Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сферическая упаковка находит практическое применение при штабелировании ядер.

В геометрии , A сфера упаковки является расположение неперекрывающихся сфер внутри содержащего пространства. Сферы , рассматриваемые, как правило , все одинакового размера, и пространство, как правило , трех- мерного евклидова пространства . Однако проблемы упаковки сфер могут быть обобщены для рассмотрения неравных сфер, пространств других измерений (где проблема заключается в упаковке кругов в двух измерениях или упаковке гиперсфер в более высоких измерениях) или на неевклидовы пространства, такие как гиперболическое пространство .

Типичная проблема упаковки сфер - найти такое расположение, при котором сферы заполняют как можно больше пространства. Пропорция пространства, заполненного сферами, называется плотностью расположения. Поскольку локальная плотность упаковки в бесконечном пространстве может изменяться в зависимости от объема, в котором она измеряется, проблема обычно состоит в том, чтобы максимизировать среднюю или асимптотическую плотность, измеренную в достаточно большом объеме.

Для равных сфер в трех измерениях самая плотная упаковка занимает примерно 74% объема. Случайная упаковка равных сфер обычно имеет плотность около 64%.

Классификация и терминология [ править ]

Решетки расположение (обычно называется регулярное расположение) является тот , в котором центры сфер образуют очень симметричный рисунок , который нуждается только п векторов , чтобы быть однозначно определен (в п - мерное евклидово пространства ). Расположение решеток периодическое. Компоновки, в которых сферы не образуют решетку (часто называемую нерегулярной ), могут быть периодическими, но также апериодическими (собственно непериодическими ) или случайными . Решетки легче обрабатывать, чем нестандартные - их высокая степень симметрии. упрощает их классификацию и измерение их плотности.

Обычная упаковка [ править ]

Регулярное расположение равных сфер на плоскости сменяется нерегулярным расположением неравных сфер (пузырей).
Решетка HCP (слева) и решетка FCC (справа) - два наиболее распространенных устройства с самой высокой плотностью.
Два способа сложить три плоскости из сфер

Плотная упаковка [ править ]

Основная статья: Плотность равных сфер

В трехмерном евклидовом пространстве наиболее плотная упаковка равных сфер достигается с помощью семейства структур, называемых плотноупакованными.конструкции. Один из способов создания такой структуры заключается в следующем. Рассмотрим плоскость с компактным расположением на ней сфер. Назовите это А. Для любых трех соседних сфер четвертую сферу можно поместить сверху в полость между тремя нижними сферами. Если мы сделаем это для половины отверстий во второй плоскости над первой, мы создадим новый компактный слой. Для этого есть два возможных варианта, назовите их B и C. Предположим, что мы выбрали B. Тогда одна половина полостей B лежит над центрами шаров в A, а половина - над полостями A, которые не были используется для B. Таким образом, шары третьего слоя могут быть размещены либо непосредственно над шарами первого слоя, образуя слой типа A, либо над отверстиями первого слоя, которые не были заняты вторым слоем, что дает слой типа С.Комбинирование слоев типов A, B и C дает различные плотноупакованные структуры.

Два простых расположения в пределах семейства плотно упакованных соответствуют правильным решеткам. Один называется кубической плотной упаковкой (или гранецентрированной кубической , «FCC»), где слои чередуются в последовательности ABCABC ... Другой называется гексагональной плотной упаковкой («HCP») - где слои чередуются в последовательности ABAB ... Но возможно множество последовательностей наложения слоев (ABAC, ABCBA, ABCBAC и т. Д.), Которые по-прежнему создают плотноупакованную структуру. Во всех этих схемах каждая сфера касается 12 соседних сфер [1], а средняя плотность равна

Карл Фридрих Гаусс доказал в 1831 году, что эти упаковки имеют самую высокую плотность среди всех возможных решетчатых упаковок. [2]

В 1611 году Иоганн Кеплер предположил, что это максимально возможная плотность как среди регулярных, так и среди нерегулярных расположений - это стало известно как гипотеза Кеплера . В 1998 году Томас Каллистер Хейлз , следуя подходу, предложенному Ласло Фейес Тот в 1953 году, объявил о доказательстве гипотезы Кеплера. Доказательство Хейлза - это исчерпывающее доказательство, включающее проверку многих отдельных случаев с использованием сложных компьютерных вычислений. Судьи заявили, что они «на 99% уверены» в правильности доказательства Хейлза. 10 августа 2014 года Хейлз объявил о завершении формального доказательства с использованием автоматической проверки , что устраняет любые сомнения. [3]

