Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из конфигурации Face )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Icosidodecahedron.png
Икосидодекаэдр		Икосидодекаэдр vertfig labeled.png
Фигура вершины представлена ​​как
3.5.3.5 или (3.5) 2

В геометрии , A конфигурация вершин [1] [2] [3] [4] представляет собой сокращенное обозначение для представления вершин фигуры многогранника или черепицы как последовательность граней вокруг вершины. Для равномерных многогранников существует только один тип вершин, поэтому конфигурация вершин полностью определяет многогранник. ( Киральные многогранники существуют в парах зеркальных изображений с одинаковой конфигурацией вершин.)

Конфигурация вершины задается как последовательность чисел, представляющих количество сторон граней, идущих вокруг вершины. Обозначение « abc » описывает вершину, которая имеет 3 грани вокруг нее, грани со сторонами a , b и c .

Например, «3.5.3.5» указывает вершину, принадлежащую 4 граням, чередующимся треугольникам и пятиугольникам . Эта конфигурация вершин определяет вершинно-транзитивный икосододекаэдр . Обозначения циклические и, следовательно, эквивалентны с разными начальными точками, поэтому 3.5.3.5 совпадает с 5.3.5.3. Порядок важен, поэтому 3.3.5.5 отличается от 3.5.3.5. (Первый состоит из двух треугольников, за которыми следуют два пятиугольника.) Повторяющиеся элементы могут быть собраны как экспоненты, поэтому этот пример также представлен как (3.5) 2 .

Его по-разному называли описанием вершины , [5] [6] [7] типом вершины , [8] [9] символом вершины , [10] [11] расположением вершин , [12] шаблоном вершин , [13] гранью- вектор . [14] Его также называют символом Канди и Роллетта из- за его использования для архимедовых тел в их книге 1952 года « Математические модели» . [15] [16] [17]

Фигуры вершин [ править ]

Конфигурации вершины также могут быть представлены в виде многоугольной вершины фигуры показаны грани вокруг вершины. Эта вершинная фигура имеет 3-мерную структуру, так как грани не находятся в одной плоскости для многогранников, но для однородных по вершинам многогранников все соседние вершины находятся в одной плоскости, и поэтому эту плоскостную проекцию можно использовать для визуального представления конфигурации вершин. .

Вариации и использование [ править ]

Сети правильных вершинных фигур, { p , q } = p q

{3,3} = 3 3
Вылет 180 °
{3,4} = 3 4
Перерыв 120 °
{3,5} = 3 5
Перерыв 60 °
{3,6} =

3 6
Дефект 0 °


{4,3}
Дефект 90 °
{4,4} =

4 4
Дефект 0 °


{5,3} = 5 3
Перерыв 36 °
{6,3} =

6 3
Дефект 0 °

Вершина должна иметь минимум 3 грани и угловой дефект .
Угловой дефект 0 ° заполнит евклидову плоскость правильной мозаикой.
По теореме Декарта количество вершин составляет 720 ° / дефект (4π радиан / дефект ).

Используются разные обозначения, иногда с разделителями запятой (,), а иногда и точкой (.). Оператор периода полезен, потому что он выглядит как произведение, и можно использовать нотацию экспоненты. Например, 3.5.3.5 иногда записывается как (3.5) 2 .

Обозначения также можно рассматривать как расширяющую форму простого символа Шлефли для правильных многогранников . Обозначение Шлефли { p , q } означает q p -угольников вокруг каждой вершины. Таким образом, { p , q } можно записать как ppp .. ( q раз) или p q . Например, икосаэдр равен {3,5} = 3.3.3.3.3 или 3 5 .

Это обозначение применяется как к многоугольным мозаикам, так и к многогранникам. Плоская конфигурация вершин обозначает однородное замощение, точно так же, как неплоская конфигурация вершин обозначает однородный многогранник.

Обозначения для хиральных форм неоднозначны . Например, курносый куб имеет формы по часовой стрелке и против часовой стрелки, которые идентичны на всех зеркальных изображениях. Оба имеют конфигурацию вершин 3.3.3.3.4.

Звездные многоугольники [ править ]

Обозначения также применимы к невыпуклым правильным граням, звездчатым многоугольникам . Например, пентаграмма имеет символ {5/2}, что означает, что у нее 5 сторон, дважды оборачивающихся вокруг центра.

