Соты (геометрия)

В геометрии , А соты является заполнение пространства или плотной упаковкой из полиэдрических или выше одномерных клеток , так что нет никаких промежутков. Это пример более общей математической мозаики или мозаики в любом количестве измерений. Его размерность может быть определена как n -медовые соты для соты n- мерного пространства.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на описанную им сферу, чтобы сформировать однородные соты в сферическом пространстве.

Можно заполнить плоскость многоугольниками, которые не пересекаются в углах, например, используя прямоугольники , как в шаблоне кирпичной стены: это неправильная мозаика, потому что углы частично лежат вдоль края соседнего многоугольника. Точно так же в настоящих сотах не должно быть ребер или вершин, частично лежащих вдоль грани соседней соты. Интерпретация каждой грани кирпича как шестиугольника, имеющего два внутренних угла в 180 градусов, позволяет рассматривать узор как правильную плитку. Однако не все геометры принимают такие шестиугольники.

Классификация [ править ]

Существует бесконечно много сот, которые только частично классифицированы. Самые обычные вызвали наибольший интерес, в то время как богатый и разнообразный ассортимент других продолжает открываться.

Простейшие соты формируются из слоев или пластин призм, уложенных друг на друга на основе мозаики плоскости. В частности, для каждого параллелепипеда копии могут заполнять пространство, причем кубические соты являются особенными, потому что это единственные правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Еще одно интересное семейство - тетраэдры Хилла и их обобщения, которые также могут замощать пространство.

Однородные 3-соты [ править ]

Трехмерные однородные соты - это соты в трехмерном пространстве, состоящие из однородных многогранных ячеек и имеющие одинаковые вершины (т. Е. Группа [изометрий трехмерного пространства, сохраняющих мозаику], транзитивна по вершинам ). Существует 28 выпуклых примеров в трехмерном евклидовом пространстве ^[1], также называемых архимедовыми сотами .

Соты называются регулярными, если группа изометрий, сохраняющих мозаику, действует транзитивно на флагах, где флаг - это вершина, лежащая на ребре, лежащем на грани, лежащей в клетке. Каждая обычная сотовая структура автоматически становится однородной. Однако в евклидовом трехмерном пространстве есть только одна обычная сотовая структура - кубическая сотовая структура . Два из них квазирегулярны (состоят из двух типов регулярных ячеек):

Тип	Обычные кубические соты	Квазирегулярные соты
Клетки	Кубический	Октаэдры и тетраэдры
Слой плиты

Тетраэдрический-октаэдрический сот и вращался тетраэдрическим-октаэдрические соты генерируются 3 или 2 позициями сляба слоя клеток, каждый из переменных тетраэдров и октаэдров. Бесконечное количество уникальных сот можно создать, повторяя эти слои плиты более высокого порядка.

Многогранники, заполняющие пространство [ править ]

Соты, в которых все ячейки идентичны в пределах своей симметрии, называются ячейками транзитивными или изохорическими . В трехмерном евклидовом пространстве ячейка такой соты называется многогранником, заполняющим пространство . ^[2] необходимое условие для многогранник быть пространственно-заполнения полиэдр является то , что его инвариантом Дена должен быть равен нулю, ^[3]^[4] исключает какой - либо из многогранников , отличных от куба.

Пять многогранников, заполняющих пространство, могут составить мозаику трехмерного евклидова пространства, используя только переводы. Их называют параллелоэдрами :

Кубические соты (или варианты: кубоид , ромбический шестигранник или параллелепипед )
Гексагональные призматические соты ^[5]
Ромбические додекаэдрические соты
Удлиненные додекаэдрические соты ^[6]
Битоусеченные кубические соты или усеченные октаэдры ^[7]

Куб (параллелепипед)	Шестиугольная призма	Ромбический додекаэдр	Удлиненный додекаэдр	Усеченный октаэдр
кубические соты	Гексагональные призматические соты	Ромбические додекаэдры	Удлиненные додекаэдры	Усеченные октаэдры

3 длины кромки	3 + 1 кромка	4 длины кромки	4 + 1 кромка	6 кромок

Другие известные примеры многогранников, заполняющих пространство, включают:

Треугольные призматические соты
Вращались треугольный призматический сот
Тройнозубые акулы усеченная четырехгранная сот . Ячейки Вороного атомов углерода в алмазе имеют такую форму. ^[8]
Trapezo-ромбический додекаэдрические сотни ^[9]
Равногранный тайлинги ^[10]

