| Набор равномерных призм | |
|---|---|
 (Показана шестиугольная призма) | |
| Тип | равномерный многогранник |
| Обозначения многогранника Конвея | P n |
| Лица | 2+ n всего: 2 {n} n {4} |
| Края | 3 п |
| Вершины | 2 п |
| Символ Шлефли | {n} × {} [1] или t {2, n } |
| Диаграмма Кокстера |     |
| Конфигурация вершины | 4.4. п |
| Группа симметрии | D n h , [ n , 2], (* n 22), порядок 4 n |
| Группа вращения | D n , [ n , 2] + , ( n 22), порядок 2 n |
| Двойной многогранник | n -угольная бипирамида |
| Характеристики | выпуклый, полурегулярный, вершинно-транзитивный |
 n -угольная призматическая сетка (здесь n = 9) | |
В геометрии , A призма представляет собой полиэдр , содержащий п односторонний многоугольную основания , вторую базу , которая является переводятся копией (жестко перемещен без вращения) первого и п других лиц (обязательно все параллелограммов ) , соединяющее соответствующие стороны двух оснований . Все сечения, параллельные основаниям, являются переводами оснований. Призмы названы в честь их оснований; Пример: призма с пятиугольным основанием называется пятиугольной призмой. Призмы являются подклассом призматоидов .
Как и многие основные геометрические термины, слово « призма» ( греч . Πρίσμα , романизированное : « призма» , букв. « Что -то распиленное») впервые было использовано в «Элементах» Евклида . Евклид определил термин в книге XI как «твердую фигуру, состоящую из двух противоположных, равных и параллельных плоскостей, а остальные - параллелограммы». Однако это определение подвергалось критике за то, что оно недостаточно конкретное по отношению к природе оснований, что вызвало путаницу среди более поздних геометрических авторов. [2] [3]
Общие, правильные и равномерные призмы [ править ]
Призма представляет собой призму , в которой соединительные ребра и грани перпендикулярны к базовым граням. [4] Это применимо, если соединяемые грани прямоугольные . Если соединяемые кромки и грани не перпендикулярны базовым граням, это называется наклонной призмой .
Например, параллелепипед - это наклонная призма, основание которой является параллелограммом , или, что эквивалентно, многогранник с шестью гранями, которые все являются параллелограммами.
Усечена призма представляет собой призму с непараллельными верхними и нижними гранями. [5]
В некоторых текстах термин « прямоугольная призма» или « квадратная призма» может применяться как к призме с правой прямоугольной стороной, так и к призме с правой квадратной стороной. Правой п-угольной призмы с прямоугольными сторон имеет символ Шлефли {} × {р}.
Правую прямоугольную призму также называют кубоидом или неформально прямоугольной коробкой . Правая квадратная призма - это просто квадратная коробка , которую также можно назвать квадратным кубоидом . Правая прямоугольная призма имеет символ шлефли {} × {} × {}.
П -prism, имеющий правильный многоугольник концы и прямоугольные стороны, приближается к цилиндрической твердого вещества в качестве п приближается к бесконечности .
Термин однородная призма или полуправильная призма может использоваться для прямой призмы с квадратными сторонами, поскольку такие призмы входят в набор однородных многогранников . Равномерное р-угольной призмы имеет символ шлефли т {2, р}. Правые призмы с правильными основаниями и равной длиной ребер образуют одну из двух бесконечных серий полуправильных многогранников , другая серия - антипризмы .
Двойное из прямой призмы является бипирамидой .
Объем [ править ]
Объем призмы является произведение площади основания , а расстояние между двумя базовыми поверхностями, или высота (в случае не-прямой призмой, обратите внимание , что это означает перпендикулярное расстояние).
Таким образом, объем составляет:
где B - площадь основания, h - высота. Таким образом, объем призмы, основание которой представляет собой n- сторонний правильный многоугольник с длиной стороны s, составляет:
Площадь [ править ]
Поверхность площадь правой призмы:
где B - площадь основания, h - высота, а P - периметр основания .
