Икосидодекаэдр

Икосидодекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 32, E = 60, V = 30 (χ = 2)
Лица по сторонам	20 {3} +12 {5}
Обозначение Конвея	объявление
Символы Шлефли	г {5,3}
Символы Шлефли	т ₁ {5,3}
Символ Wythoff	2 \| 3 5
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	I _h , H ₃ , [5,3], (* 532), заказ 120
Группа вращения	I , [5,3] ⁺ , (532), порядок 60
Двугранный угол	142,62 ° ${\ displaystyle \ cos ^ {- 1} \ left (- {\ sqrt {{\ frac {1} {15}} \ left (5 + 2 {\ sqrt {5}} \ right)}} \ right)}$
использованная литература	U ₂₄ , C ₂₈ , W ₁₂
Характеристики	Полурегулярный выпуклый квазирегулярный
Цветные лица	3.5.3.5 ( Вершинная фигура )
Ромбический триаконтаэдр ( двойственный многогранник )	Сеть

3D модель икосододекаэдра

В геометрии , икосододекаэдр является полиэдр с двадцатью (icosi) треугольных граней и двенадцать (додека-) пятиугольной граней. Икосододекаэдр имеет 30 одинаковых вершин, в каждом из которых встречаются два треугольника и два пятиугольника, а также 60 одинаковых ребер, каждое из которых отделяет треугольник от пятиугольника. Как таковое, это одно из архимедовых тел и, в частности, квазирегулярный многогранник .

Геометрия [ править ]

Икосододекаэдр обладает икосаэдрической симметрией, и ее первыми плеяде'ученым представляет собой соединение из додекаэдра и его двойной икосаэдр , с вершинами икосододекаэдра , расположенным в серединах краев либо.

Его двойственный многогранник - ромбический триаконтаэдр . Икосододекаэдр можно разделить по любой из шести плоскостей, чтобы образовать пару пятиугольных ротондов , которые принадлежат телам Джонсона .

Икосододекаэдр можно рассматривать как пятиугольную гиробиротонду как комбинацию двух ротондов (сравните пятиугольную ортобиротонду , одно из тел Джонсона ). В этой форме его симметрия D 5d , [10,2 ⁺ ], (2 * 5), порядок 20.

Каркасная фигура из икосододекаэдр состоит из шести плоских регулярных десятиугольников , встречи в парах в каждом из 30 вершин.

Икосододекаэдр имеет 6 центральных декагонов . Спроецированные в сферу, они образуют 6 больших кругов . Бакминстер Фуллер использовал эти 6 больших кругов, а также 15 и 10 других в двух других многогранниках, чтобы определить 31 большой круг сферического икосаэдра .

Декартовы координаты [ править ]

Удобные декартовы координаты для вершин икосододекаэдра с единичными ребрами задаются четными перестановками : ^[1]

(0, 0, ± φ )
(±1/2, ±φ/2, ±φ ²/2)

где φ - золотое сечение ,1 + √ 5/2.

Ортогональные проекции [ править ]

Икосододекаэдр имеет четыре специальных ортогональных проекции с центрами на вершине, ребре, треугольной грани и пятиугольной грани. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера А ₂ и Н ₂ .

Ортогональные проекции
В центре	Вершина	Край	Лицо Треугольник	Лицо Пентагона
Твердый
Каркас
Проективная симметрия	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойной

Площадь и объем поверхности [ править ]

Площадь поверхности A и объем V икосододекаэдра с длиной ребра a равны:

{\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ left (5 {\ sqrt {3}} + 3 {\ sqrt {5}} {\ sqrt {3 + 4 \ varphi}} \ right) a ^ {2} && = \ left (5 {\ sqrt {3}} + 3 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} \ right) a ^ {2} && \ приблизительно 29.3059828a ^ {2} \\ V & = {\ frac {14 + 17 \ varphi} {3}} a ^ {3} && = {\ frac {45 + 17 {\ sqrt {5}}} {6}} a ^ {3} && \ приблизительно 13.8355259a ^ {3}. \ End {align}}}

Сферическая мозаика [ править ]

60 ребер образуют 6 декагонов, соответствующих большим кругам в сферической плитке.

Икосододекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	В центре Пентагона	Треугольник по центру

Ортографические проекции

2-х, 3-х и 5-ти осей симметрии

Связанные многогранники [ править ]

Икосододекаэдр - это выпрямленный додекаэдр, а также выпрямленный икосаэдр , существующий как усечение по всей длине между этими правильными телами.

