Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Трехгранная черепица
Трехгранная черепица
ТипПолурегулярная черепица
Конфигурация вершиныТайлинг 3-6 vertfig.svg
(3,6) 2
Символ Шлефлиr {6,3} или h 2 {6,3}
Символ Wythoff2 | 6 3
3 3 | 3
Диаграмма КокстераCDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png знак равно CDel узел h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Симметрияp6m , [6,3], (* 632)
Симметрия вращенияp6 , [6,3] + , (632)
p3 , [3 [3] ] + , (333)
Акроним BowersКоторый
ДвойнойРомбильная плитка
ХарактеристикиВершинно-транзитивный Edge-транзитивный

В геометрии , то trihexagonal черепица является одним из 11 однородных разбиений в евклидовой плоскости правильными многоугольниками . [1] Он состоит из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников , расположенных так, что каждый шестиугольник окружен треугольниками и наоборот. Название происходит от того факта, что он сочетает в себе правильную шестиугольную плитку и правильную треугольную плитку . Два шестиугольника и два треугольника чередуются вокруг каждой вершины , а его ребра образуют бесконечное расположение линий . Его двойная - ромбовидная плитка.. [2]

Этот образец и его место в классификации однородных мозаик были уже известны Иоганну Кеплеру в его книге 1619 года « Harmonices Mundi» . [3] Этот узор издавна использовался в японском плетении , где его называют кагоме . Японский термин для этого паттерна был использован в физике, где он называется решеткой Кагоме . Он также встречается в кристаллических структурах некоторых минералов. Конвей называет это гексаделтилью , комбинируя альтернативные элементы из шестиугольной плитки (hextille) и треугольной плитки (deltille). [4]

Кагоме [ править ]

Японская корзина с узором кагомэ

Кагоме ( яп .籠 目) - это традиционный японский тканый бамбуковый узор; его название составлено из слов kago , что означает «корзина», и me , что означает «глаз (а)», относящихся к узору отверстий в тканой корзине.

подробный узор кагоме

Это соткан расположение из планок , состоящих из переплетенных треугольников таким образом, что каждая точка , где пересекаются две накладки имеет четыре соседние точки, образующие рисунок с trihexagonal черепицей. Процесс плетения придает Кагоме хиральную симметрию группы обоев , p6 , (632).

Решетка Кагоме [ править ]

Термин решетка кагоме был введен японским физиком Коди Хусими и впервые появился в статье 1951 года его помощника Ичиро Сёдзи. [5] Решетка кагоме в этом смысле состоит из вершин и ребер трехгексагонального тайлинга. Несмотря на название, эти точки пересечения не образуют математической решетки .

Связанная с этим трехмерная структура, образованная вершинами и ребрами четверти кубической соты , заполняющая пространство правильными тетраэдрами и усеченными тетраэдрами , была названа решеткой гипер-кагоме . [6] Он представлен вершинами и ребрами четверти кубической соты , заполняющей пространство правильными тетраэдрами и усеченными тетраэдрами . Он содержит четыре набора параллельных плоскостей точек и линий, каждая из которых представляет собой двумерную решетку кагоме. Второе трехмерное выражение имеет параллельные слои двумерных решеток и называется ромбической решеткой кагоме . [6]Trihexagonal призматических соты представляют свои ребра и вершину.

Некоторые минералы , а именно ярозиты и гербертсмитит , содержат двумерные слои или трехмерные решетки кагоме расположение атомов в их кристаллической структуре . Эти минералы демонстрируют новые физические свойства, связанные с геометрически нарушенным магнетизмом . Например, расположение спинов магнитных ионов в Co 3 V 2 O 8 основано на решетке кагоме, которая демонстрирует удивительное магнитное поведение при низких температурах. [7] Было обнаружено, что квантовые магниты, реализованные на решетках Кагоме, демонстрируют множество неожиданных электронных и магнитных явлений. [8][9] [10] [11]

В настоящее время этот термин широко используется в научной литературе, особенно теоретиками, изучающими магнитные свойства теоретической решетки кагоме.

См. Также: Герб Кагоме .