Другие распространенные решетчатые упаковки [ править ]

Некоторые другие решетчатые упаковки часто встречаются в физических системах. К ним относятся кубическая решетка с плотностью , гексагональная решетка с плотностью и тетраэдрическая решетка с плотностью , а также наиболее рыхлая решетка с плотностью 0,0555. [4]

Заклинившие насадки с низкой плотностью [ править ]

Упаковки, в которых все сферы удерживаются соседями в одном месте, называются жесткими или зажатыми . Строго заклинивающая упаковка сфер с наименьшей плотностью представляет собой разбавленный («туннелированный») кристалл ГЦК с плотностью всего 0,49365. [5]

Нестандартная упаковка [ править ]

Основная статья: Случайная близкая стая

Если мы попытаемся построить плотно упакованный набор сфер, у нас будет искушение всегда помещать следующую сферу в полость между тремя упакованными сферами. Если пять сфер собраны таким образом, они будут соответствовать одной из описанных выше схем регулярной упаковки. Однако шестая сфера, размещенная таким образом, сделает структуру несовместимой с обычным расположением. Это приводит к возможности случайной плотной упаковки сфер, устойчивой к сжатию. [6] Вибрация случайной рыхлой упаковки может привести к расположению сферических частиц в регулярные упаковки, процесс, известный как гранулированная кристаллизация . Такие процессы зависят от геометрии контейнера, в котором находятся сферические зерна. [1]

Когда сферы случайным образом добавляются в контейнер, а затем сжимаются, они обычно образуют так называемую «нерегулярную» или «застрявшую» конфигурацию упаковки, когда их больше нельзя сжимать. Эта нерегулярная насадка обычно имеет плотность около 64%. Недавние исследования аналитически предсказывают, что она не может превышать предел плотности в 63,4% [7]. Эта ситуация отличается от случая с одним или двумя измерениями, когда сжатие набора одномерных или двухмерных сфер (то есть сегментов линий или окружностей ) даст обычную упаковку.

Упаковка гиперсферы [ править ]

Задача об упаковке сфер - это трехмерная версия класса задач об упаковке шариков произвольной размерности. В двух измерениях эквивалентная задача - упаковка кругов на плоскости. В одном измерении это упаковка линейных сегментов в линейную вселенную. [8]

В размерах больше трех известны наиболее плотные регулярные упаковки гиперсфер до 8 измерений. [9] Очень мало известно о нерегулярных гиперсферных упаковках; возможно, что в некоторых измерениях самая плотная упаковка может быть неправильной. Некоторая поддержка этой гипотезы исходит из того факта, что в определенных размерах (например, 10) самая плотная известная нерегулярная упаковка более плотная, чем самая плотная известная регулярная упаковка. [10]

В 2016 году Марина Вязовская объявила о доказательстве того, что решетка E 8 обеспечивает оптимальную упаковку (независимо от регулярности) в восьмимерном пространстве [11], а вскоре после этого она и группа сотрудников анонсировали аналогичное доказательство того, что решетка Пиявки оптимальна. в 24 измерениях. [12] Этот результат основан на и улучшил предыдущие методы, которые показали, что эти две решетки очень близки к оптимальным. [13] Новые доказательства включают использование преобразования Лапласа тщательно выбранной модулярной функции для построения радиально-симметричной функции f такой, чтоf и его преобразование Фурье f̂ оба равны единице в начале координат , и оба обращаются в нуль во всех других точках оптимальной решетки, причем f отрицательно вне центральной сферы упаковки, а f̂ положительно. Затем формула суммирования Пуассона для f используется для сравнения плотности оптимальной решетки с плотностью любой другой упаковки. [14] До того, как доказательство было официально рассмотрено и опубликовано, математик Питер Сарнак назвал доказательство «потрясающе простым» и написал, что «вы просто начинаете читать статью и знаете, что это правильно». [15]

Другое направление исследований больших размерностей - это попытка найти асимптотические оценки плотности наиболее плотных упаковок. В 2017 г., известно , что при большом п , плотнейшей решетки в размерности п имеет плотность между сп · 2 - п (для некоторых постоянная с ) и 2 -.599 п . [16] Предположительные границы лежат посередине. [17]

Неравномерная упаковка сфер[ редактировать ]

См. Также: Неравномерная упаковка круга
Плотная упаковка сфер с отношением радиусов 0,64799 и плотностью 0,74786 [18]

Многие проблемы в химических и физических науках могут быть связаны с проблемами упаковки, когда доступны сферы более одного размера. Здесь есть выбор между разделением сфер на области плотно упакованных равных сфер или объединением сфер нескольких размеров в составную или промежуточную упаковку. Когда доступны сферы многих размеров (или распределение ), проблема быстро становится неразрешимой, но некоторые исследования бинарных твердых сфер (двух размеров) доступны.