Икосододекаэдр содержит 12 пятиугольников додекаэдра и 20 треугольников икосаэдра :

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] ⁺ , (532)


{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Икосододекаэдр существует в последовательности симметрий квазирегулярных многогранников и мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , переходящих от мозаик сферы к евклидовой плоскости и в гиперболическую плоскость. С орбифолдной нотацией симметрии * n 32 все эти мозаики являются конструкцией Wythoff в фундаментальной области симметрии с точками образующих в правом углу области. ^[2]^[3]

* n 32 орбифолдных симметрии квазирегулярных мозаик : (3. n ) ²
Строительство	Сферический			Евклидово	Гиперболический
Строительство	* 332	* 432	* 532	* 632	* 732	* 832 ...	* ∞32
Квазирегулярные фигуры
Вершина	(3,3) 2	(3,4) 2	(3,5) 2	(3,6) 2	(3,7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2

* 5 n 2 изменения симметрии квазирегулярных мозаик : (5.n) ² v т е
Симметрия * 5 n 2 [n, 5]	Сферический	Гиперболический					Паракомпакт	Некомпактный
Симметрия * 5 n 2 [n, 5]	* 352 [3,5]	* 452 [4,5]	* 552 [5,5]	* 652 [6,5]	* 752 [7,5]	* 852 [8,5] ...	* ∞52 [∞, 5]	[ n i, 5]
Цифры
Конфиг.	(5,3) 2	(5,4) 2	(5.5) 2	(5,6) 2	(5,7) 2	(5,8) 2	(5.∞) 2	(5. н я) ²
Ромбические фигуры
Конфиг.	V (5,3) 2	V (5,4) ²	В (5,5) 2	В (5,6) ²	В (5,7) ²	В (5,8) ²	V (5.∞) ²	V (5.∞) ²

Рассечение [ править ]

Икосододекаэдр связан с твердым телом Джонсона, называемым пятиугольной ортобиротондой, созданной двумя пятиугольными ротондами, соединенными как зеркальные изображения. Следовательно, икосододекаэдр можно назвать пятиугольной гиробиротондой с вращением между верхней и нижней половинами.

(Рассечение)

Икосидодекаэдр
( пятиугольная гиробиротонда )

Пятиугольная ортобиротонда

Пятиугольная ротонда

Связанные многогранники [ править ]

Икосидодекаэдр в усеченном кубе

Усеченный куб может быть превращен в икосододекаэдр путем деления восьмиугольников на две пяти- и два треугольника. Имеет пиритоэдрическую симметрию .

Восемь однородных звездных многогранников имеют одинаковое расположение вершин . Из них два также одну и ту же компоновку края : на небольшой icosihemidodecahedron (имеющий треугольные грани в обычных), а также небольшой dodecahemidodecahedron (имеющий пятиугольные лица в общий). Расположение вершин также совместно с соединениями из пяти октаэдров и пять tetrahemihexahedra .

Икосидодекаэдр	Малый икосигемидодекаэдр	Малый додекагемидодекаэдр
Большой икосододекаэдр	Большой додекагемидодекаэдр	Большой икосигемидодекаэдр
Додекадодекаэдр	Малый додекагемикосаэдр	Большой додекагемикосаэдр
Соединение пяти октаэдров	Соединение пяти тетрагемигексаэдров

Связанная полихора [ править ]

В четырехмерной геометрии икосододекаэдр появляется в регулярной 600-ячейке как экваториальный срез, который принадлежит переходу первой вершины 600-ячейки через трехмерное пространство. Другими словами: 30 вершин 600-ячейки, которые лежат на расстоянии 90 градусов по дуге описанной гиперсферы от пары противоположных вершин, являются вершинами икосододекаэдра. Каркасная фигура 600-элементного блока состоит из 72 плоских правильных декагонов. Шесть из них являются экваториальными декагонами пары противоположных вершин. Это в точности шесть декагонов, которые образуют проволочную рамку икосододекаэдра.

Икозододекаэдрический граф [ править ]

Икосидодекаэдрический граф
Диаграмма Шлегеля 5-кратной симметрии
Вершины	30
Края	60
Автоморфизмы	120
Характеристики	Граф четвертого порядка , гамильтониан , регулярный
Таблица графиков и параметров

В математической области теории графов , A icosidodecahedral график является графиком вершин и ребер из икосододекаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 30 вершин и 60 ребер и является архимедовым графом квартики . ^[4]

Интересные факты [ править ]

Во вселенной «Звездный путь» цель вулканской логической игры Кал-Тоха - создать голографический икосододекаэдр.

В книге Тима Пратта «Неправильные звезды» из серии «Аксиома» по обе стороны от Елены находится машина икосододекаэдра. [Мягкая обложка, стр. 336]

Сфера Hoberman является icosadodecahedron.

См. Также [ править ]

Кубооктаэдр
Большой усеченный икосододекаэдр
Икосаэдр
Ромбикосододекаэдр
Усеченный икосододекаэдр

Заметки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрическая группа" . MathWorld .
^ Регулярные многогранники Кокстера , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)
^ Двумерные мутации симметрии Дэниел Хьюсон
^ Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

Ссылки [ править ]

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.

Внешние ссылки [ править ]

Эрик В. Вайсштейн , Икосидодекаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники o3x5o - id" .
Редактируемая печатная сетка икосододекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
Равномерные многогранники
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников

[1] Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрическая группа" . MathWorld .

[2] Регулярные многогранники Кокстера , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)

[3] Двумерные мутации симметрии Дэниел Хьюсон

[4] Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269