Например, есть 4 правильных звездных многогранника с правильными многоугольниками или фигурами вершин звездного многоугольника. Небольшой звездчатый додекаэдр имеет символ шлефл из {5 / 2,5} , которая расширяется к явной конфигурации вершины 5 / 2,5 / 2,5 / 2,5 / 2,5 / 2 , или в сочетании , как (5/2) 5 . Большой звездчатый додекаэдр , {5 / 2,3} имеет треугольную вершину фигуру и конфигурацию (5 / 2,5 / 2,5 / 2) или (5/2) 3 . Большой додекаэдр , {5,5 / 2} имеет вершину pentagrammic фигуру, с конфигурацией вершин является (5.5.5.5.5) / 2 или (5 5 ) / 2. Большой икосаэдр , {3,5 / 2} также имеет вершину pentagrammic фигуру, с конфигурацией вершины (3.3.3.3.3) / 2 или (35 ) / 2.

{5 / 2,5} = (5/2) 5{5 / 2,3} = (5/2) 33 4 .5 / 23 4 .5 / 3(3 4 .5 / 2) / 2
{5,5 / 2} = (5 5 ) / 2{3,5 / 2} = (3 5 ) / 2V.3 4 .5 / 2V3 4 .5 / 3V (3 4 .5 / 2) / 2

Перевернутые многоугольники [ править ]

Считается, что грани вершинной фигуры движутся в одном направлении. Некоторые однородные многогранники имеют фигуры вершин с инверсиями, в которых грани движутся ретроградно. Фигура вершины представляет это в обозначении звездообразного многоугольника сторон p / q, таких что p <2 q , где p - количество сторон, а q - количество витков по окружности. Например, «3/2» означает треугольник, вершины которого проходят дважды, что совпадает с одним поворотом назад. Точно так же «5/3» - это обратная пентаграмма 5/2.

Все равномерные конфигурации вершин правильных выпуклых многоугольников [ править ]

См. Также: Archimedean_solid § Классификация , Замощение правильными многоугольниками § Комбинации правильных многоугольников, которые могут пересекаться в вершине , и Равномерное разбиение § Расширенные списки однородных мозаик

Полуправильные многогранники имеют конфигурации вершин с положительным угловым дефектом .

ПРИМЕЧАНИЕ. Фигура вершины может представлять собой регулярную или полурегулярную мозаику на плоскости, если ее дефект равен нулю. Он может представлять собой замощение гиперболической плоскости, если его дефект отрицательный.

Для однородных многогранников дефект угла может использоваться для вычисления количества вершин. Теорема Декарта утверждает, что все угловые дефекты в топологической сфере должны составлять 4 π  радиан или 720 градусов.

Поскольку все однородные многогранники имеют одинаковые вершины, это соотношение позволяет нам вычислить количество вершин, которое составляет 4 π / дефект или 720 / дефект .

Пример: усеченный куб 3.8.8 имеет угловой дефект 30 градусов. Следовательно, у него 720/30 = 24 вершины.

В частности, отсюда следует, что { a , b } имеет 4 / (2 - b (1 - 2 / a )) вершин.

Каждая нумерованная конфигурация вершин потенциально однозначно определяет полуправильный многогранник. Однако возможны не все конфигурации.

Топологические требования ограничивают существование. В частности, pqr означает, что p -угольник окружен чередующимися q -угольниками и r -угольниками, поэтому либо p четно, либо q равно r . Аналогично q четно или p равно r , а r четно или p равно q . Следовательно, потенциально возможными тройками являются 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (для любого n> 2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Фактически, все эти конфигурации с тремя гранями, встречающимися в каждой вершине, оказываются существующими.

Число в скобках - это количество вершин, определяемое угловым дефектом.

Тройки
  • Платоновы тела 3.3.3 (4), 4.4.4 (8), 5.5.5 (20)
  • призмы 3.4.4 (6), 4.4.4 (8; также указаны выше), 4.4.4. п (2 п )
  • Архимедовы твердые тела 3.6.6 (12), 3.8.8 (24), 3.10.10 (60), 4.6.6 (24), 4.6.8 (48), 4.6.10 (120), 5.6.6 (60) .
  • обычная черепица 6.6.6
  • полуправильные мозаики 3.12.12 , 4.6.12 , 4.8.8
Четверки
  • Платоново твердое тело 3.3.3.3 (6)
  • антипризмы 3.3.3.3 (6; также указаны выше), 3.3.3. п (2 п )
  • Архимедовы твердые тела 3.4.3.4 (12), 3.5.3.5 (30), 3.4.4.4 (24), 3.4.5.4 (60)
  • регулярная черепица 4.4.4.4
  • полуправильные мозаики 3.6.3.6 , 3.4.6.4
Пятерки
  • Платоново твердое тело 3.3.3.3.3 (12)
  • Архимедовы твердые тела 3.3.3.3.4 (24), 3.3.3.3.5 (60) (оба хиральные )
  • полуправильными тайлинги 3.3.3.3.6 (хиральных), 3.3.3.4.4 , 3.3.4.3.4 (обратите внимание , что два различных порядков одних и тех же чисел дают два разных моделей)
Шестерки
  • обычная черепица 3.3.3.3.3.3

