Фигура вершины

"Полуребро" вершинная фигура куба

В геометрии , вершина фигура , вообще говоря, фигура подвергается , когда угол многогранника или многогранника будет отрезан.

Определения [ править ]

Фигура вершины "целого ребра" куба

Сферическая вершина куба

Фигура вершины куба с точками

Возьмем некоторый угол или вершину из с многогранника . Отметьте точку где-нибудь вдоль каждого соединенного края. Нарисуйте линии через соединенные грани, соединяя соседние точки вокруг лица. Когда это сделано, эти линии образуют законченный контур, то есть многоугольник вокруг вершины. Этот многоугольник является фигурой вершины.

Более точные формальные определения могут довольно широко варьироваться в зависимости от обстоятельств. Например, Кокстер (например, 1948, 1954) меняет свое определение, чтобы оно было удобно для текущей области обсуждения. Большинство из следующих определений вершины фигуры в равной степени применимо и к бесконечным разбиениям или, в более широком смысле , чтобы заполняющее пространство тесселяции с многогранником клетками и другими высшими-мерными многогранниками .

В виде плоского среза [ править ]

Сделайте разрез через угол многогранника, разрезая все ребра, соединенные с вершиной. Поверхность среза - это фигура вершины. Это, пожалуй, самый распространенный и наиболее понятный подход. Разные авторы делают срез в разных местах. Веннингер (2003) обрезает каждое ребро на единицу расстояния от вершины, как это делает Коксетер (1948). Для однородных многогранников конструкция Дормана Люка разрезает каждое соединенное ребро в его средней точке. Другие авторы надрезают вершину на другом конце каждого ребра. ^{[1] [2]}

Для неправильного многогранника разрезание всех ребер, входящих в данную вершину на равных расстояниях от вершины, может дать фигуру, которая не лежит на плоскости. Более общий подход, применимый для произвольных выпуклых многогранников, состоит в том, чтобы сделать разрез по любой плоскости, которая отделяет данную вершину от всех других вершин, но в остальном является произвольным. Эта конструкция определяет комбинаторную структуру фигуры вершины, подобную множеству связанных вершин (см. Ниже), но не ее точную геометрию; его можно обобщить на выпуклые многогранники в любой размерности. Однако для невыпуклых многогранников может не существовать плоскость около вершины, которая пересекает все грани, инцидентные вершине.

В виде сферического многоугольника [ править ]

Кромвель (1999) формирует фигуру вершины, пересекая многогранник со сферой с центром в вершине, достаточно малой, чтобы пересекать только ребра и грани, инцидентные вершине. Это можно представить в виде сферического надреза или совка с центром в вершине. Таким образом, разрезанная поверхность или фигура вершины представляет собой сферический многоугольник, отмеченный на этой сфере. Одним из преимуществ этого метода является то, что форма вершины фигуры фиксирована (до масштаба сферы), тогда как метод пересечения с плоскостью может создавать разные формы в зависимости от угла плоскости. Кроме того, этот метод работает для невыпуклых многогранников.

Как набор связанных вершин [ править ]

Многие комбинаторные и вычислительные подходы (например, Skilling, 1975) рассматривают фигуру вершины как упорядоченный (или частично упорядоченный) набор точек всех соседних (связанных ребром) вершин с данной вершиной.

Абстрактное определение [ править ]

В теории абстрактных многогранников фигура вершины в данной вершине V включает все элементы, инцидентные этой вершине; ребра, грани и т. д. Более формально это ( n −1) -сечение F _n / V , где F _n - наибольшая грань.

Этот набор элементов в другом месте известен как вершинная звезда . Геометрическая фигура вершины и звезда вершины могут быть поняты как отдельные реализации одного и того же абстрактного раздела.

Общие свойства [ править ]

Вершинная фигура n -многогранника - это ( n - 1) -многогранник. Например, фигура вершины многогранника - это многоугольник , а фигура вершины для 4-многогранника - это многогранник.

В общем, фигура вершины не обязательно должна быть плоской.

Для невыпуклых многогранников фигура вершины также может быть невыпуклой. Например, однородные многогранники могут иметь звездообразные многоугольники для граней и / или вершинных фигур.

Изогональные фигуры [ править ]

Фигуры вершин особенно важны для униформ и других изогональных (вершинно-транзитивных) многогранников, потому что одна фигура вершины может определять весь многогранник.

Для многогранников с правильными гранями фигура вершины может быть представлена ​​в обозначении конфигурации вершины , путем перечисления граней в последовательности вокруг вершины. Например, 3.4.4.4 - это вершина с одним треугольником и тремя квадратами, и она определяет равномерный ромбокубооктаэдр .

Если многогранник изогонален, фигура вершины будет существовать на гиперплоской поверхности n -пространства.