Следовательно, площадь поверхности правой призмы, основание которой представляет собой правильный n- сторонний многоугольник с длиной стороны s и высотой h, составляет:
Диаграммы Шлегеля [ править ]
P3 | P4 | P5 | P6 | P7 | P8 |
Симметрия [ править ]
Группа симметрии правой n- сторонней призмы с правильным основанием - это D n h порядка 4 n , за исключением случая куба, который имеет большую группу симметрии O h порядка 48, который имеет три версии D 4h как подгруппы . Группа вращения - это D n порядка 2 n , за исключением случая куба, который имеет большую группу симметрии O порядка 24, который имеет три версии D 4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии D n h содержит инверсию тогда и только тогда, когда n четно.
Hosohedra и dihedra также обладают двугранной симметрией, а п-угольной призму можно построить с помощью геометрического усечения из н-гонального осоэдр, а также через cantellation или расширения из н-гонального диэдра.
Призматический многогранник [ править ]
Призматический многогранник является многомерным обобщением призмы. П - мерный призматический многогранник строится из двух ( п - 1 ) -мерных многогранников, переведенных в следующее измерение.
Призматические n -элементы многогранника дублируются из ( n - 1 ) -элементов многогранника, а затем создаются новые элементы из следующего нижнего элемента.
Возьмем п -многогранника с е я я -Лицо элементов ( я = 0, ..., п ). Его ( n + 1 ) -призма многогранника будет иметь 2 f i + f i −1 i -гранных элемента. (При f −1 = 0 , f n = 1. )
По размеру:
- Возьмем многоугольник с n вершинами и n ребрами. Его призма имеет 2 n вершин, 3 n ребер и 2 + n граней.
- Возьмем многогранник с v вершинами, e ребрами и f гранями. Его призма имеет 2 v вершины, 2 e + v ребра, 2 f + e грани и 2 + f ячеек.
- Возьмем полихорон с v вершинами, e ребрами, f гранями и c ячейками. Его призма имеет 2 v вершины, 2 e + v ребра, 2 грани f + e , 2 c + f клетки и 2 + c гиперъячейки.
Однородный призматический многогранник [ править ]
Регулярный п -многогранник представлена Шлефл символ { р , д , ..., т } может образовывать однородную призматический ( п + 1 ) -многогранник представлена декартово произведением из двух символов Шлефли : { р , д , ... , t } × {}.
По размеру:
- 0-политопная призма - это отрезок прямой , представленный пустым символом Шлефли {}.
- 1-многогранная призма - это прямоугольник , составленный из 2 -х сдвинутых отрезков прямой. Он представлен в виде символа произведения Шлефли {} × {}. Если он квадратный , симметрию можно уменьшить: {} × {} = {4}.
- Пример: квадрат, {} × {}, два параллельных отрезка, соединенные двумя сторонами отрезка .
- Многоугольная призма представляет собой 3-мерная призма выполнены из двух переводных полигонов , соединенных прямоугольниками. Правильный многоугольник { p } может построить однородную n -угольную призму, представленную произведением { p } × {}. Если p = 4 , при симметрии сторон квадрата он становится кубом : {4} × {} = {4, 3}.
- Пример: пятиугольная призма , {5} × {}, два параллельных пятиугольника, соединенных 5 прямоугольными сторонами .
- Многогранная призма представляет собой 4-мерная призма выполнены из двух многогранников переведенных соединенных 3-мерных призматических клеток. Правильный многогранник { p , q } может построить однородную полихорическую призму, представленную произведением { p , q } × {}. Если многогранник является кубом, а стороны - кубами, он становится тессерактом : {4, 3} × {} = {4, 3, 3}.
- Пример: додекаэдрическая призма , {5, 3} × {}, два параллельных додекаэдра, соединенных 12 сторонами пятиугольной призмы .
- ...
Призматические многогранники более высокого порядка также существуют как декартовы произведения любых двух многогранников. Размерность многогранника - произведение размеров элементов. Первый пример их существования в 4-мерном пространстве называется дуопризмами, как произведение двух многоугольников. Регулярные дуопризмы представлены как { p } × { q }.
| Семейство однородных призм | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Многогранник | |||||||||||
| Coxeter | |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Черепица | |||||||||||
| Конфиг. | 2.4.4 | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 |
Витая призма [ править ]
Витая призмы является невыпуклый призмы многогранник , построенный по единому д -prism с боковыми поверхностями надвое на квадратный диагонали, и скручивание верхней части, как правило,π/q радианы (180/qградусов) в том же направлении, в результате чего боковые треугольники будут вогнутыми. [6] [7]
Скрученную призму нельзя разрезать на тетраэдры без добавления новых вершин. Наименьший случай треугольной формы называется многогранником Шёнхардта .
