«Правильные» правые (симметричные) n -угольные бипирамиды | |
---|---|
Диаграмма Кокстера | |
Символ Шлефли | {} + { n } [1] |
Лица | 2 н конгруэнтны равнобедренные треугольники |
Края | 3 п |
Вершины | 2 + п |
Конфигурация лица | V4.4. п |
Группа симметрии | D n h , [ n , 2], (* n 22), порядок 4 n |
Группа вращения | D n , [ n , 2] + , ( n 22), порядок 2 n |
Двойной многогранник | (выпуклая) равномерная ("правильная" правая) n -угольная призма |
Характеристики | выпуклые , гранно-транзитивные , правильные вершины [2] |
Сеть |
(Симметричная) n -угольная бипирамида или дипирамида - это многогранник, образованный путем соединения n -угольной пирамиды и ее зеркального отображения от основания к основанию. [3] [4] п -gonal бипирамида имеет 2 п треугольников граней, 3 п ребер и 2 + п вершин.
Упомянутый n -угольник в названии бипирамиды - это не грань, а внутреннее основание многоугольника, лежащее в плоскости зеркала, соединяющей две половины пирамиды. (Если бы это была грань, то каждое ее ребро соединяло бы три грани вместо двух.)
«Обычные», правые бипирамиды [ править ]
«Регулярный» бипирамида имеет регулярный полигон базы. Обычно подразумевается, что это также правая бипирамида.
Право бипирамиды имеет свои две вершины прямо выше и прямо под центром или центроиду его многоугольник основания.
«Правильная» правая (симметричная) n -угольная бипирамида имеет символ Шлефли {} + { n }.
Правая (симметричная) бипирамида имеет символ Шлефли {} + P для основания многоугольника P.
«Правильная» правая (таким образом, гранно -транзитивная ) n -угольная бипирамида с правильными вершинами [2] является двойственной к n -угольной однородной (следовательно, правой) призме и имеет конгруэнтные равнобедренные треугольные грани.
«Правильная» правая (симметричная) n -угольная бипирамида может быть спроецирована на сферу или глобус как «правильная» правая (симметричная) n -угольная сферическая бипирамида : n равноотстоящих линий долготы, идущих от полюса к полюсу, и экватор линия, разделяющая их пополам .
Имя | Дигональная бипирамида | Треугольная бипирамида (J 12 ) | Квадратная бипирамида (О) | Пятиугольная бипирамида (J 13 ) | Гексагональная бипирамида | Гептагональная бипирамида | Восьмиугольная бипирамида | Эннеагональная бипирамида | Десятиугольная бипирамида | ... | Апейрогональная бипирамида |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Изображение многогранника | ... | ||||||||||
Сферическое мозаичное изображение | Плоское мозаичное изображение | ||||||||||
Конфигурация лица | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 | ... | V∞.4.4 |
Диаграмма Кокстера | ... |
Бипирамиды равностороннего треугольника [ править ]
Только три вида бипирамид могут иметь все ребра одинаковой длины (что означает, что все грани являются равносторонними треугольниками , и, таким образом, бипирамида представляет собой дельтаэдр ): «правильные» правые (симметричные) треугольные , тетрагональные и пятиугольные бипирамиды. Тетрагональная или квадратная бипирамида с ребрами одинаковой длины, или правильный октаэдр , считается Платоновыми телами ; треугольные и пятиугольные бипирамиды с ребрами одинаковой длины учитываются среди тел Джонсона (J 12 и J 13 ).
"Правильная" правая (симметричная) бипирамида наименование | Треугольная бипирамида (J 12 ) | Тетрагональная бипирамида (правильный октаэдр) | Пятиугольная бипирамида (J 13 ) |
---|---|---|---|
Изображение бипирамиды |
Калейдоскопическая симметрия [ править ]
«Стабильная» правый (симметричная) п -gonal бипирамида имеет двугранную симметрии группы D н ч , 4 - го порядка п , за исключением того, в случае правильного октаэдра , который имеет большую октаэдрическую симметрию группы O ч , порядка 48, который имеет три версии D 4h как подгруппы. Группа вращения - это D n порядка 2 n , за исключением случая правильного октаэдра, который имеет большую группу вращения O порядка 24, который имеет три версии D 4 в качестве подгрупп.
