Курносый додекаэдр

Курносый додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	(20 + 60) {3} +12 {5}
Обозначение Конвея	sD
Символы Шлефли	sr {5,3} или ${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
	ht 0,1,2 {5,3}
Символ Wythoff	| 2 3 5
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Я ,1/2H 3 , [5,3] + , (532), порядок 60
Группа вращения	I , [5,3] + , (532), порядок 60
Двугранный угол	3-3: 164 ° 10′31 ″ (164,18 °) 3-5: 152 ° 55′53 ″ (152,93 °)
Рекомендации	U 29 , C 32 , W 18
Характеристики	Полуправильная выпуклая киральная
Цветные лица	3.3.3.3.5 ( фигура вершины )
Пентагональный гексеконтаэдр ( двойственный многогранник )	Сеть

3D модель курносого додекаэдра

В геометрии , в курносом додекаэдре , или курносого икосододекаэдре , является архимедовым твердым веществом , один из тринадцати выпуклых изогонального nonprismatic твердых веществ построены два или более типов правильных многоугольника граней .

Курносый додекаэдр имеет 92 грани (большинство из 13 архимедовых тел): 12 - пятиугольники, а остальные 80 - равносторонние треугольники . Он также имеет 150 ребер и 60 вершин.

Он имеет две различные формы, которые являются зеркальным отображением (или « энантиоморфами ») друг друга. Объединение обеих форм представляет собой соединение двух курносых додекаэдров , а выпуклая оболочка обеих форм представляет собой усеченный икосододекаэдр .

Кеплер впервые назвал его на латыни как dodecahedron simum в 1619 году в своей книге «Harmonices Mundi» . HSM Coxeter , отметив, что он может быть получен в равной степени как от додекаэдра, так и от икосаэдра, назвал его курносым икосододекаэдром с вертикально вытянутым символом Шлефли и плоским символом Шлефли sr {5,3}.${\ displaystyle s \ scriptstyle {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$

Декартовы координаты [ править ]

Позвольте быть действительным нулем многочлена , где - золотое сечение . Пусть точка задается формулой${\ Displaystyle \ xi \ приблизительно 0,943 \, 151 \, 259 \, 24}$${\ displaystyle x ^ {3} + 2x ^ {2} - \ phi ^ {2}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p = {\ begin {pmatrix} \ phi ^ {2} - \ phi ^ {2} \ xi \\ - \ phi ^ {3} + \ phi \ xi +2 \ phi \ xi ^ {2} \\\ xi \ end {pmatrix}}}$.

Пусть матрица имеет вид${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 1 / (2 \ phi) & - \ phi / 2 & 1/2 \\\ phi / 2 & 1/2 & 1 / (2 \ phi) \\ - 1/2 & 1 / (2 \ phi) & \ phi / 2 \ end {pmatrix}}}$.

${\ displaystyle M}$- вращение вокруг оси на угол против часовой стрелки. Пусть линейные преобразования будут преобразованием , которые посылают точку на четные перестановки из с четным числом минусов. Преобразования составляют группу вращательных симметрий правильного тетраэдра . Преобразования , представляют собой группу вращательных симметрий икосаэдра . Тогда 60 точек - это вершины курносого додекаэдра. Координаты вершин являются неотъемлемыми линейными комбинациями , , , , и . Длина кромки равна${\ displaystyle (0,1, \ phi)}$${\ displaystyle 2 \ pi / 5}$${\ displaystyle T_ {0}, \ ldots, T_ {11}}$${\ Displaystyle (х, у, г)}$${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle T_{i}M^{j}}$ ${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \phi \xi }$${\displaystyle \xi ^{2}}$${\displaystyle \phi \xi ^{2}}$${\displaystyle 2\xi {\sqrt {1-\xi }}\approx 0.449\,750\,618\,41}$. Отрицание всех координат дает зеркальное отображение этого пренебрежительного додекаэдра.

В целом курносый додекаэдр состоит из 80 треугольных и 12 пятиугольных пирамид. Объем одной треугольной пирамиды определяется по формуле:${\displaystyle V_{3}}$

${\displaystyle V_{3}={\frac {1}{3}}\phi (3\xi ^{2}-\phi ^{2})\approx 0.027\,274\,068\,85,}$

и объем одной пятиугольной пирамиды:${\displaystyle V_{5}}$

${\displaystyle V_{5}={\frac {1}{3}}(3\phi +1)(\phi +3-2\xi -3\xi ^{2})\xi ^{3}\approx 0.103\,349\,665\,04.}$

Общий объем есть .${\displaystyle 80V_{3}+12V_{5}\approx 3.422\,121\,488\,76}$

Радиус описанной окружности равен . Midradius равно . Это дает интересную геометрическую интерпретацию числа . 20 «икосаэдрических» треугольников курносого додекаэдра, описанного выше, копланарны граням правильного икосаэдра. Средний радиус этого «описанного» икосаэдра равен . Это означает, что это соотношение между средними радиусами курносого додекаэдра и икосаэдра, в который он вписан.${\displaystyle {\sqrt {4\xi ^{2}-\phi ^{2}}}\approx 0.969\,589\,192\,65}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \xi }$

Двугранный угол треугольник-треугольник задается формулой

${\displaystyle \phi _{33}=180^{\circ }-\arccos({\frac {2}{3}}\xi +{\frac {1}{3}})\approx 164.175\,366\,056\,03^{\circ }.}$

Двугранный угол треугольник-пятиугольник задается формулой

${\displaystyle \phi _{35}=180^{\circ }-\arccos({\sqrt {\frac {-(4\phi +8)\xi ^{2}-(4\phi +8)\xi +12\phi +19}{15}}})\approx 152.929\,920\,275\,84^{\circ }.}$

Свойства показателя [ править ]

Для курносого додекаэдра с длиной ребра 1 площадь поверхности равна

${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15}$.