Симметрия [ править ]

30-60-90 треугольные фундаментальные области симметрии p6m (* 632)

Трехгексагональная мозаика имеет символ Шлефли r {6,3} или диаграмму Кокстера ,CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png, символизирующий тот факт, что это выпрямленная шестиугольная мозаика , {6,3}. Его симметрии могут быть описаны с помощью обоев группы P6mm, (* 632), [12] и плиточные могут быть получены как построение визоффа в пределах reflectional фундаментальных областей из этой группы . Трехгексагональный тайлинг - это квазирегулярный тайлинг , чередующий два типа многоугольников с конфигурацией вершин (3.6) 2 . Это также однородная мозаика , одна из восьми, полученных от правильной шестиугольной мозаики.

Равномерная окраска [ править ]

Трехгексагональная мозаика имеет две различные однородные окраски . Назовите цвета индексами на 4 гранях вокруг вершины (3.6.3.6): 1212, 1232. [1] Второй называется кантической шестиугольной мозаикой , h 2 {6,3}, с треугольниками двух цветов, существующими в p3m1 (* 333) симметрия.

Симметрияp6m, (* 632)p3m, (* 333)
Раскраска
фундаментальная область
Wythoff2 | 6 33 3 | 3
CoxeterCDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png знак равно CDel узел h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Schläfliг {6,3}г {3 [3] } = ч 2 {6,3}

Упаковка круга [ править ]

Трехгексагональную мозаику можно использовать как упаковку кругов , помещая круги равного диаметра в центре каждой точки. [13] Каждый круг находится в контакте с 4 другими кругами в упаковке ( число поцелуев ).

Топологически эквивалентные мозаики [ править ]

Trihexagonal черепица может быть геометрический искажена в топологический эквивалентные разбиения более низкой симметрии. [1] В этих вариантах мозаики края не обязательно совпадают, образуя прямые линии.

p3m1, (* 333)п3, (333)п31м, (3 * 3)см, (2 * 22)

Связанные квазирегулярные мозаики [ править ]

Trihexagonal плиточные существует в последовательности симметрий квазирегулярных разбиений с конфигурациями вершин (3. п ) 2 , прогрессирует из разбиений сферы на евклидовой плоскости и в гиперболической плоскости. С орбифолдной нотацией симметрии * n 32 все эти мозаики являются конструкцией Wythoff в фундаментальной области симметрии с точками образующих в правом углу области. [14] [15]

* n 32 орбифолдных симметрии квазирегулярных мозаик : (3. n ) 2

Строительство		СферическийЕвклидовоГиперболический
* 332* 432* 532* 632* 732* 832 ...* ∞32
Квазирегулярные
фигуры
Вершина(3,3) 2(3,4) 2(3,5) 2(3,6) 2(3,7) 2(3.8) 2(3.∞) 2

Связанные регулярные сложные апейрогоны [ править ]

Есть 2 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины трехгексагональной мозаики. У правильных сложных апейрогонов есть вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершины. Регулярное apeirogons р { д } г ограничен: 1 / р + 2 / д + 1 / г = 1. Ребра имеют р вершины расположены как правильный многоугольник , а цифры вершин являются г -gonal. [16]

Первый состоит из треугольных ребер, по два вокруг каждой вершины, второй - из шестиугольных ребер, по два вокруг каждой вершины.

3 {12} 2 или CDel 3node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png6 {6} 2 или CDel 6node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png

См. Также [ править ]

  • Порог перколяции
  • Герб Кагоме
  • Звезда Давида
  • Трехгексагональные призматические соты
  • Циклоусеченные простые соты
  • Список однородных мозаик