Когда вторая сфера намного меньше первой, можно расположить большие сферы плотно упакованными, а затем расположить маленькие сферы внутри октаэдрических и тетраэдрических зазоров. Плотность этой промежуточной упаковки сильно зависит от отношения радиусов, но в пределе крайних соотношений размеров меньшие сферы могут заполнять промежутки с такой же плотностью, как и большие сферы, заполняющие пространство. [19] Даже если большие сферы не находятся в плотной упаковке, всегда можно вставить несколько меньших сфер с радиусом до 0,29099 радиуса большей сферы. [20]

Когда меньшая сфера имеет радиус, превышающий 0,41421 радиуса большей сферы, уже невозможно поместиться даже в октаэдрические отверстия плотноупакованной структуры. Таким образом, за пределами этой точки либо структура-хозяин должна расширяться, чтобы приспособить промежуточные звенья (что ставит под угрозу общую плотность), либо перестраиваться в более сложную структуру кристаллического соединения. Известны структуры, превышающие плотность плотной упаковки для отношений радиусов до 0,659786. [18] [21]

Получены также верхние оценки плотности, которая может быть получена в таких бинарных упаковках. [22]

Во многих химических ситуациях, таких как ионные кристаллы , стехиометрия ограничивается зарядами составляющих ионов. Это дополнительное ограничение на упаковку вместе с необходимостью минимизировать кулоновскую энергию взаимодействующих зарядов приводит к разнообразию оптимальных схем упаковки.

Гиперболическое пространство [ править ]

Хотя концепция кругов и сфер может быть распространена на гиперболическое пространство , найти наиболее плотную упаковку становится намного сложнее. В гиперболическом пространстве нет предела количеству сфер, которые могут окружать другую сферу (например, круги Форда можно рассматривать как набор идентичных гиперболических кругов, в которых каждый круг окружен бесконечным числом других кругов). Понятие средней плотности также становится все труднее точно определить. Самые плотные упаковки в любом гиперболическом пространстве почти всегда нерегулярны. [23]

Несмотря на эту трудность, К. Böröczky дает универсальный верхнюю границу для плотности сферы упаковки гиперболического п - пространства , где п  ≥ 2. [24] В трех измерениях Böröczky связанных составляет приблизительно 85,327613%, и реализуется с помощью орисферы упаковки порядок-6 тетраэдрические сотни с Шлефли символом {3,3,6}. [25] В дополнение к этой конфигурации, как известно, существуют по крайней мере три других упаковки орисфер в гиперболическом 3-пространстве, которые реализуют верхнюю границу плотности. [26]

Касание пар, троек и четверок [ править ]

Контакт график произвольной конечной упаковки единичных шаров является граф, вершины которого соответствуют элементам упаковки и чьи две вершины соединены ребром , если соответствующие две упаковочные элементы соприкасаются друг с другом. Мощность набора ребер графа контактов дает количество соприкасающихся пар, количество 3-циклов в графе контактов дает количество соприкасающихся троек, а количество тетраэдров в графе контактов дает количество соприкасающихся четверок ( в общем случае для контактного графа, связанного со сферой, упакованной в n измерений, мощность множества n -симплексов в контактном графе дает количество касаний ( n + 1) -наборы в упаковке сфер). В случае 3-мерного евклидова пространства нетривиальные оценки сверху на количество соприкасающихся пар, троек и четверок [27] были доказаны Кароли Бездеком и Сэмюэлем Ридом из Университета Калгари.

Проблема нахождения такого расположения n одинаковых сфер, которое максимизирует количество точек контакта между сферами, известна как «проблема липких сфер». Максимум известен для n ≤ 11, а для больших n известны только предположительные значения . [28]

Другие пространства [ править ]

Упаковка сфер на углах гиперкуба (со сферами, определяемыми расстоянием Хэмминга ) соответствует разработке кодов с исправлением ошибок : если сферы имеют радиус t , то их центры являются кодовыми словами (2 t  + 1) -кода с исправлением ошибок. . Упаковки решеток соответствуют линейным кодам. Есть и другие, более тонкие отношения между упаковкой евклидовой сферы и кодами, исправляющими ошибки. Например, двоичный код Голея тесно связан с 24-мерной решеткой Пиявки.