Витые призмы топологический идентична антипризме , но имеют половину симметрии : D п , [ п , 2] + , порядка 2 н . Его можно рассматривать как выпуклую антипризму с удаленными тетраэдрами между парами треугольников.
| 3-угольный | 4-угольный | 12-угольный | |
|---|---|---|---|
Многогранник Шёнхардта | Скрученная квадратная призма | Квадратная антипризма | Скрученная двенадцатигранная антипризма |
Frustum [ править ]
Усеченная аналогичная конструкция с призмой, с трапециевидными боковыми гранями и разным размером верхними и нижними полигонами.
Звездная призма [ править ]
Звезда призма является невыпуклым многогранником , построенным с помощью двух одинаковых звезд полигональных граней на верхнем и нижнем, будучи параллельно и смещен на расстоянии и соединенный прямоугольными гранями. У однородной звездной призмы будет символ Шлефли { p / q } × {}, прямоугольник p и 2 грани { p / q }. Она топологически идентична p -угольной призме.
| {} × {} 180 × {} | т а {3} × {} | {5/2} × {} | {7/2} × {} | {7/3} × {} | {8/3} × {} | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| D 2h , заказ 8 | D 3h , заказ 12 | Д 5ч , заказ 20 | D 7h , заказ 28 | D 8h , заказ 32 | ||
Перекрещенная призма [ править ]
Пересекла призмы является невыпуклый многогранник , построенный из призмы, где базовые вершины перевернутого вокруг центра (или повернуты на 180 °). Это преобразует боковые прямоугольные грани в скрещенные прямоугольники . Для правильного основания многоугольника внешний вид представляет собой p -угольные песочные часы со всеми вертикальными ребрами, проходящими через единый центр, но без вершины. Она топологически идентична p -угольной призме.
| {} × {} 180 × {} 180 | т а {3} × {} 180 | {3} × {} 180 | {4} × {} 180 | {5} × {} 180 | {5/2} × {} 180 | {6} × {} 180 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| D 2h , заказ 8 | Д 3д , заказ 12 | D 4h , заказ 16 | Д 5д , заказ 20 | Д 6д , заказ 24 | |||
Тороидальные призмы [ править ]
Тороидальные призмы является невыпуклым многогранник , как скрещенные призмы , за исключением вместо того нижние и верхних многоугольники, простые прямоугольные боковые поверхности будут добавлены , чтобы закрыть многогранник. Это можно сделать только для одноугольных базовых полигонов. Это топологические торы с нулевой эйлеровой характеристикой . Топологическая многогранная сетка может быть вырезана из двух рядов квадратной мозаики с вершиной рисунка 4.4.4.4 . П -gonal тороидальных призмы имеют 2 п вершин и грани, и 4 п ребер и является топологический автодуальным .
| D 4h , заказ 16 | Д 6ч , заказ 24 |
| v = 8, e = 16, f = 8 | v = 12, e = 24, f = 12 |
См. Также [ править ]
- Апейрогональная призма
- Выпрямленная призма
- Присманес
- Список фигур
Ссылки [ править ]
- ^ NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы, рисунок 11.3b
- ↑ Томас Малтон (1774 г.). Королевский путь к геометрии: или простое и знакомое введение в математику. ... Томасом Малтоном. ... автор, и продан. С. 360–.
- ^ Джеймс Эллиот (1845). Ключ к полному трактату по практической геометрии и измерениям: содержащему полные демонстрации правил ... Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс. С. 3–.
- ↑ Уильям Ф. Керн, Джеймс Р. Бланд, Твердое измерение с доказательствами , 1938, стр.28
- ^ Уильям Ф. Керн, Джеймс Р. Бланд, Твердое измерение с доказательствами , 1938, стр.81
- ^ Факты в файле: Справочник по геометрии, Екатерина А. Горини, 2003, ISBN 0-8160-4875-4 , стр.172
- ^ [1]
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы
Внешние ссылки [ править ]
 | В Wikisource есть текст статьи Prism из Британской энциклопедии 1911 года . |
- Вайсштейн, Эрик В. «Призма» . MathWorld .
- Бумажные модели призм и антипризм Свободные сети призм и антипризм
- Бумажные модели призм и антипризм с использованием сетей, созданных Стеллой