В 4 п треугольник грань «регулярная» вправо (симметричная) 2 п -gonal бипирамиды, проецируемая как 4 п сферического треугольника граней «регулярная» вправо (симметричная) 2 п -gonal сферической бипирамиды, представляют собой основные домены двугранных симметрия в трех измерениях : D n h , [ n , 2], (* n 22), порядок 4 n . Эти области можно отобразить в виде сферических треугольников с чередованием цветов:
- в плоскости отражения через коциклические ребра области зеркального отображения имеют разные цвета (непрямая изометрия);
- вокруг оси вращения n-го порядка через противоположные вершины домен и его изображение имеют один цвет (прямая изометрия).
П -gonal (симметричная) бипирамида можно рассматривать как Kleetope в «соответствующем» п -gonal двугранного угла .
Д п ч | D 1ч | Д 2ч | Д 3ч | Д 4ч | Д 5ч | Д 6ч | ... |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Изображение фундаментальных доменов | ... |
Объем [ править ]
Объем (симметричной) бипирамиды:
где B - площадь основания, а h - высота от плоскости основания до вершины.
Это работает для любой формы основания и для любого местоположения вершины, при условии, что h измеряется как перпендикулярное расстояние от плоскости, которая содержит внутреннее основание многоугольника. Следовательно:
Объем (симметричной) бипирамиды, основание которой представляет собой правильный n- сторонний многоугольник с длиной стороны s и высотой h :
Косые бипирамиды [ править ]
Неправые бипирамиды называются косыми бипирамидами .
Вогнутые бипирамиды [ править ]
Вогнутая бипирамида имеет вогнутую многоугольник базу.
(*) У его основания нет явного центроида ; если его вершины не находятся прямо над / под центром тяжести его основания, это не правая бипирамида. Во всяком случае, это вогнутый октаэдр.
Асимметричные / перевернутые правые бипирамиды [ править ]
Асимметричная правая бипирамида соединяет две правильные пирамиды с конгруэнтными основаниями , но неравных высот, база-основание.
Перевернутой правой бипирамида соединяет две правильные пирамиды с конгруэнтными основаниями , но неравных высот, база-базу, но с той же стороны их общей базы.
Двойное асимметричной или перевернутой правой бипирамида является усеченным .
«Правильная» асимметричная / перевернутая правая n -угольная бипирамида имеет группу симметрии C n v порядка 2 n .
Асимметричный | Перевернутый |
---|---|
Бипирамиды скален-треугольников [ править ]
« Изотоксальная » правая (симметричная) ди- n -угольная бипирамида - это правая (симметричная) 2 n -угольная бипирамида с изотоксальным плоским основанием многоугольника: ее 2 n вершины по сторонам копланарны, но чередуются в двух радиусах.
«Изотоксальная» правая (симметричная) ди- n -угольная бипирамида имеет n двукратных осей вращения через вершины вокруг сторон, n плоскостей отражения через вершины и вершины, n- кратную ось вращения через вершины, плоскость отражения через основание и п -кратно вращения отражения оси , проходящей через верхушек, [4] , представляющий группу симметрии D н ч , [ н , 2] (* 22 н ), 4 - го порядка п . (Отражение в базовой плоскости соответствует повороту-отражению 0 °. Если n четное, имеется симметрия относительно центра, соответствующая повороту-отражению на 180 °.)
Все его грани представляют собой равномерные разносторонние треугольники , и он равногранный . Его можно рассматривать как еще один тип правильного «симметричного» ди- n -угольного скаленоэдра .
Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными.
Пример:
- «Изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» (*) бипирамида с базовыми вершинами:
- U (1; 0; 0), U '(- 1; 0; 0), V (0; 2; 0), V' (0; -2; 0),
- и с вершинами:
- А (0; 0; 1), А '(0; 0; -1),
- имеет две разные длины кромки:
- ,
- ,
- ;
- таким образом, все его треугольные грани равнобедренные.