Дополнительные сведения об этих соединениях см. В книге Конвея и Слоана « Сферические упаковки, решетки и группы » . [29]

См. Также [ править ]

  • Плотная упаковка равных сфер
  • Упаковка аполлонических сфер
  • Постоянная Эрмита
  • Вписанная сфера
  • Проблема с числом поцелуев
  • Связанная сфера-упаковка
  • Случайная близкая упаковка
  • Набивка цилиндрической сферы

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Гранулированная кристаллизация в вибрирующих упаковках Гранулированное вещество (2019), 21 (2), 26 HAL Archives Ouvertes
  2. ^ Gauß, CF (1831). "Besprechung des Buchs von LA Seeber: Untersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw" [Обсуждение книги Л.А. Сибера: Исследования характеристик положительных троичных квадратичных форм и т. Д.]. Göttingsche Gelehrte Anzeigen .
  3. ^ «Долгосрочное хранилище для хостинга проектов Google Code» . Архив кода Google .
  4. ^ "Wolfram Math World, упаковка сфер" .
  5. ^ Torquato, S .; Стиллинджер, FH (2007). «К порогу заклинивания сферических упаковок: туннельные кристаллы». Журнал прикладной физики . 102 (9): 093511–093511–8. arXiv : 0707.4263 . Bibcode : 2007JAP ... 102i3511T . DOI : 10.1063 / 1.2802184 . S2CID 5704550 . 
  6. ^ Чайкин, Пол (июнь 2007). "Случайные мысли". Физика сегодня . Американский институт физики. 60 (6): 8. Bibcode : 2007PhT .... 60f ... 8C . DOI : 10.1063 / 1.2754580 . ISSN 0031-9228 . 
  7. ^ Песня, C .; Wang, P .; Максе, HA (29 мая 2008 г.). «Фазовая диаграмма застрявшей материи». Природа . 453 (7195): 629–632. arXiv : 0808.2196 . Bibcode : 2008Natur.453..629S . DOI : 10,1038 / природа06981 . PMID 18509438 . S2CID 4420652 .  
  8. Перейти ↑ Griffith, JS (1962). «Упаковка ровных 0-сфер». Природа . 196 (4856): 764–765. Bibcode : 1962Natur.196..764G . DOI : 10.1038 / 196764a0 . S2CID 4262056 . 
  9. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсферная упаковка» . MathWorld .
  10. ^ Sloane, NJA (1998). «Проблема упаковки сфер». Documenta Mathematica . 3 : 387–396. arXiv : math / 0207256 . Bibcode : 2002math ...... 7256S .
  11. ^ Viazovska, Марина (1 января 2017). «Проблема упаковки сфер в размерности 8» . Анналы математики . 185 (3): 991–1015. arXiv : 1603.04246 . DOI : 10.4007 / annals.2017.185.3.7 . ISSN 0003-486X . S2CID 119286185 .  
  12. ^ Кон, Генри; Кумар, Абхинав; Миллер, Стивен; Радченко, Данило; Вязовская, Марина (1 января 2017 г.). «Проблема упаковки сфер в размерности 24» . Анналы математики . 185 (3): 1017–1033. arXiv : 1603.06518 . DOI : 10.4007 / annals.2017.185.3.8 . ISSN 0003-486X . S2CID 119281758 .  
  13. ^ Кон, Генри; Кумар, Abhinav (2009), "оптимальность и единственность пиявки решетки среди решеток", Annals математики , 170 (3): 1003-1050, Arxiv : math.MG/0403263 , DOI : 10.4007 / annals.2009.170.1003 , ISSN 1939-8980 , MR 2600869 , S2CID 10696627 , Zbl 1213.11144     Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2004), «Самая плотная решетка в двадцати четырех измерениях», Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества , 10 (7): 58–67, arXiv : math.MG/0408174 , doi : 10.1090 / S1079- 6762-04-00130-1 , ISSN  1079-6762 , MR  2075897 , S2CID  15874595
  14. ^ Миллер, Стивен Д. (4 апреля 2016 г.), Решение проблемы упаковки сфер в 24 измерениях с помощью модульных форм , Институт перспективных исследований.. Видео часового выступления одного из соавторов Вязовской с объяснением новых доказательств.
  15. ^ Klarreich, Erica (30 марта 2016), "Сфера Упаковка решаемые в Высших Измерений" , Quanta Magazine
