Каталонский твердый

Тетраэдр Triakis , пятиугольный икоситетраэдр и триаконтаэдр disdyakis .

Твердые тела выше (темные) показаны вместе с их двойниками (светлые). Видимые части каталонских тел - правильные пирамиды .

Ромбический додекаэдр с ее лицевой стороны .

В математике , А Каталонское твердое вещество , или архимедов двойной , является двойственным многогранником с архимедова твердого вещества . Всего 13 каталонских твердых тел. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Каталана , который впервые описал их в 1865 году.

Все каталонские твердые тела выпуклые. Они транзитивны по граням, но не по вершинам . Это связано с тем, что двойственные архимедовы тела транзитивны по вершинам и не по граням. Обратите внимание, что в отличие от Платоновых тел и Архимедовых тел , грани каталонских тел не являются правильными многоугольниками . Однако вершинные фигуры каталонских тел правильные и имеют постоянные двугранные углы . Каталонские твердые тела, будучи гранно-транзитивными, являются изоэдрами .

Кроме того, два каталонских тела являются реберно-транзитивными : ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Это двойники двух квазирегулярных архимедовых тел.

Так же, как призмы и антипризмы обычно не считаются архимедовыми твердыми телами, так и бипирамиды и трапецоэдры обычно не считаются каталонскими твердыми телами, несмотря на то, что они транзитивны по граням.

Два каталонских твердых тела являются хиральными : пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексеконтаэдр , двойственные киральному курносому кубу и курносому додекаэдру . Каждый из них бывает двух энантиоморфов . Не считая энантиоморфов, бипирамид и трапецоэдров, всего существует 13 каталонских твердых тел.

Симметрия [ править ]

Каталонские твердые тела вместе с их двойными архимедовыми телами могут быть сгруппированы в те, которые обладают тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией. Как для октаэдрической, так и для икосаэдрической симметрии существует шесть форм. Единственное каталонское твердое тело с подлинной тетраэдрической симметрией - это триакис-тетраэдр (двойственный усеченному тетраэдру ). Ромбический додекаэдр и тетракис-гексаэдр обладают октаэдрической симметрией, но их можно раскрашивать, чтобы иметь только тетраэдрическую симметрию. Выпрямление и курносый также существуют с тетраэдрической симметрией, но они платонические.вместо Архимеда, поэтому их двойники платонические, а не каталонские. (Они показаны на коричневом фоне в таблице ниже.)

Список [ править ]

Геометрия [ править ]

Все двугранные углы каталонского твердого тела равны. Обозначая их значение и обозначая угол лица в вершинах, где встречаются грани , мы имеем${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$

${\ Displaystyle \ грех (\ тета / 2) = \ соз (\ пи / р) / \ соз (\ альфа _ {р} / 2)}$.

Это может быть использовано для вычисления и , ..., с , ... только.${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$${\ displaystyle \ alpha _ {q}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Треугольные грани [ править ]

Из 13 каталонских тел 7 имеют треугольные грани. Они имеют вид Vp.qr, где p, q и r принимают свои значения из 3, 4, 5, 6, 8 и 10. Углы , и могут быть вычислены следующим образом. Помещенный , , и положить ${\ displaystyle \ alpha _ {p}}$${\ displaystyle \ alpha _ {q}}$${\ displaystyle \ alpha _ {r}}$${\ Displaystyle а = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / р)}$${\ Displaystyle б = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / д)}$${\ Displaystyle с = 4 \ соз ^ {2} (\ пи / г)}$

${\ displaystyle S = -a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} + 2ab + 2bc + 2ca}$.

потом

${\ displaystyle \ cos (\ alpha _ {p}) = {\ frac {S} {2bc}} - 1}$,

${\displaystyle \sin(\alpha _{p}/2)={\frac {-a+b+c}{2{\sqrt {bc}}}}}$.

Для и выражения, конечно же, похожи. Двугранный угол может быть вычислен из ${\displaystyle \alpha _{q}}$${\displaystyle \alpha _{r}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos(\theta )=1-2abc/S}$.

Применение этого, например, к триаконтаэдру дисдякиса ( , и , следовательно , и , где - золотое сечение ) дает и .${\displaystyle p=4}$${\displaystyle q=6}$${\displaystyle r=10}$${\displaystyle a=2}$${\displaystyle b=3}$${\displaystyle c=\phi +2}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {2-\phi }{6(2+\phi )}}={\frac {7-4\phi }{30}}}$${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-10-7\phi }{14+5\phi }}={\frac {-48\phi -155}{241}}}$

Четырехугольные грани [ править ]

Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехугольные грани. Они имеют вид Vp.qpr, где p, q и r принимают свои значения из 3, 4 и 5. Угол можно вычислить по следующей формуле:${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {2\cos ^{2}(\pi /p)-\cos ^{2}(\pi /q)-\cos ^{2}(\pi /r)}{2\cos ^{2}(\pi /p)+2\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}}}$.

Из этого , а двугранный угол может быть легко вычислен. В качестве альтернативы, положить , , . Тогда и можно найти, применив формулы для треугольного случая. Конечно, угол можно вычислить аналогичным образом. Лица - воздушные змеи , а если и ромбы . Применяя это, например, к дельтовидному икоситетраэдру ( , и ), получаем .${\displaystyle \alpha _{q}}$${\displaystyle \alpha _{r}}$${\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}$${\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}$${\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /p)+4\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}$${\displaystyle \alpha _{p}}$${\displaystyle \alpha _{q}}$${\displaystyle \alpha _{r}}$${\displaystyle q=r}$${\displaystyle p=4}$${\displaystyle q=3}$${\displaystyle r=4}$${\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}}$

Пятиугольные грани [ править ]

Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.pppq, где p = 3 и q = 4 или 5. Угол можно вычислить, решив уравнение третьей степени:${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle 8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{3}(\alpha _{p})-8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{2}(\alpha _{p})+\cos ^{2}(\pi /q)=0}$.