Его объем

${\displaystyle V={\frac {(3\phi +1)\xi ^{2}+(3\phi +1)\xi -\phi /6-2}{\sqrt {3\xi ^{2}-\phi ^{2}}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36}$.

Его окружной радиус

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-\xi }{1-\xi }}}\approx 2.155\,837\,375}$.

Его средний радиус равен

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.097\,053\,835\,25}$.

Есть две вписанные сферы: одна касается треугольных граней, а другая, немного меньшего размера, касается пятиугольных граней. Их радиусы соответственно составляют:

${\displaystyle r_{3}={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{6\xi }}{\sqrt {\frac {1}{1-\xi }}}\approx 2.077\,089\,659\,74}$

и

${\displaystyle r_{5}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\phi ^{2}\xi ^{2}+3\phi ^{2}\xi +11\phi /5+12/5}}\approx 1.980\,915\,947\,28}$.

Четыре положительных действительных корня sextic в${\displaystyle R^{2}}$

${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$

- окружные радиусы курносого додекаэдра ( U ₂₉ ), большого курносого икосододекаэдра ( U ₅₇ ), большого перевернутого курносого икосододекаэдра ( U ₆₉ ) и большого ретроснубового икосододекаэдра ( U ₇₄ ).

Курносый додекаэдр имеет самую высокую сферичность из всех архимедовых тел. Если сферичность определяется как отношение объема в квадрате к площади поверхности в кубе, умноженное на константу, умноженную на 36 пи (где эта константа делает сферичность сферы равной 1), сферичность курносого додекаэдра составляет около 0,947. ^[1]

Ортогональные проекции [ править ]

Плосконосый додекаэдр имеет два симметричных особенно ортогональные проекции , как показано ниже, в центре двух типов граней: треугольники и пятиугольники, соответствующих А ₂ и Н ₂ плоскостях кокстеровских .

Геометрические отношения [ править ]

Вздернутый додекаэдр может быть сгенерирован с двенадцатью пятиугольные грани додекаэдра и вытаскивать их наружу , чтобы они больше не прикасаться. На подходящем расстоянии это может создать ромбикосододекаэдрпутем заполнения квадратных граней между разделенными ребрами и треугольных граней между разделенными вершинами. Но для курносой формы вытяните пятиугольные грани немного меньше, добавьте только треугольные грани и оставьте другие зазоры пустыми (остальные зазоры в этой точке прямоугольные). Затем примените равное вращение к центрам пятиугольников и треугольников, продолжая вращение до тех пор, пока промежутки не будут заполнены двумя равносторонними треугольниками. (Тот факт, что правильная величина для вытягивания граней меньше в случае курносого додекаэдра, можно увидеть двумя способами: радиус описанной окружности курносого додекаэдра меньше, чем у икосододекаэдра; или длина ребра равносторонние треугольники, образованные разделенными вершинами, увеличиваются при повороте пятиугольных граней.)

Курносый додекаэдр также может быть получен из усеченного икосододекаэдра путем чередования . Шестьдесят вершин усеченного икосододекаэдра образуют многогранник, топологически эквивалентный одному курносому додекаэдру; остальные шестьдесят образуют его зеркальное отражение. Полученный многогранник вершинно-транзитивен, но не однороден.

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот полуправильный многогранник является членом последовательности курносых многогранников и мозаик с вершинной фигурой (3.3.3.3. N ) и диаграммой Кокстера – Дынкина . Эти фигуры и их двойники имеют ( n 32) вращательную симметрию , находясь в евклидовой плоскости для n  = 6 и гиперболической плоскости для любого большего n . Можно считать, что серия начинается с n  = 2, причем один набор граней вырождается в двуугольники .

Курносый додекаэдрический граф [ править ]

В математической области теории графов , А вздернутый додекаэдрической график является графиком вершин и ребер в курносом додекаэдре, одного из Архимеда твердых веществ . Он имеет 60 вершин и 150 ребер и является архимедовым графом . ^[2]

См. Также [ править ]

• Анимация преобразования плоского многоугольника в многогранник
• ccw и cw вращающийся курносый додекаэдр

Ссылки [ править ]

• Джаятилаке, Удая (март 2005 г.). «Вычисления на правильных многогранниках с гранями и вершинами». Математический вестник . 89 (514): 76–81.
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
• Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайсштейн , Курносый додекаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик У. «Плоский додекаэдрический граф» . MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. "3D выпуклые равномерные многогранники s3s5s - снид" .
• Редактируемая сетка для печати курносого додекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Марк С. Адамс и Менно Т. Костерс. Объемные решения плоского додекаэдра.