| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В геометрии , A квазирегулярная полиэдр является однородным полиэдр , что имеет ровно два вида регулярных граней , которые чередуются вокруг каждой вершины . Они являются вершинно-транзитивными и реберно-транзитивными , следовательно, на шаг ближе к правильным многогранникам, чем к полуправильным , которые просто вершинно-транзитивны.
Их двойные цифры являются лицом транзитивны и ребрами транзитивны; у них есть ровно два типа правильных вершинных фигур , которые чередуются вокруг каждой грани . Иногда их также считают квазирегулярными.
Есть только две выпуклые квазирегулярная многогранники: кубооктаэдр и икосододекаэдр . Их имена, данные Кеплером , основаны на признании того, что их грани - это все грани (повернутые по-разному) двойного парного куба и октаэдра в первом случае и двойных парных икосаэдра и додекаэдра во втором.
Этим формам, представляющим пару правильной фигуры и ее двойника, можно дать вертикальный символ Шлефли. или r {p, q} , чтобы обозначить, что их грани - это все грани (повернутые по-разному) как правильного {p, q}, так и двойственного регулярного {q, p} . Квазирегулярный многогранник с этим символом будет иметь конфигурацию вершин p.qpq (или (pq) 2 ).
В более общем смысле, квазирегулярная фигура может иметь конфигурацию вершин (pq) r , представляющую r (2 или более) последовательностей граней вокруг вершины.
Замощения на плоскости также могут быть квазирегулярными, в частности трехгексагональные , с конфигурацией вершин (3.6) 2 . На гиперболической плоскости существуют и другие квазирегулярные мозаики , например тригептагональные мозаики , (3.7) 2 . Или, в более общем смысле: (pq) 2 , где 1 / p + 1 / q <1/2 .
Правильные многогранники и мозаики с четным числом граней в каждой вершине также можно считать квазирегулярными, если различать грани одного порядка, представлять их по-разному, например раскрашивать их поочередно (без определения ориентации поверхности). Правильная фигура с символом Шлефли {p, q} может считаться квазирегулярной с конфигурацией вершин (pp) q / 2 , если q четно.
Примеры:
Правильный октаэдр с символом Шлефли {3,4} и четным числом 4 можно считать квазирегулярным как тетраэдр (2 набора по 4 треугольника тетраэдра ) с конфигурацией вершин (3.3) 4/2 = (3 a .3 б ) 2 , чередуя два цвета треугольных граней.
Квадратная плитку , с конфигурацией вершины 4 4 и 4 будучи даже, можно считать квазирегулярной, с вершиной конфигурации (4.4) 4/2 = (4 0,4 б ) 2 , цветные в качестве шахматной доски .
Треугольная плитку , с конфигурацией вершины 3 6 и 6 будучи даже, можно считать квазирегулярной, с вершиной конфигурации (3.3) 6/2 = (3 0,3 б ) 3 , чередуя два цвета треугольных граней.
Строительство Wythoff
Регулярные ( p | 2 q ) и квазирегулярные многогранники ( 2 | pq ) создаются с помощью конструкции Wythoff с точкой образующей в одном из 3 углов фундаментальной области. Это определяет единственное ребро в основной области. |
Кокстер определяет квазирегулярный многогранник как многогранник, имеющий символ Уайтхоффа в форме p | qr , и регулярно, если q = 2 или q = r. [1]
Схема Кокстера-Дынкина еще одно символическое представление , которое показывает квазирегулярный соотношение между двумя двумя регулярными формами:
Символ Шлефли | Диаграмма Кокстера | Символ Wythoff | |
---|---|---|---|
{p, q} | q | 2 шт. | ||
{q, p} | p | 2 кв. | ||
г {р, д} | или же | 2 | pq |
Выпуклые квазирегулярные многогранники
Есть два равномерных выпуклых квазирегулярных многогранника:
- кубооктаэдр , конфигурация вершин (3.4) 2 , диаграмма Кокстера-Дынкина
- икосододекаэдр , конфигурация вершин (3.5) 2 , диаграмма Кокстера-Дынкина
Кроме того, октаэдр , тоже правильный ,, конфигурация вершин (3.3) 2 , может считаться квазирегулярной, если чередующиеся грани заданы разными цветами. В этой форме его иногда называют тетраэтраэдром . Остальные выпуклые правильные многогранники имеют нечетное количество граней в каждой вершине, поэтому их нельзя раскрасить таким образом, чтобы сохранить транзитивность ребер. Имеет диаграмму Кокстера-Дынкина
Каждый из них образует общую сердцевину дуальной пары правильных многогранников . Имена двух из них дают подсказки к связанной двойственной паре: соответственно куб октаэдр и икосаэдр додекаэдр . Октаэдр является общим ядром двойственной пары тетраэдров (соединение , известное как STELLA octangula ); полученный таким образом, октаэдр иногда называют тетраэдром , поскольку тетраэдр тетраэдр .