- «Изотоксальная» правая (симметричная) «дидигональная» (*) бипирамида с такими же базовыми вершинами, но с высотой вершины: 2, также имеет две разные длины ребер: , .
В кристаллографии существуют «изотоксальные» правые (симметричные) «дидигональные» (*) (8-гранные), дитригональные (12-гранные), дитетрагональные (16-гранные) и дигексагональные (24-гранные) бипирамиды. [4] [3]
(*) Наименьшие геометрические ди- n -угольные бипирамиды имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае (2 п = 2 × 2):
AN «isotoxal» правый (симметричный) «didigonal» бипирамида называется ромбической бипирамида , [4] [3] , хотя все его грани разносторонние треугольники, потому что его плоская многоугольник база ромб.
Scalenohedra [ править ]
«Обычный» правый «симметричное» ди - н -gonal scalenohedron могут быть сделаны с регулярным зиг-заг перекос 2 п -угольника основания, два симметричных Вершины прямо над и вправо ниже базового центра, и треугольник граней соединения каждого ребра основания к каждая вершина.
Он имеет две вершины и 2 n вершин по бокам, 4 n граней и 6 n ребер; она топологически идентична 2 n -угольной бипирамиде, но ее 2 n вершин по сторонам чередуются в два кольца выше и ниже центра. [3]
«Обычный» правый «симметричный» ди - н -gonal scalenohedron имеет п двукратный оси вращения до середины краев вокруг сторон, п плоскость отражения через вершину и верхушки, с п - кратное оси вращения через верхушки, а п - кратно ось вращения-отражения через вершины [4], представляющая группу симметрии D n v = D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ) порядка 4 n . (Если n нечетное, существует симметрия относительно центра, соответствующая повороту-отражению на 180 °.)
Все его грани представляют собой равномерные разносторонние треугольники , и он равногранный . Ее можно рассматривать как другой тип правильной «симметричной» 2 n -угольной бипирамиды с правильным зигзагообразным основанием косого многоугольника.
Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными .
В кристаллографии существуют «правильные» правильные «симметричные» «дидигональные» (8-гранные) и дитригональные (12-гранные) скаленоэдры. [4] [3]
Наименьшие геометрические скаленоэдры имеют восемь граней и топологически идентичны правильному октаэдру . В этом случае (2 n = 2 × 2):
«правильный» правый «симметричный» «дидигональный» скаленоэдр называется тетрагональным скаленоэдром ; [4] [3] его шесть вершин могут быть представлены как (0,0, ± 1), (± 1,0, z ), (0, ± 1, - z ), где z - параметр от 0 до 1. ;
при z = 0 это правильный октаэдр; при z = 1 это дисфеноид со всеми объединенными копланарными гранями (четыре равнобедренных равнобедренных треугольника); при z > 1 он становится вогнутым.
г = 0,1 | г = 0,25 | г = 0,5 | г = 0,95 | г = 1,5 |
---|---|---|---|---|
Примечание. Если основание 2 n -угольников одновременно является изотоксальным внутрь-наружу и зигзагообразно скошенным, то не все треугольные грани «изотоксального» правого «симметричного» тела конгруэнтны.
Пример: твердое тело с изотоксальным зигзагообразным перекосом 2 × 2-угольника в базовых вершинах:
U (1; 0; 1), U '(- 1; 0; 1), V (0; 2; -1) , V '(0; -2; -1),
и с "правыми" симметричными вершинами:
A (0; 0; 3), A' (0; 0; -3),
имеет пять различных длин ребер:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ;
таким образом, не все его треугольные грани конгруэнтны.
"Обычные" звездные бипирамиды [ править ]
Самопересекающаяся или звездная бипирамида имеет основание звездообразного многоугольника .
