Шестиугольная черепица

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Шестиугольная черепица
Тип	Обычная черепица
Конфигурация вершины	6.6.6 (или 6 3 )
Конфигурация лица	V3.3.3.3.3.3 (или V3 6 )
Символ (ы) Шлефли	{6,3} т {3,6}
Символ (ы) Wythoff	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Диаграмма (ы) Кокстера
Симметрия	p6m , [6,3], (* 632)
Симметрия вращения	п6 , [6,3] + , (632)
Двойной	Треугольная черепица
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберный , гранный

В геометрии , то гексагональной плиточные или гексагональной тесселяции является регулярное разбиение на евклидовой плоскости , в которой три ^{[ необходимы разъяснения ]} шестиугольники встречаются в каждой вершине. Он имеет символ Шлефли {6,3} или t {3,6} (в виде усеченного треугольного разбиения).

Английский математик Джон Конвей назвал это гекстилем .

Внутренний угол шестиугольника составляет 120 градусов, поэтому три шестиугольника в одной точке составляют полные 360 градусов. Это одна из трех правильных мозаик плоскости . Два других - это треугольная плитка и квадратная плитка .

Приложения [ править ]

Шестиугольная мозаика - самый плотный способ расположить круги в двух измерениях. Гипотеза Сота утверждает, что шестиугольная мозаика - лучший способ разделить поверхность на области равной площади с наименьшим общим периметром. Оптимальная трехмерная структура для создания сот (или, скорее, мыльных пузырей) была исследована лордом Кельвином , который считал, что структура Кельвина (или объемно-центрированная кубическая решетка) является оптимальной. Однако менее регулярная структура Вира – Фелана немного лучше.

Эта структура существует в природе в форме графита , где каждый лист графена напоминает проволочную сетку с прочными ковалентными углеродными связями. Синтезированы трубчатые листы графена; они известны как углеродные нанотрубки . У них есть много потенциальных применений из-за их высокой прочности на разрыв и электрических свойств. Силицен похож.

Куриная проволока состоит из шестиугольной решетки (часто не правильной) из проволок.

• Самая плотная упаковка кругов устроена подобно шестиугольникам в этой мозаике.

• Проволока Chicken ограждения

• Графен

• Углеродные нанотрубки можно рассматривать как шестиугольник черепицу на цилиндрическую поверхность

Гексагональная мозаика появляется во многих кристаллах. В трех измерениях гранецентрированная кубическая и гексагональная плотная упаковка являются обычными кристаллическими структурами. Это самые плотные из известных сфер в трех измерениях, которые считаются оптимальными. Конструктивно они представляют собой параллельные слои шестиугольных плиток, подобных структуре графита. Они отличаются тем, как слои расположены в шахматном порядке друг от друга, причем гранецентрированный кубик является более правильным из двух. Чистая медь , среди других материалов, образует гранецентрированную кубическую решетку.

Равномерная окраска [ править ]

Есть три различных однородных цвета шестиугольной мозаики, все они созданы из отражающей симметрии конструкций Wythoff . ( H , k ) представляют собой периодическое повторение одной цветной плитки, считая гексагональные расстояния как h первым, а k вторым. Такой же подсчет используется в многогранниках Гольдберга с обозначениями { p +, 3} _{h , k} и может применяться к гиперболическим мозаикам при p > 6.

k-униформа	1-униформа			2-униформа		3-униформа
Симметрия	p6m, (* 632)		p3m1, (* 333)	p6m, (* 632)		п6, (632)
Рисунок
Цвета	1	2	3	2	4	2	7
(ч, к)	(1,0)	(1,1)		(2,0)		(2,1)
Schläfli	{6,3}	т {3,6}	т {3 [3] }
Wythoff	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
Coxeter
Конвей	ЧАС	tΔ		cH = t6daH		wH = t6dsH

3-цветная плитка является тесселяцией , порожденной порядок-3 permutohedrons .

Шестиугольная черепица со скошенной фаской [ править ]

Chamferred гексагональной черепицы заменяющих краев с новыми шестиугольниками и превращается в другую шестиугольную черепицу. В пределе исходные грани исчезают, а новые шестиугольники вырождаются в ромбы, и получается ромбическая мозаика .

Связанные мозаики [ править ]

Шестиугольники можно разрезать на 6 треугольников. Этот процесс приводит к двум 2-однородным мозаикам и треугольному мозаичному покрытию :

Шестиугольную мозаику можно рассматривать как удлиненную ромбическую мозаику , где каждая вершина ромбической мозаики растягивается на новое ребро. Это похоже на соотношение мозаики ромбического додекаэдра и ромбо-гексагонального додекаэдра в 3-х измерениях.

Также возможно разделить прототипы некоторых гексагональных мозаик на два, три, четыре или девять равных пятиугольников:

Мутации симметрии [ править ]

Этот замощение топологически связано как часть последовательности правильных замощений с шестиугольными гранями, начиная с шестиугольного замощения, с символом Шлефли {6, n} и диаграммой Кокстера , прогрессирующая до бесконечности.