Обычный | Двойной обычный | Квазирегулярное общее ядро | Фигура вершины |
---|---|---|---|
Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3 | Тетраэдр {3,3} 3 | 2 3 | Тетратетраэдр r {3,3} 2 | 3 3 | 3.3.3.3 |
Куб {4,3} 3 | 2 4 | Октаэдр {3,4} 4 | 2 3 | Кубооктаэдр r {3,4} 2 | 3 4 | 3.4.3.4 |
Додекаэдр {5,3} 3 | 2 5 | Икосаэдр {3,5} 5 | 2 3 | Икосододекаэдр r {3,5} 2 | 3 5 | 3.5.3.5 |
Каждый из этих квазирегулярных многогранников может быть построен с помощью операции исправления на любом регулярном родительском элементе, полностью усекая вершины, пока каждое исходное ребро не будет уменьшено до его средней точки.
Квазирегулярные мозаики
Эта последовательность продолжается как тригексагональный тайлинг , вершинная фигура (3.6) 2 - квазирегулярный тайлинг, основанный на треугольном и шестиугольном замощении .
Обычный | Двойной обычный | Квазирегулярное сочетание | Фигура вершины |
---|---|---|---|
Шестиугольная черепица {6,3} 6 | 2 3 | Треугольная черепица {3,6} 3 | 2 6 | Трехгранная черепица r {6,3} 2 | 3 6 | (3,6) 2 |
Шахматный шаблон является квазирегулярной окраской квадратной плитки , вершины фигуры (4.4) 2 :
Обычный | Двойной обычный | Квазирегулярное сочетание | Фигура вершины |
---|---|---|---|
{4,4} 4 | 2 4 | {4,4} 4 | 2 4 | г {4,4} 2 | 4 4 | (4,4) 2 |
Треугольные плитки также можно считать квазирегулярными, с тремя наборами чередующихся треугольников в каждой вершине, (3.3) 3 :
h {6,3} 3 | 3 3 знак равно |
В гиперболической плоскости эта последовательность продолжается и дальше, например, тригептагональная мозаика , вершинная фигура (3.7) 2 - квазирегулярная мозаика, основанная на треугольной мозаике порядка 7 и семиугольной мозаике .
Обычный | Двойной обычный | Квазирегулярное сочетание | Фигура вершины |
---|---|---|---|
Плитка семиугольной формы {7,3} 7 | 2 3 | Треугольная черепица {3,7} 3 | 2 7 | Тригептагональная черепица r {3,7} 2 | 3 7 | (3,7) 2 |
Невыпуклые примеры
Coxeter, HSM et al. (1954) также классифицируют некоторые звездные многогранники , имеющие те же характеристики, как квазирегулярные.