Конструкции [ править ]

Из соседних вершин [ править ]

Рассматривая связность этих соседних вершин, можно построить фигуру вершины для каждой вершины многогранника:

• Каждая вершина из рисунка вершины совпадает с вершиной исходного многогранника.
• Каждое ребро из рисунка вершины существует на или внутри грани исходного многогранника , соединяющей вершину два заместителей из исходного лица.
• Каждое лицо из рисунка вершины существует на или внутри клетки исходного п -многогранника (для п > 3).
• ... и так далее до элементов более высокого порядка в многогранниках.

Строительство Дормана Люка [ править ]

Для однородного многогранника грань двойного многогранника может быть найдена по фигуре вершины исходного многогранника, используя конструкцию « Дормана Люка ».

Правильные многогранники [ править ]

Если многогранник является правильным, он может быть представлен символом Шлефли, и клетка и фигура вершины могут быть тривиально извлечены из этого обозначения.

В общем регулярном многограннике с символом Шлефл { , Ь , с , ..., у , г } имеет клетки , как { , Ь , с , ..., у }, и вершинные фигуры как { Ь , с ,. .., y , z }.

1. Для правильного многогранника { p , q } фигура вершины - это { q }, q -угольник.
   • Например, фигура вершины куба {4,3} - это треугольник {3}.
2. Для правильного 4-многогранника или мозаики, заполняющей пространство { p , q , r }, фигура вершины равна { q , r }.
   • Например, фигура вершины гиперкуба {4,3,3}, фигура вершины - правильный тетраэдр {3,3}.
   • Также фигура вершины кубической соты {4,3,4}, фигура вершины - правильный октаэдр {3,4}.

Поскольку двойственный многогранник регулярного многогранника также является регулярным и представлен индексами символа Шлефли, перевернутыми, легко видеть, что двойственная фигура вершины является ячейкой двойственного многогранника. Для правильных многогранников это частный случай конструкции Дормана Люка .

Пример вершины соты [ править ]

Вершинная фигура усеченных кубических сот представляет собой неоднородную квадратную пирамиду . Один октаэдр и четыре усеченных куба встречаются в каждой вершине, образуя мозаику, заполняющую пространство .

Фигурка края [ править ]

Относящиеся к фигуре вершины , края фигуры является вершиной фигуры из вершины фигуры . ^[3] Фигуры ребер полезны для выражения отношений между элементами в пределах правильных и однородных многогранников.

Края фигура будет ( п -многогранника -2), представляющее расположение граней вокруг данного ребра. Регулярные и однокольцевые однородные многогранники диаграмм Кокстера будут иметь один тип ребер. В общем, однородный многогранник может иметь столько типов ребер, сколько активных зеркал в конструкции, поскольку каждое активное зеркало создает одно ребро в фундаментальной области.

Правильные многогранники (и соты) имеют единственную фигуру ребра, которая также является правильной. Для правильного многогранника { p , q , r , s , ..., z } фигура ребра равна { r , s , ..., z }.

В четырех измерениях фигура края 4-многогранника или 3-соты представляет собой многоугольник, представляющий расположение набора граней вокруг края. Например, фигура ребра для правильной кубической соты {4,3,4} - это квадрат , а для правильного 4-многогранника { p , q , r } - многоугольник { r }.

Менее тривиально усеченные кубические соты t _0,1 {4,3,4} имеют квадратную вершину пирамиды с ячейками усеченного куба и октаэдра . Здесь есть два типа фигурных ребер . Одна из них - фигура с квадратным краем на вершине пирамиды. Это четыре усеченных куба по краю. Остальные четыре ребра представляют собой равнобедренные треугольники в базовых вершинах пирамиды. Они представляют собой расположение двух усеченных кубов и одного октаэдра вокруг других краев.

См. Также [ править ]

• Список правильных многогранников

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

Библиография [ править ]

• HSM Coxeter , Regular Polytopes , Hbk (1948), ppbk (1973).
• HSM Coxeter (и др.), Uniform Polyhedra, Phil. Пер . 246 А (1954), стр. 401–450.
• П. Кромвель, Многогранники , CUP pbk. (1999).
• HM Cundy, AP Rollett, Математические модели , Oxford Univ. Пресс (1961).
• Дж. Скиллинг, Полный набор однородных многогранников, Фил. Пер . 278 А (1975) стр. 111–135.
• М. Веннингер, Двойные модели , CUP hbk (1983) ppbk (2003).
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN  978-1-56881-220-5 (фигуры вершин p289)

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с фигурами Vertex .

• Вайсштейн, Эрик В. «Вершинная фигура» . MathWorld .
• Ольшевский, Георгий. «Вершинная фигура» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Фигуры вершин
• Согласованные описания вершин