Этот тайлинг топологически связан с правильными многогранниками с вершиной n ³ как часть последовательности, продолжающейся в гиперболическую плоскость .

Он аналогичным образом связан с однородными усеченными многогранниками с фигурой вершины n .6.6.

Эта мозаика также является частью последовательности усеченных ромбических многогранников и мозаик с симметрией [n, 3] группы Кокстера . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы представляют собой квадраты. У усеченных форм есть правильные n-угольники в усеченных вершинах и неправильные шестиугольные грани.

Конструкции Wythoff из шестиугольной и треугольной мозаики [ править ]

Как и в случае равномерных многогранников, существует восемь равномерных мозаик, которые могут быть основаны на правильном шестиугольном мозаичном замощении (или двойном треугольном замощении ).

Рисуя плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, мы получаем 8 форм, 7 из которых топологически различны. ( Усеченная треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Однородные шестиугольные / треугольные мозаики
Фундаментальные области	Симметрия : [6,3], (* 632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	т {6,3}	г {6,3}	т {3,6}	{3,6}	рр {6,3}	tr {6,3}	sr {6,3}
Конфиг.	6 3	3.12.12	(6,3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Моноэдральные выпуклые шестиугольные мозаики [ править ]

Существует 3 типа моноэдральных выпуклых шестиугольных мозаик. ^{[1] Все} они равногранны . У каждого есть параметрические вариации в пределах фиксированной симметрии. Тип 2 содержит отражения скольжения и является 2-изоэдральным, сохраняя киральные пары отличными.

Топологически эквивалентные мозаики [ править ]

Шестиугольные мозаики могут быть построены с такой же топологией {6,3}, что и обычные мозаики (3 шестиугольника вокруг каждой вершины). С изоэдральными гранями существует 13 вариаций. Приведенная симметрия предполагает, что все грани одного цвета. Цвета здесь представляют позиции решетки. ^[2] Одноцветные (1-тайловые) решетки представляют собой шестиугольники в виде параллелогонов .

Другие изоэдрально-мозаичные топологические шестиугольные мозаики рассматриваются как четырехугольники и пятиугольники, которые не стыкуются между собой, а интерпретируются как коллинеарные смежные ребра:

2-однородные и 3-однородные мозаики имеют вращательную степень свободы, которая искажает 2/3 шестиугольников, включая коллинеарный случай, который также можно рассматривать как мозаику шестиугольников и больших треугольников без стыков. ^[3]

Его также можно исказить в хиральный четырехцветный трехсторонний узор, искажая некоторые шестиугольники в параллелограммы . Плетеный узор с двумя цветными гранями имеет вращательную симметрию 632 (p6) . Шеврона шаблон имеет PMG (22 *) симметрии, которая опускается до p1 (°) с 3 или 4 цветных плиток.

Упаковка круга [ править ]

Гексагональную плитку можно использовать как упаковку кругов , помещая круги одинакового диаметра в центре каждой точки. Каждый круг находится в контакте с 3 другими кругами в упаковке ( число поцелуев ). ^[4] Зазор внутри каждого шестиугольника позволяет разместить один круг, создавая плотнейшую упаковку из треугольной мозаики , при этом каждый круг контактирует максимум с 6 кругами.

Связанные регулярные сложные апейрогоны [ править ]

Есть 2 правильных комплексных апейрогона , разделяющих вершины шестиугольной мозаики. У правильных сложных апейрогонов есть вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершины. Регулярные апейрогоны p { q } r ограничены: 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Ребра имеют p вершин, а фигуры вершин r -угольные. ^[5]

Первый состоит из 2-х ребер, по три вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные ребра, по три вокруг каждой вершины. Третий комплексный апейрогон, имеющий одни и те же вершины, является квазирегулярным, в котором чередуются 2-ребра и 6-ребра.

2 {12} 3 или	6 {4} 3 или

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме гексагональной мозаики Порядка-3 .

• Шестиугольная решетка
• Гексагональные призматические соты
• Замощения правильных многоугольников
• Список однородных мозаик
• Список правильных многогранников
• Шестигранная черепичная сотовая конструкция
• Дизайн настольной игры с шестигранной картой

Ссылки [ править ]

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN  0-486-61480-8 p. 296, Таблица II: Обычные соты
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Глава 2.1: Регулярные и однородные мозаики , стр. 58–65)
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. стр. 35. ISBN 0-486-23729-X.
• Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] 

Внешние ссылки [ править ]

• ДНК | urlname = Шестиугольная сетка | title = Шестиугольная сетка}}
  • Вайсштейн, Эрик В. «Обычная мозаика» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Равномерная мозаика" . MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «2D евклидовы мозаики o3o6x - гексат - O3» .

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21