Другие соты с двумя или более многогранниками [ править ]

Иногда два ^[11] или более разных многогранников могут быть объединены, чтобы заполнить пространство. Помимо многих однородных сот, еще одним хорошо известным примером является структура Вейра-Фелана , заимствованная из структуры кристаллов клатратных гидратов ^[12]

Структура Вейра – Фелана (с двумя типами клеток)

Невыпуклые 3-соты [ править ]

Задокументированные примеры редки. Можно выделить два класса:

Невыпуклые ячейки, которые упаковываются без перекрытия, аналогично мозаике вогнутых многоугольников. К ним относится упаковка небольшого звездчатого ромбического додекаэдра , как в кубе Ёсимото .
Перекрытие ячеек, положительная и отрицательная плотности которых «сокращаются», образуя однородно плотный континуум, аналогично перекрывающимся мозаикам на плоскости.

Гиперболические соты [ править ]

В 3-мерном гиперболическом пространстве , то двугранный угол многогранника зависит от его размера. Таким образом, правильные гиперболические соты включают две с четырьмя или пятью додекаэдрами, пересекающимися на каждом краю; их двугранные углы, таким образом, равны π / 2 и 2π / 5, оба из которых меньше, чем у евклидова додекаэдра. Помимо этого эффекта, гиперболические соты подчиняются тем же топологическим ограничениям, что и евклидовы соты и полихоры.

Перечислены 4 компактных и 11 паракомпактных обычных гиперболических сот и множество компактных и паракомпактных однородных гиперболических сот.

Четыре обычных компактных соты в H 3
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

11 паракомпактных обычных сот
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

Двойственность трех сот [ править ]

Для каждой соты есть две соты, которые можно получить, заменив:

ячейки для вершин.

грани для краев.

Это просто правила дуализации четырехмерных 4-многогранников , за исключением того, что обычный конечный метод возвратно-поступательного движения относительно концентрической гиперсферы может вызвать проблемы.

Более обычные соты аккуратно дуализируются:

Кубические соты самодвойственны.
Октаэдры и тетраэдры двойственны ромбическим додекаэдрам.
Соты плиты, полученные из однородных плоских мозаик, двойственны друг другу так же, как и мозаики.
Все двойники остальных архимедовых сот являются клеточно-транзитивными и были описаны Инчбальдом. ^[13]

Самодвойные соты [ править ]

Соты также могут быть самодвойными . Все n -мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3 ^{n −2} , 4} самодвойственны.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с гиперболическими сотами .

Список однородных мозаик
Обычные соты
Бесконечный косой многогранник
Плезиоэдр

Ссылки [ править ]