«Стабильная» правая симметрия звезды бипирамида может быть сделана с регулярной звездой полигоном базой, два симметричной Вершина правой выше и правой ниже базовым центра, и , таким образом , один-к-одному симметричный треугольника граней соединения каждого ребра основания к каждой вершине.
«Правильная» правосимметричная звездная бипирамида имеет конгруэнтные равнобедренные треугольные грани и является равногранной .
Примечание: не более одной конкретной высоты вершины треугольные грани могут быть равносторонними.
{ P / q } -бипирамида имеет диаграмму Кокстера .
Основание звездообразного многоугольника | 5/2 -угольник | 7/2-угольник | 7/3-угольник | 8/3-угольник | 9/2-угольник | 9/4-угольник |
---|---|---|---|---|---|---|
Изображение звезды бипирамиды | ||||||
Диаграмма Кокстера |
Основание звездообразного многоугольника | 10/3-угольник | 11/2-угольник | 11/3-угольник | 11/4-угольник | 11/5-угольник | 12/5-угольник |
---|---|---|---|---|---|---|
Изображение звезды бипирамиды | ||||||
Диаграмма Кокстера |
Бипирамиды звезды треугольника скален [ править ]
«Isotoxal» правая симметрия 2 р / д -gonal звезды бипирамида может быть сделана с isotoxal в-вне звезда 2 р / д -угольника основания, два симметричной Вершины прямо над и вправо ниже базовым центром, и , таким образом взаимно один симметричный треугольник, соединяющий каждую кромку основания с каждой вершиной.
«Isotoxal» правая симметрия 2 р / д -gonal звезды бипирамида имеет конгруэнтные неравносторонние грани треугольника, и является равногранным . Его можно рассматривать как еще один тип 2 p / q -угольного правого «симметричного» звездообразного скаленоэдра .
Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными.
Основание звездообразного многоугольника | Изотоксальный вход-выход 8/3-угольный |
---|---|
Изображение бипирамиды звезды треугольника скален |
Звездные скаленоэдры [ править ]
«Обычная» правый «симметричная» 2 р / д -gonal звезды scalenohedron может быть сделана с регулярным зигзагообразным перекосом звезда 2 р / д -угольника основания, два симметричных Вершины вправо выше и вправо ниже базовым центра и грани треугольника соединяя каждый край основания с каждой вершиной.
«Обычная» правая «симметричный» 2 р / д -gonal звезды scalenohedron имеет конгруэнтные неравносторонние грани треугольника, и является равногранным . Ее можно рассматривать как еще один тип правильной «симметричной» бипирамиды 2 p / q -угольной звезды с правильным зигзагообразным основанием многоугольника косой звезды.
Примечание: не более двух значений высоты вершины треугольные грани могут быть равнобедренными .
Основание звездообразного многоугольника | Обычный зигзагообразный перекос 8/3-угольник |
---|---|
Изображение звездного масштабноэдра |
Примечание: если основание 2 p / q -угольника звезды одновременно изотоксально внутрь-наружу и зигзагообразно скошено, то не все треугольные грани «изотоксального» правого «симметричного» звездного многогранника конгруэнтны.
Основание звездообразного многоугольника | Изотоксальный вход-выход зигзагообразный перекос 8/3-угольник |
---|---|
Изображение звездного многогранника |
С базовыми вершинами:
U 0 (1; 0; 1), U 1 (0; 1; 1), U 2 (-1; 0; 1), U 3 (0; -1; 1),
V 0 (2 ; 2; -1), V 1 (-2; 2; -1), V 2 (-2; -2; -1), V 3 (2; -2; -1),
а с вершинами:
A ( 0; 0; 3), A '(0; 0; -3),
у него четыре разных длины ребра:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ;
таким образом, не все его треугольные грани конгруэнтны.