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.См., В частности, теорему 2.1.3, с. 59 (классификация однородных мозаик); Рисунок 2.1.5, стр. 63 (иллюстрация этого тайлинга), теорема 2.9.1, стр. 103 (классификация раскрашенных мозаик), рисунок 2.9.2, с. 105 (иллюстрация цветных плиток), Рисунок 2.5.3 (d), стр. 83 (топологически эквивалентный звездный мозаик) и упражнение 4.1.3, с. 171 (топологическая эквивалентность трехгексагональной и двутреугольной мозаики).
  2. ^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. стр. 38. ISBN 0-486-23729-X.
  3. ^ Aiton, EJ; Дункан, Алистер Мэтисон; Филд, Джудит Вероника , ред. (1997), Гармония мира Иоганна Кеплера , Мемуары Американского философского общества, 209 , Американское философское общество, стр. 104–105, ISBN 9780871692092.
  4. ^ Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). «Глава 21: Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик; евклидовы плоские мозаики». Симметрии вещей . Уэлсли, Массачусетс: AK Peters, Ltd. стр. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Руководство по ремонту  2410150 .
  5. ^ Mekata, Мамору (февраль 2003). «Кагоме: история плетеной решетки» . Физика сегодня . 56 (2): 12–13. Bibcode : 2003PhT .... 56b..12M . DOI : 10.1063 / 1.1564329 .
  6. ^ a b Лоулер, Майкл Дж .; Ки, Хэ Ён; Ким, Ён Бэк; Вишванат, Ашвин (2008). «Топологическая спиновая жидкость на решетке гиперкагоме Na 4 Ir 3 O 8 ». Письма с физическим обзором . 100 (22): 227201. arXiv : 0705.0990 . Bibcode : 2008PhRvL.100v7201L . DOI : 10.1103 / physrevlett.100.227201 . PMID 18643453 . S2CID 31984687 .  
  7. ^ Йены, Ф., Chaudhury, RP, Галстян, Э. Лоренц, Б., Ван, Уо, вс, YY, Чу, CW (2008). «Магнитные фазовые диаграммы соединения лестницы Кагоме Co 3 V 2 O 8 ». Physica B: конденсированное вещество . 403 (5–9): 1487–1489. arXiv : 0710.1009 . Bibcode : 2008PhyB..403.1487Y . DOI : 10.1016 / j.physb.2007.10.334 . S2CID 14958188 . CS1 maint: uses authors parameter (link)
  8. ^ "Квантовый магнит с топологической изюминкой" . Открытие: исследования в Принстоне . 2019-02-22 . Проверено 26 апреля 2020 .
  9. ^ Инь, Цзя-Синь; Zhang, Songtian S .; Ли, Ханг; Цзян, Кун; Чанг, Гоцин; Чжан, Бинцзин; Лянь, Бяо; Сян, Ченг; Белопольского (2018). "Гигантская и анизотропная многочастичная спин-орбитальная перестройка в сильно коррелированном магните кагоме" . Природа . 562 (7725): 91–95. arXiv : 1810.00218 . Bibcode : 2018Natur.562 ... 91Y . DOI : 10.1038 / s41586-018-0502-7 . PMID 30209398 . S2CID 205570556 .  
  10. ^ Инь, Цзя-Синь; Zhang, Songtian S .; Чанг, Гоцин; Ван, Ци; Циркин, Степан С .; Гугучия, Зураб; Лянь, Бяо; Чжоу, Хуйбинь; Цзян, Кун; Белопольский, Илья; Шумия, Нана (2019). "Отрицательный плоский магнетизм в спин-орбитальном коррелированном магните кагоме" . Физика природы . 15 (5): 443–8. arXiv : 1901.04822 . Bibcode : 2019NatPh..15..443Y . DOI : 10.1038 / s41567-019-0426-7 . S2CID 119363372 . 
  11. ^ Yazyev, Олег В. (2019). «Перевернутый магнит» . Физика природы . 15 (5): 424–5. Bibcode : 2019NatPh..15..424Y . DOI : 10.1038 / s41567-019-0451-6 . S2CID 128299874 . 
  12. ^ Steurer, Уолтер; Делуди, София (2009). Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры . Серия Спрингера по материаловедению. 126 . Springer. п. 20. ISBN 9783642018992.
  13. ^ Critchlow, Keith (2000) [1969]. "узор G". Порядок в космосе: справочник по дизайну . Темза и Гудзон. С. 74–75. ISBN 9780500340332.
  14. ^ Косетер, HSM (1973). "V. Калейдоскоп, конструкция §5.7 Витхоффа". Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр. ISBN 0-486-61480-8.
  15. ^ Хьюсон, Дэниел Х. "Двумерные мутации симметрии". CiteSeerX 10.1.1.30.8536 .  Cite journal requires |journal= (help)
  16. ^ Косетер, HSM (1991). Регулярные сложные многогранники (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 111–2, 136. ISBN 9780521394901.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Сеймур, Дейл; Бриттон, Джилл (1989). Введение в мозаику . С. 50–56. ISBN 978-0866514613.