Свойства показателя [ править ]

Для твердого каталонского пусть сопряженное относительно midsphere из . Тогда есть архимедово твердое тело с той же средней сферой. Обозначим длину краев через . Позвольте быть внутренним радиусом граней , средним радиусом и , внутренним радиусом и окружным радиусом . Тогда эти величины можно выразить через двугранный угол и следующим образом:${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle r_{m}}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle r^{2}={\frac {l^{2}}{8}}(1-\cos \theta )}$,

${\displaystyle r_{m}^{2}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{i}^{2}={\frac {l^{2}}{8}}{\frac {(1-\cos \theta )^{2}}{1+\cos \theta }}}$,

${\displaystyle r_{c}^{2}={\frac {l^{2}}{2}}{\frac {1}{1+\cos \theta }}}$.

Эти количества связаны между собой , и . ${\displaystyle r_{m}^{2}=r_{i}^{2}+r^{2}}$${\displaystyle r_{c}^{2}=r_{m}^{2}+l^{2}/4}$${\displaystyle r_{i}r_{c}=r_{m}^{2}}$

В качестве примера, пусть это будет кубооктаэдр с длиной ребра . Тогда - ромбический додекаэдр. Применяя формулу для четырехугольных граней с и дает , следовательно , , , .${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle l=1}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle p=4}$${\displaystyle q=r=3}$${\displaystyle \cos \theta =-1/2}$${\displaystyle r_{i}=3/4}$${\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$${\displaystyle r_{c}=1}$${\displaystyle r={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}}$

Все вершины типа лежат на сфере радиуса, равного${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r_{c,p}}$

${\displaystyle r_{c,p}^{2}=r_{i}^{2}+{\frac {2r^{2}}{1-\cos \alpha _{p}}}}$,

и аналогично для .${\displaystyle q,r,\ldots }$

Таким образом, есть сфера, которая касается всех граней правильных -угольников (и аналогично для ) в их центре. Радиус этой сферы определяется выражением${\displaystyle {\bf {A}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q,r,\ldots }$${\displaystyle r_{i,p}}$

${\displaystyle r_{i,p}^{2}=r_{m}^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}\cot ^{2}(\pi /p)}$.

Эти два радиуса связаны соотношением . Продолжая приведенный выше пример: и , что дает , , и .${\displaystyle r_{i,p}r_{c,p}=r_{m}^{2}}$${\displaystyle \cos \alpha _{3}=-1/3}$${\displaystyle \cos \alpha _{4}=1/3}$${\displaystyle r_{c,3}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle r_{c,4}={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}}$${\displaystyle r_{i,3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle r_{i,4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Если - вершина типа , ребро, начинающееся с , и точка, где ребро касается середины сферы , обозначьте расстояние как . Тогда ребра стыковки вершин типа и типа имеют длину . Эти количества могут быть вычислены с помощью${\displaystyle P}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\prime }}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle PP^{\prime }}$${\displaystyle l_{p}}$${\displaystyle {\bf {C}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}}$

${\displaystyle l_{p}={\frac {l}{2}}{\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\alpha _{p}/2)}}}$,

и аналогично для . Продолжая предыдущий пример: , , , , так что края ромбического додекаэдра имеют длину .${\displaystyle q,r,\ldots }$${\displaystyle \sin(\alpha _{3}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle \sin(\alpha _{4}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$${\displaystyle l_{3}={\frac {1}{8}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle l_{4}={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}}$${\displaystyle l_{3,4}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}$

Двугранные углы между -угольными и -гональными гранями удовлетворяют${\displaystyle \alpha _{p,q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\bf {A}}}$

${\displaystyle \cos \alpha _{p,q}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {\cot(\pi /p)\cot(\pi /q)}{r_{m}^{2}}}-{\frac {r_{i,p}r_{i,q}}{r_{m}^{2}}}={\frac {l_{p}l_{q}-r_{m}^{2}}{r_{c,p}r_{c,q}}}}$.

Завершая пример с ромбическим додекаэдром, двугранный угол кубооктаэдра равен .${\displaystyle \alpha _{3,4}}$${\displaystyle \cos \alpha _{3,4}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$

Применение к другим твердым телам [ править ]

Все формулы этого раздела применимы к Платоновым телам , а также к бипирамидам и трапецоэдрам с равными двугранными углами, потому что они могут быть получены только из свойства постоянного двугранного угла. Для пятиугольного трапецоэдра , например, с гранями V3.3.5.3, получаем , или . Это неудивительно: можно отрезать обе вершины так, чтобы получился правильный додекаэдр .${\displaystyle \cos(\alpha _{3})={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}}$${\displaystyle \alpha _{3}=108^{\circ }}$

См. Также [ править ]

• Список однородных мозаик Показывает двойные однородные многоугольные мозаики, похожие на каталонские тела.
• Обозначение многогранника Конвея Процесс построения обозначений
• Архимедово твердое тело
• Джонсон солид

Ссылки [ править ]

• Эжен Каталонская Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Париж) 41, 1-71, 1865.
• Алан Холден Формы, пространство и симметрия . Нью-Йорк: Довер, 1991.
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту  0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники)
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с каталонскими твердыми телами .

• Вайсштейн, Эрик В. «Каталонские твердые тела» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . MathWorld .
• Каталонские твердые тела - в визуальных многогранниках
• Архимедовы двойники - на многогранниках виртуальной реальности
• Интерактивный каталонский солид на Java
• Ссылка для скачивания оригинальной публикации Каталонии за 1865 год - с красивыми рисунками, в формате PDF.