Конфигурация лица [ править ]

Ромбический додекаэдр

Однородные двойные или каталонские твердые тела , включая бипирамиды и трапеции , являются правильными по вертикали ( гранно-транзитивными ), поэтому их можно идентифицировать с помощью аналогичных обозначений, которые иногда называют конфигурацией граней . [3] Cundy и Rollett приставкой эти двойные символы с помощью V . Напротив, мозаики и узоры используют квадратные скобки вокруг символа для равногранных мозаик.

Это обозначение представляет собой последовательный подсчет количества граней, существующих в каждой вершине вокруг грани . [18] Например, V3.4.3.4 или V (3.4) 2 представляет ромбический додекаэдр, который является гранно -транзитивным: каждая грань является ромбом , а чередующиеся вершины ромба содержат 3 или 4 грани каждая.

Заметки [ править ]

  1. ^ Единое решение для однородных многогранников, архивировано 27 ноября 2015 г. в Wayback Machine (1993)
  2. ^ Равномерные многогранники Роман Э. Мейдер (1995)
  3. ^ a b Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры Вальтер Штюрер, София Делуди, (2009) стр. 18–20 и 51–53
  4. ↑ Physical Metallurgy: 3-Volume Set, Volume 1 под редакцией Дэвида Э. Лафлина (2014), стр. 16–20
  5. ^ Архимедовые многогранники Стивен Датч
  6. ^ Uniform Polyhedra Джим Макнил
  7. ^ Равномерные многогранники и их двойники Роберт Уэбб
  8. ^ Графы типа симметрии платоновых и архимедовых тел , Юрий Кович, (2011)
  9. ^ 3. Общие теоремы: регулярные и полурегулярные мозаики Кевин Митчелл, 1995
  10. ^ Ресурсы для преподавания дискретной математики: школьные проекты, история, модули и статьи, под редакцией Брайана Хопкинса
  11. ^ Vertex Symbol Роберт Уиттакер
  12. ^ Структура и форма в дизайне: критические идеи для творческой практики Майкла Ханна
  13. ^ Графы типа симметрии платоновых и архимедовых тел Юрий Кович
  14. ^ Деза, Мишель; Штогрин, Михаил (1999). «Равномерные разбиения трехмерного пространства, их родственники и вложения» . arXiv : math / 9906034 . Bibcode : 1999math ...... 6034D . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  15. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Архимедово твердое тело» . MathWorld .
  16. ^ Разделенные сферы: геодезические и упорядоченное деление сферы 6.4.1 Символ Канди-Роллетта, стр. 164
  17. ^ Лафлин (2014), стр. 16
  18. ^ Канди и Роллетт (1952)

Ссылки [ править ]

  • Канди, Х., Роллетт, А., Математические модели (1952), (3-е издание, 1989, Стрэдброк, Англия: Tarquin Pub.), 3.7 . Архимедовы многогранники . Стр. 101–115, стр. 118–119 Таблица I, Сети архимедовых двойников, V. a . б . c ... как вертикально-правильные символы.
  • Питер Кромвель, Многогранники , Cambridge University Press (1977) Архимедовы тела. Стр. 156–167.
  • Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. Используется символ Канди-Роллетта.
  • Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.Стр. 58–64, Замощения правильных многоугольников abc ... (Замощения правильными многоугольниками и звездчатыми многоугольниками) стр. 95–97, 176, 283, 614–620, Символ моноэдрального разбиения [v 1 .v 2 . ... .v r ]. С. 632–642 полые мозаики.
  • Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 (стр. 289 Вершинные фигуры, для архимедовых тел и мозаик используется разделитель запятой). 

Внешние ссылки [ править ]

  • Согласованные описания вершин Стелла (программное обеспечение) , Роберт Уэбб