| Треугольная черепица | |
|---|---|
 | |
| Тип | Обычная черепица |
| Конфигурация вершины | 3.3.3.3.3.3 (или 3 6 ) |
| Конфигурация лица | V6.6.6 (или V6 3 ) |
| Символ (ы) Шлефли | {3,6} {3 [3] } |
| Символ (ы) Wythoff | 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 |
| Диаграмма (ы) Кокстера |        знак равно   |
| Симметрия | p6m , [6,3], (* 632) |
| Симметрия вращения | p6 , [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333) |
| Двойной | Шестиугольная черепица |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , гранно-транзитивный |
В геометрии , то треугольные плиточный или треугольная тесселяция является одним из трех регулярных разбиений в евклидовой плоскости , и является единственным таким плиточной , где составными формы не являются parallelogons . Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника составляет 60 градусов, шесть треугольников в точке занимают полные 360 градусов. Треугольная мозаика имеет символ Шлефли {3,6}.
Конвей называет это дельтильей , названной в честь треугольной формы греческой буквы дельта (Δ). Треугольная мозаика также может быть названа кишекстилем с помощью операции кис, которая добавляет центральную точку и треугольники для замены граней гексилля .
Это одна из трех правильных мозаик плоскости . Два других - это квадратная и шестиугольная мозаика .
Равномерная окраска [ править ]
Существует 9 различных однородных расцветок треугольной мозаики. (Назовите цвета индексами на 6 треугольниках вокруг вершины: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Три из них могут быть получены из других, повторяя цвета: 111212 и 111112 из 121213 по объединение 1 и 3, а 111213 уменьшено с 121314. [1]
Существует один класс раскраски Архимеда , 111112, (отмеченный знаком *), который не является 1-однородным и содержит чередующиеся ряды треугольников, в которых окрашена каждая третья. Показанный пример является 2-однородным, но существует бесконечно много таких архимедовых раскрасок, которые могут быть созданы произвольным горизонтальным сдвигом строк.
| 111111 | 121212 | 111222 | 112122 | 111112 (*) |
 |  | |||
| p6m (* 632) | p3m1 (* 333) | см (2 * 22) | p2 (2222) | p2 (2222) |
| 121213 | 111212 | 111112 | 121314 | 111213 |
| p31m (3 * 3) | п3 (333) | |||
Решетка А2 и окружности [ править ]
2 решетка в виде трех треугольных мозаик:
+ 
+ 
Расположение вершин треугольного тайлинга называется решеткой A 2 . [2] Это двумерный случай простой соты .
А*
2 решетка (также называемая A3
2) может быть построена путем объединения всех трех решеток A 2 и эквивалентна решетке A 2 .
+ + = двойной знак равно
Вершины треугольной мозаики являются центрами максимально плотной упаковки кругов . [3] Каждый круг находится в контакте с 6 другими кругами в упаковке ( число поцелуев ). Плотность упаковки является π / √ 12 или 90.69%. Вороного клетки треугольной плитки является шестиугольником , и поэтому Вороной тесселяция , гексагональной черепица, имеют прямое соответствие к окружности упаковке.
Геометрические вариации [ править ]
Треугольные мозаики могут быть построены с такой же топологией {3,6}, что и обычные мозаики (6 треугольников вокруг каждой вершины). Для одинаковых граней ( транзитивность граней ) и транзитивность вершин существует 5 вариантов. Приведенная симметрия предполагает, что все грани одного цвета. [4]
Симметрия скаленового треугольника
p2Симметрия скаленового треугольника
pmgРавнобедренный треугольник
cmm симметрия
Прямоугольный треугольник cmm симметрияРавносторонний треугольник
симметрия p6m
Связанные многогранники и мозаики [ править ]
Плоские мозаики связаны с многогранниками . Помещение меньшего количества треугольников на вершину оставляет зазор и позволяет сложить его в пирамиду . Их можно расширить до Платоновых тел : пять, четыре и три треугольника на вершине определяют икосаэдр , октаэдр и тетраэдр соответственно.
