда держит1/а + 1/б = 2, причем a, b> 1/2.

(± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0), (0, 0, ± 2)

( а , а , а ), (- а , - а , а ), (- а , а , - а ), ( а , - а , - а )

(- b , - b , - b ), (- b , b , b ), ( b , - b , b ), ( b , b , - b )

Связанные многогранники [ править ]

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 1,1 }	т {3,4} т {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 1,1 }
		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно
Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

При проецировании на сферу (см. Справа) можно увидеть, что ребра составляют ребра двух тетраэдров, расположенных в их двойных положениях (стелла octangula). Эта тенденция продолжается с дельтоидальным икоситетраэдром и дельтоидальным гексеконтаэдром для двойных пар других правильных многогранников (наряду с треугольной бипирамидой, если следует учитывать неправильные мозаики), давая этой форме альтернативное систематическое название дельтоидного додекаэдра .

Этот многогранник является частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с симметрией [ n , 3] группы Кокстера . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы представляют собой квадраты.

Точно так же это относится к бесконечной серии мозаик с конфигурациями граней V3.2 n .3.2 n , первая в евклидовой плоскости, а остальные - в гиперболической плоскости.

Stellations [ править ]

Как и многие выпуклые многогранники, ромбический додекаэдр можно сделать звездчатым, если удлинить грани или ребра до тех пор, пока они не встретятся, чтобы сформировать новый многогранник. Несколько таких звездочек были описаны Дорманом Люком. ^[9]

Первая звездчатая форма, которую часто называют просто звездчатым ромбическим додекаэдром , хорошо известна. Его можно рассматривать как ромбический додекаэдр с каждой гранью, увеличенной путем присоединения к нему пирамиды с ромбической основой, с такой высотой пирамиды, что стороны лежат в плоскостях граней соседних граней:

• Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра

• 3D модель разложения на 12 пирамид и 4 полукуба

Лука описывает еще четыре звездообразные формы: вторую и третью звездчатые (расширяющиеся наружу), одна из которых образована удалением второй из третьей, а другая - добавлением исходного ромбического додекаэдра к предыдущему.

Связанные многогранники [ править ]

Ромбический додекаэдр образует оболочку проекции тессеракта с первой вершиной на три измерения. Есть ровно два способа разложения ромбического додекаэдра на четыре конгруэнтных ромбоэдра , давая восемь возможных ромбоэдров в качестве проекций тессерактов из 8 кубических ячеек. Один набор проективных векторов: u = (1,1, -1, -1), v = (- 1,1, -1,1), w = (1, -1, -1,1).

Ромбический додекаэдр образует максимальное поперечное сечение 24-ячейки , а также образует оболочку его параллельной проекции, обращенной к вершине, в трех измерениях. Ромбический додекаэдр можно разложить на шесть конгруэнтных (но нерегулярных) квадратных дипирамид, встречающихся в одной вершине в центре; они образуют изображения шести пар октаэдрических ячеек с 24 ячейками. Остальные 12 октаэдрических ячеек выступают на грани ромбического додекаэдра. Неравномерность этих изображений обусловлена ​​проективным искажением; грани 24-ячейки - правильные октаэдры в 4-пространстве.

Это разложение дает интересный метод построения ромбического додекаэдра: разрезать куб на шесть равных квадратных пирамид и прикрепить их к граням второго куба. Треугольные грани каждой пары соседних пирамид лежат в одной плоскости и таким образом сливаются в ромбы. 24-ячейка также может быть сконструирована аналогичным образом с использованием двух мозаик . ^[10]

Практическое использование [ править ]

В компоновке реактивного колеса космического корабля обычно используется четырехгранная конфигурация четырех колес. Для колес, которые работают одинаково (с точки зрения максимального крутящего момента и максимального углового момента) в обоих направлениях вращения и по всем четырем колесам, максимальный крутящий момент и максимальный крутящий момент для 3-осевой системы управления ориентацией (с учетом идеализированных приводов) задаются путем проецирования тессеракт , представляющий пределы крутящего момента или импульс каждого колеса в 3D пространства через матрицу колесных осей 3 × 4; полученный трехмерный многогранник представляет собой ромбический додекаэдр. ^[11] Такое расположение реактивных колес - не единственная возможная конфигурация (более простое расположение состоит из трех колес, установленных для вращения вокруг ортогональных осей), но оно дает преимущество в обеспечении избыточности для смягчения отказа одного из четырех колес (с ухудшенными общими характеристиками. доступный с оставшихся трех активных колес) и в обеспечении более выпуклой оболочки, чем куб, что приводит к меньшей зависимости маневренности от направления оси (с точки зрения привода / установки). Массовые характеристики космического корабля влияют на общий импульс и маневренность системы, поэтому уменьшение отклонения границы оболочки не обязательно приводит к увеличению однородности предпочтительных смещений осей (то есть даже при идеально распределенном пределе характеристик внутри подсистемы исполнительного механизма предпочтительные оси вращения не обязательно являются произвольными. на системном уровне).

Художественная галерея [ править ]

• Вращающийся ромбический додекаэдр

• Анимация с трассировкой лучей вращающегося ромбического додекаэдра и его каркаса.

См. Также [ править ]

• Додекаэдр
• Ромбический триаконтаэдр
• Усеченный ромбический додекаэдр
• 24-элементный - 4D аналог ромбического додекаэдра
• Строительные системы архимеда
• Полностью усеченный ромбический додекаэдр

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9780511569371 . ISBN 978-0-521-54325-5. Руководство по ремонту  0730208 . (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, Ромбический додекаэдр)
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, ромбический додекаэдр) 

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайсштейн , Ромбический додекаэдр ( каталонское твердое тело ) в MathWorld .
• Многогранники виртуальной реальности - Энциклопедия многогранников

Компьютерные модели [ править ]

• Относительно ромбический триаконтаэдр и ромбический додекаэдр , ромбический додекаэдр 5-соединения и ромбический додекаэдр 5-соединение по Шандору Кабай, Вольфрам Demonstrations проект .

Бумажные проекты [ править ]

• Календарь из ромбических додекаэдров - сделайте календарь из ромбических додекаэдров без клея
• Другой календарь из ромбических додекаэдров, сделанный из бумажных полосок

Практическое применение [ править ]

• Институт Архимеда Примеры реальных проектов жилищного строительства с использованием этой геометрии