4-многогранники с бипирамидными ячейками [ править ]
Двойной от ректификации каждых выпуклых регулярных 4-многогранников является клетка-транзитивена 4-многогранника с бипирамидальными клетками. В дальнейшем вершина бипирамиды - A, а вершина экватора - E. Расстояние между соседними вершинами на экваторе EE = 1, от вершины до края экватора - AE, а расстояние между вершинами - AA. 4-многогранник бипирамиды будет иметь V A вершин, на которых пересекаются вершины N A бипирамид. У него будет V E вершин, на которых пересекаются вершины типа E N E бипирамид. N AEбипирамиды встречаются вдоль каждого типа А-края. N EE бипирамид встречаются вдоль каждого края EE типа. C AE - косинус двугранного угла вдоль ребра AE. C EE - косинус двугранного угла вдоль ребра EE. Поскольку клетки должны располагаться вокруг края, N AA cos −1 (C AA ) ≤ 2 π , N AE cos −1 (C AE ) ≤ 2 π .
Свойства 4-многогранника | Свойства бипирамиды | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Двойной из | Диаграмма Кокстера | Клетки | V A | V E | N A | N E | N AE | N EE | Клетка | Диаграмма Кокстера | AA | AE ** | C AE | C EE |
Выпрямленный 5-элементный | 10 | 5 | 5 | 4 | 6 | 3 | 3 | Треугольная бипирамида | 2/3 | 0,667 | -1/7 | -1/7 | ||
Исправленный тессеракт | 32 | 16 | 8 | 4 | 12 | 3 | 4 | Треугольная бипирамида | 0,624 | -2/5 | -1/5 | |||
Ректифицированный 24-элементный | 96 | 24 | 24 | 8 | 12 | 4 | 3 | Треугольная бипирамида | 0,745 | 1/11 | -5/11 | |||
Выпрямленный 120-элементный | 1200 | 600 | 120 | 4 | 30 | 3 | 5 | Треугольная бипирамида | 0,613 | |||||
Выпрямленный 16-элементный | 24 * | 8 | 16 | 6 | 6 | 3 | 3 | Квадратная бипирамида | 1 | -1/3 | -1/3 | |||
Ректифицированные соты кубической формы | ∞ | ∞ | ∞ | 6 | 12 | 3 | 4 | Квадратная бипирамида | 1 | 0,866 | -1/2 | 0 | ||
Выпрямленный 600-элементный | 720 | 120 | 600 | 12 | 6 | 3 | 3 | Пятиугольная бипирамида | 1,447 |
- * Выпрямленные 16 ячеек являются правильными 24 ячейками, и все вершины эквивалентны - октаэдры являются правильными бипирамидами.
- ** Дано численно в связи с более сложной формой.
Высшие измерения [ править ]
В общем, бипирамиду можно рассматривать как n - многогранник, построенный с ( n - 1) - многогранником в гиперплоскости с двумя точками в противоположных направлениях, на одинаковом расстоянии перпендикулярно гиперплоскости. Если ( n - 1) -многогранник является правильным многогранником, он будет иметь одинаковые пирамидальные грани . Примером является 16-клеточная , которая представляет собой октаэдрическую бипирамиду, и, в более общем смысле, n - ортоплекс представляет собой ( n - 1) -ортоплексную бипирамиду.
Двумерная бипирамида - это квадрат .
См. Также [ править ]
- Трапецоэдр
Ссылки [ править ]
Цитаты [ править ]
- ^ NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы, рисунок 11.3c
- ^ а б «двойственность» . maths.ac-noumea.nc . Дата обращения 5 ноября 2020 .
- ^ a b c d e f "48 особых кристаллических форм" . web.archive.org . 18 сентября 2013 . Дата обращения 18 ноября 2020 .
- ^ a b c d e f g «Кристаллическая форма, зоны, кристаллическая привычка» . Tulane.edu . Проверено 16 сентября 2017 года .
Общие ссылки [ править ]
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме бипирамид . |
- Вайстейн, Эрик В. «Дипирамида» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . MathWorld .
- Равномерные многогранники
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
- Модели VRML (Джордж Харт) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>
- Обозначение Конвея для многогранников Попробуйте: «dP n », где n = 3, 4, 5, 6, ... например, «dP4» - октаэдр.
- Модели VRML (Джордж Харт) <3> <4> <5> <6> <7> <8> <9> <10>