Два основаны на двойственных парах регулярных тел Кеплера – Пуансо так же, как и в выпуклых примерах:
большой икосододекаэдр , а додекадодекаэдр :
Обычный | Двойной обычный | Квазирегулярное общее ядро | Фигура вершины |
---|---|---|---|
Большой звездообразный додекаэдра { 5 / 2 , 3} 3 | 2 5/2 | Большой икосаэдр {3, 5 / 2 } 5/2 | 2 3 | Большой икосододекаэдр г {3, 5 / 2 } 2 | 3 5/2 | 3. 5 / 2 .3. 5 / 2 |
Малый звездообразный додекаэдра { 5 / 2 , 5} 5 | 2 5/2 | Большой додекаэдр {5, 5 / 2 } 5/2 | 2 5 | Dodecadodecahedron г {5, 5 / 2 } 2 | 5 5/2 | 5. 5 / 2 0,5. 5 / 2 |
Еще девять - это гемиполиэдры , которые представляют собой фасеточные формы вышеупомянутых квазирегулярных многогранников, полученных в результате выпрямления правильных многогранников. К ним относятся экваториальные грани, проходящие через центр многогранников:
Квазирегулярный (выпрямленный) | Тетратетраэдр | Кубооктаэдр | Икосидодекаэдр | Большой икосододекаэдр | Додекадодекаэдр |
---|---|---|---|---|---|
Квазирегулярные (гемиполиэдры) | Тетрагемигексаэдр 3 / +2 3 | 2 | Octahemioctahedron 3 / +2 3 | 3 | Малый icosihemidodecahedron 3 / +2 3 | 5 | Great icosihemidodecahedron 3 / 2 3 | 5 / 3 | Малый dodecahemicosahedron 5 / 3 5 / 2 | 3 |
Фигура вершины | 3.4. 3 / 2 .4 | 3.6. 3 / 2 +0,6 | 3.10. 3 / 2 .10 | 3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 | 5 / 2 .6. 5 / 3 .6 |
Квазирегулярные (гемиполиэдры) | Cubohemioctahedron 4 / +3 4 | 3 | Малый dodecahemidodecahedron 5 / 4 5 | 5 | Большой dodecahemidodecahedron 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3 | Большой dodecahemicosahedron 5 / 4 5 | 3 | |
Фигура вершины | 4.6. 4 / 3 .6 | 5.10. 5 / 4 .10 | 5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 | 5.6. 5 / 4 0,6 |
Наконец, есть три дитригональные формы, все грани правильного додекаэдра, чьи вершинные фигуры содержат три чередования двух типов граней:
Изображение | Граненая форма Символ Уайтхоффа Диаграмма Кокстера | Фигура вершины |
---|---|---|
Дитригональный додекадодекаэдр 3 | 5/3 5 или | (5,5 / 3) 3 | |
Малый дитригональный икосододекаэдр 3 | 5/2 3 или | (3,5 / 2) 3 | |
Большой дитригональный икосододекаэдр 3/2 | 3 5 или | ((3,5) 3 ) / 2 |
На евклидовой плоскости последовательность гемиполиэдров продолжается следующими четырьмя звездными мозаиками, где апейрогоны появляются как вышеупомянутые экваториальные многоугольники:
Оригинальная ректифицированная плитка | Диаграмма края | Твердый | Конфигурация вершин | Wythoff | Группа симметрии |
---|---|---|---|---|---|
Квадратная плитка | 4.∞.4 / 3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | ||
Треугольная черепица | (3.∞.3.∞.3.∞) / 2 | 3/2 | 3 ∞ | p6m | ||
Трехгранная черепица | 6.∞.6 / 5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | |||
∞.3.∞.3 / 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ |
Квазирегулярные двойники
Некоторые авторитетные источники утверждают, что, поскольку двойники квазирегулярных тел обладают одинаковой симметрией, эти двойники также следует называть квазирегулярными. Но не все используют эту терминологию. Эти двойники транзитивны по своим ребрам и граням (но не по вершинам); они представляют собой каталонские твердые тела с переходным ребром . Выпуклые, в соответствующем порядке, как указано выше:
- Ромбический додекаэдр , с двумя типами чередующихся вершин, 8 с тремя ромбическими гранями и 6 с четырьмя ромбическими гранями.
- Ромбический триаконтаэдр , с двумя типами чередующихся вершин, 20 с тремя ромбическими гранями и 12 с пятью ромбическими гранями.
Кроме того, из-за двойственности с октаэдром куб , который обычно является правильным , можно сделать квазирегулярным, если альтернативным вершинам присвоить разные цвета.
Конфигурация их граней имеет вид V3.n.3.n, а диаграмма Кокстера-Дынкина
Куб V (3,3) 2 | Ромбический додекаэдр V (3.4) 2 | Ромбический триаконтаэдр V (3.5) 2 | Ромбильная плитка V (3,6) 2 | В (3,7) 2 | V (3.8) 2 |
Эти три квазирегулярных двойника также имеют ромбические грани.
Этот ромбовидный узор продолжается как V (3.6) 2 , ромбическая мозаика .