Это разбиение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n}, продолжающихся в гиперболическую плоскость .
| * n 32 изменение симметрии правильных мозаик: {3, n } | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Сферический | Евклид. | Компактный гипер. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
| 3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
Он также топологически связан как часть последовательности каталонских тел с конфигурацией граней Vn.6.6, а также продолжается в гиперболической плоскости.
V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 |
Конструкции Wythoff из шестиугольной и треугольной мозаики [ править ]
Как и в случае однородных многогранников, существует восемь однородных мозаик, которые могут быть основаны на правильном шестиугольном мозаике (или двойном треугольном мозаике).
Рисуя плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, мы получаем 8 форм, 7 из которых топологически различны. ( Усеченная треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)
| Однородные шестиугольные / треугольные мозаики | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Фундаментальные области | Симметрия : [6,3], (* 632) | [6,3] + , (632) | ||||||
| {6,3} | т {6,3} | г {6,3} | т {3,6} | {3,6} | рр {6,3} | tr {6,3} | sr {6,3} | |
| | | | | | | | |
| Конфиг. | 6 3 | 3.12.12 | (6,3) 2 | 6.6.6 | 3 6 | 3.4.6.4 | 4.6.12 | 3.3.3.3.6 |
| Треугольные мозаики симметрии | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wythoff | 3 | 3 3 | 3 3 | 3 | 3 | 3 3 | 3 3 | 3 | 3 | 3 3 | 3 3 | 3 | 3 3 3 | | | 3 3 3 | |||
| Coxeter | | | |  | | | | | |||
| Изображение Вершина фигура | (3,3) 3 | 3.6.3.6 | (3,3) 3 | 3.6.3.6 | (3,3) 3 | 3.6.3.6 | 6.6.6 | 3.3.3.3.3.3 | |||
Связанные регулярные сложные апейрогоны [ править ]
Есть 4 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины треугольной мозаики. У правильных сложных апейрогонов есть вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершины. Регулярные апейрогоны p { q } r ограничены: 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Ребра имеют p вершин, а фигуры вершин r -угольные. [5]
Первый состоит из двух ребер, следующие два - треугольные, а последний имеет перекрывающиеся шестиугольные ребра.
2 {6} 6 или  | 3 {4} 6 или   | 3 {6} 3 или  | 6 {3} 6 или  |
|---|
Другие треугольные мозаики [ править ]
Также существуют три плитки Лавеса, состоящие из однотипных треугольников:
Kisrhombille 30 ° -60 ° -90 ° прямоугольные треугольники | Кисквадриль 45 ° -45 ° -90 ° прямоугольные треугольники | Кисделтиль 30 ° -30 ° -120 ° равнобедренные треугольники |
См. Также [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы по теме треугольной мозаики Порядка-6 . |
- Треугольная черепица сотовая
- Простые соты
- Замощения правильных многоугольников
- Список однородных мозаик
- Изогрид (конструктивное проектирование с использованием треугольной черепицы)
Ссылки [ править ]
- ^ Замощения и шаблоны, p.102-107
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html
- ^ Порядок в космосе: исходник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр.74-75, образец 1
- ^ Плитки и узоры, из списка 107 равногранных мозаик, стр.473-481.
- ^ Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, стр. 111-112, стр. 136.
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Таблица II: Обычные соты
- Грюнбаум, Бранко и Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Глава 2.1: Регулярные и однородные мозаики , стр. 58-65, Глава 2.9 Архимедовы и однородные раскраски, стр. 102–107)
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. p35
- Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Треугольная сетка» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Обычная мозаика» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Равномерная мозаика" . MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. «Двумерные евклидовы мозаики x3o6o - trat - O2» .
| Космос | Семья | / / | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| E 2 | Равномерная черепица | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Шестиугольный |
| E 3 | Равномерно выпуклые соты | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
| E 4 | Равномерные 4-соты | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | 24-ячеечные соты |
| E 5 | Равномерные 5-соты | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
| E 6 | Равномерные 6-соты | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
| E 7 | Равномерные 7-соты | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
| E 8 | Равномерные 8-соты | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
| E 9 | Равномерные 9-соты | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
| E n -1 | Uniform ( n -1) - соты | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 к2 • 2 к1 • к 21 |