^ Грюнбаум (1994). «Равномерные мозаики 3-мерного пространства». Геомбинаторика 4 (2)
^ Вайсштейн, Эрик В. "Многогранник, заполняющий пространство" . MathWorld .
^ Debrunner, Ганс Е. (1980), "Убер Zerlegungsgleichheit фон Pflasterpolyedern мит Würfeln", Archiv дер Mathematik (на немецком языке ), 35 (6): 583-587, DOI : 10.1007 / BF01235384 , МР 0604258 .
^ Лагариас, JC ; Moews, D. (1995), "многогранники , что наполнитель и ножницы конгруэнтность", Дискретная и Вычислительная геометрия , 13 (3-4): 573-583, DOI : 10.1007 / BF02574064 , МР 1318797 ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ .
^ [1] Равномерное заполнение пространства треугольными, квадратными и шестиугольными призмами.
^ [2] Равномерное заполнение пространства с использованием только ромбо-гексагональных додекаэдров.
^ [3] Равномерное заполнение пространства с использованием только усеченных октаэдров.
^ Джон Конвей (2003-12-22). "Многогранник Вороного. Геометрия. Головоломки" . Группа новостей : geometry.puzzles . Usenet: Pine.LNX.4.44.0312221226380.25139-100000@fine318a.math.Princeton.EDU .
^ X. Qian, D. Strahs и T. Schlick, J. Comput. Chem. 22 (15) 1843–1850 (2001)
^ [4] О. Дельгадо-Фридрихс и М. О'Киф. Изоэдральные простые мозаики: бинодали и плитки с <16 гранями. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362
^ [5] Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine Габбриелли, Руджеро. Тринадцатигранный многогранник, заполняющий пространство своей хиральной копией.
^ Полинг, Линус. Природа химической связи. Издательство Корнельского университета, 1960
^ Inchbald, Гай (июль 1997), "Архимедовы ячеистые двойственные" , Математическая газета , 81 (491): 213-219, DOI : 10,2307 / 3619198 , JSTOR 3619198 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кокстер, HSM : регулярные многогранники .
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc., стр. 164–199. ISBN 0-486-23729-X. Глава 5: Упаковка многогранников и заполнение пространства
Кричлоу, К .: Порядок в космосе .
Пирс, П .: Структура в природе - это стратегия дизайна .
Голдберг, Майкл. Три бесконечных семейства тетраэдральных заполнителей пространства. Журнал комбинаторной теории. A, 16, стр. 348–354, 1974.
Гольдберг, Майкл (1972). «Заполняющие пространство пятигранники» . Журнал комбинаторной теории, Серия А . 13 (3): 437–443. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (72) 90077-5 .
Гольдберг, Майкл . Заполняющие пространство пентаэдры II , Журнал комбинаторной теории 17 (1974), 375–378.
Гольдберг, Майкл (1977). «О заполняющих пространство шестигранниках». Geometriae Dedicata . 6 . DOI : 10.1007 / BF00181585 .
Гольдберг, Майкл (1978). «О гептаэдрах, заполняющих пространство». Geometriae Dedicata . 7 (2): 175–184. DOI : 10.1007 / BF00181630 .
Гольдберг, Майкл Выпуклые многогранные пространства-заполнители более чем двенадцати граней. Геом. Дедиката 8, 491-500, 1979.
Гольдберг, Майкл (1981). «О заполняющих пространство октаэдрах» . Geometriae Dedicata . 10 (1–4): 323–335. DOI : 10.1007 / BF01447431 .
Гольдберг, Майкл (1982). «О Декаэдрах, заполняющих пространство» . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
Гольдберг, Майкл (1982). «О заполняющих пространство эннеахэдрах». Geometriae Dedicata . 12 (3). DOI : 10.1007 / BF00147314 .

Внешние ссылки [ править ]

Ольшевский, Георгий. «Соты» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Пять заполняющих пространство многогранников , Гай Инчбальд, The Mathematical Gazette 80 , ноябрь 1996 г., стр. 466-475.
Raumfueller (Многогранники, заполняющие пространство) Т.Е. Дорозинского
Вайсштейн, Эрик В. "Многогранник, заполняющий пространство" . MathWorld .

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ ₉	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21

[1] Грюнбаум (1994). «Равномерные мозаики 3-мерного пространства». Геомбинаторика 4 (2)

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Многогранник, заполняющий пространство" . MathWorld .

[3] Debrunner, Ганс Е. (1980), "Убер Zerlegungsgleichheit фон Pflasterpolyedern мит Würfeln", Archiv дер Mathematik (на немецком языке ), 35 (6): 583-587, DOI : 10.1007 / BF01235384 , МР 0604258 .

[4] Лагариас, JC ; Moews, D. (1995), "многогранники , что наполнитель и ножницы конгруэнтность", Дискретная и Вычислительная геометрия , 13 (3-4): 573-583, DOI : 10.1007 / BF02574064 , МР 1318797 ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ .

[5] [1] Равномерное заполнение пространства треугольными, квадратными и шестиугольными призмами.

[6] [2] Равномерное заполнение пространства с использованием только ромбо-гексагональных додекаэдров.

[7] [3] Равномерное заполнение пространства с использованием только усеченных октаэдров.

[8] Джон Конвей (2003-12-22). "Многогранник Вороного. Геометрия. Головоломки" . Группа новостей : geometry.puzzles . Usenet: Pine.LNX.4.44.0312221226380.25139-100000@fine318a.math.Princeton.EDU .

[9] X. Qian, D. Strahs и T. Schlick, J. Comput. Chem. 22 (15) 1843–1850 (2001)

[10] [4] О. Дельгадо-Фридрихс и М. О'Киф. Изоэдральные простые мозаики: бинодали и плитки с <16 гранями. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362

[11] [5] Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine Габбриелли, Руджеро. Тринадцатигранный многогранник, заполняющий пространство своей хиральной копией.

[12] Полинг, Линус. Природа химической связи. Издательство Корнельского университета, 1960

[13] Inchbald, Гай (июль 1997), "Архимедовы ячеистые двойственные" , Математическая газета , 81 (491): 213-219, DOI : 10,2307 / 3619198 , JSTOR 3619198 .

[1],