Квазирегулярные многогранники и соты
В более высоких измерениях Кокстер определил квазирегулярный многогранник или соты, которые имеют правильные грани и квазирегулярные фигуры вершин. Отсюда следует, что все фигуры вершин конгруэнтны и есть два вида фасетов, которые чередуются. [2]
В евклидовом 4-мерном пространстве регулярные 16-ячеечные клетки также можно рассматривать как квазирегулярные как альтернативный тессеракт , h {4,3,3}, диаграммы Кокстера : знак равно , состоящий из чередующихся ячеек тетраэдра и тетраэдра . Его вершинная фигура - квазирегулярный тетраэдр (октаэдр с тетраэдрической симметрией),.
Единственные квазирегулярные соты в трехмерном евклидовом пространстве - это чередующиеся кубические соты , h {4,3,4}, диаграммы Кокстера: знак равно , состоящий из чередующихся тетраэдрических и октаэдрических ячеек . Его вершина - квазирегулярный кубооктаэдр ,. [2]
В гиперболическом трехмерном пространстве одна квазирегулярная сотовая структура представляет собой чередующиеся кубические соты порядка 5 , h {4,3,5}, диаграммы Кокстера: знак равно , состоящий из чередующихся тетраэдрических и икосаэдрических ячеек . Его вершина - квазирегулярный икосододекаэдр ,. Связанная паракомпактная чередовались порядка 6 кубических сотни , ч {4,3,6} имеет чередующийся тетраэдрическую и гексагональную МОЗАИЧНУЮ клетку с вершиной фигурой квазирегулярной trihexagonal плиточным ,.
Квазирегулярные полихоры и соты: h {4, p, q} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Аффинный | Компактный | Паракомпакт | |||||||
Символ Шлефли | ч {4,3,3} | ч {4,3,4} | ч {4,3,5} | ч {4,3,6} | ч {4,4,3} | ч {4,4,4} | |||||
Диаграмма Кокстера | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | |||||
↔ | ↔ | ||||||||||
Изображение | |||||||||||
Фигура вершины r {p, 3} |
Правильная полихора или соты формы {p, 3,4} или симметрию можно сократить вдвое, как в квазирегулярную форму , создавая поочередно окрашенные {p, 3} ячейки. Эти случаи включают евклидовы кубические соты {4,3,4} с кубическими ячейками, компактные гиперболические {5,3,4} с додекаэдрическими ячейками и паракомпактные {6,3,4} с бесконечными шестиугольными мозаичными ячейками. У них по четыре ячейки по краям, чередующиеся двух цветов. Их вершинные фигуры представляют собой квазирегулярные тетратраэдры, знак равно .
Обычные и квазирегулярные соты: {p, 3,4} и {p, 3 1,1 } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Евклидово 4-пространство | Евклидово 3-пространство | Гиперболическое 3-пространство | ||||||||
Имя | {3,3,4} {3,3 1,1 } = | {4,3,4} {4,3 1,1 } = | {5,3,4} {5,3 1,1 } = | {6,3,4} {6,3 1,1 } = | |||||||
Диаграмма Кокстера | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | |||||||
Изображение | |||||||||||
Ячейки {p, 3} |
Аналогично правильные гиперболические соты формы {p, 3,6} или симметрию можно сократить вдвое, как в квазирегулярную форму , создавая поочередно окрашенные {p, 3} ячейки. У них по шесть ячеек по краям, чередующихся двух цветов. Их вершинные фигуры представляют собой квазирегулярные треугольные мозаики ,.
Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | {3,3,6} {3,3 [3] } | {4,3,6} {4,3 [3] } | {5,3,6} {5,3 [3] } | {6,3,6} {6,3 [3] } | {7,3,6} {7,3 [3] } | {8,3,6} {8,3 [3] } | ... {∞, 3,6} {∞, 3 [3] } |
Изображение | |||||||
Клетки | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} |
Смотрите также
- Киральный многогранник
- Ректификация (геометрия)
Заметки
- ^ Кокстер, HSM , Лонге-Хиггинс, М.С. и Миллер, JCP Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), стр. 401–450. (Раздел 7, Правильные и квазирегулярные многогранники p | qr )
- ^ a b Кокстер, Правильные многогранники, 4.7 Другие соты. стр.69, стр.88
Рекомендации
- Кромвель, П. Многогранники , издательство Кембриджского университета (1977).
- Кокстер , Правильные многогранники , (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , 2.3 Квазирегулярные многогранники. (стр.17), Квазирегулярные соты стр.69
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Квазирегулярный многогранник" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Равномерный многогранник» . MathWorld .Квазиправильные многогранники: (pq) r
- Джордж Харт, Квазирегулярные многогранники