  16. ^ Cohn, Генри (2017), "концептуальный прорыв в сфере упаковки" (PDF) , Уведомление о Американских математическом обществе , 64 (2): 102-115, Arxiv : 1611,01685 , DOI : 10,1090 / noti1474 , ISSN 0002-9920 , Руководство по ремонту 3587715 , S2CID 16124591    
  17. ^ Torquato, S .; Стиллинжера, FH (2006), "Новая предположительной нижние границы оптимальной плотности сферы насадок" , экспериментальная математика , 15 (3): 307-331, Arxiv : математика / 0508381 , DOI : 10,1080 / 10586458.2006.10128964 , MR 2264469 , S2CID 9921359  
  18. ^ а б О'Тул, ИП; Хадсон, Т.С. (2011). "Новые высокоплотные упаковки двойных сфер аналогичного размера". Журнал физической химии C . 115 (39): 19037. DOI : 10.1021 / jp206115p .
  19. Перейти ↑ Hudson, DR (1949). «Плотность и упаковка в совокупности смешанных сфер». Журнал прикладной физики . 20 (2): 154–162. Bibcode : 1949JAP .... 20..154H . DOI : 10.1063 / 1.1698327 .
  20. Перейти ↑ Zong, C. (2002). «От глубоких ям до свободных плоскостей» . Бюллетень Американского математического общества . 39 (4): 533–555. DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00950-3 .
  21. ^ Маршалл, GW; Хадсон, Т.С. (2010). «Плотные бинарные упаковки сфер» . Вклад в алгебру и геометрию . 51 (2): 337–344.
  22. ^ де Лаат, Давид; де Оливейра Филью, Фернандо Мариу; Валлентин, Франк (12 июня 2012 г.). «Верхние границы для упаковки сфер нескольких радиусов». Форум математики, Сигма . 2 . arXiv : 1206.2608 . DOI : 10.1017 / fms.2014.24 . S2CID 11082628 . 
  23. ^ Bowen, L .; Радин, К. (2002). «Плотнейшая упаковка равных сфер в гиперболическом пространстве» . Дискретная и вычислительная геометрия . 29 : 23–39. DOI : 10.1007 / s00454-002-2791-7 .
  24. ^ Böröczky, К. (1978). «Упаковка сфер в пространства постоянной кривизны». Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 32 (3–4): 243–261. DOI : 10.1007 / BF01902361 . S2CID 122561092 . 
  25. ^ Böröczky, K .; Флориан, А. (1964). "Uber die dichteste Kugelpackung im hyperbolischen Raum". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 15 (1-2): 237–245. DOI : 10.1007 / BF01897041 . S2CID 122081239 . 
  26. ^ Козьма, RT; Сирмаи, Дж. (2012). «Оптимально плотные упаковки для полностью асимптотических разбиений Кокстера гороболами разных типов». Monatshefte für Mathematik . 168 : 27–47. arXiv : 1007.0722 . DOI : 10.1007 / s00605-012-0393-х . S2CID 119713174 . 
  27. ^ Бездек, Кароли; Рид, Сэмюэл (2013). "Обратимся к контактным графам сферических упаковок". Журнал геометрии . 104 (1): 57–83. arXiv : 1210,5756 . DOI : 10.1007 / s00022-013-0156-4 . S2CID 14428585 . 
  28. ^ "Наука липких сфер" . Американский ученый . 6 февраля 2017 . Дата обращения 14 июля 2020 .
  29. ^ Конвей, Джон Х .; Слоан, Нил Дж. А. (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). Springer Science & Business Media. ISBN 0-387-98585-9.

Библиография [ править ]

  • Aste, T .; Уир, Д. (2000). Стремление к идеальной упаковке . Лондон: Издательский институт физики. ISBN 0-7503-0648-3.
  • Конвей, JH ; Слоан, Нью-Джерси (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). ISBN 0-387-98585-9.
  • Слоан, штат Нью-Джерси (1984). «Упаковка сфер». Scientific American . 250 : 116–125. Bibcode : 1984SciAm.250e.116G . DOI : 10.1038 / Scientificamerican0584-116 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Дана Маккензи (май 2002 г.) « Прекрасный беспорядок » (New Scientist)
Нетехнический обзор упаковки в гиперболическом пространстве.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Упаковка кругов» . MathWorld .
  • "Kugelpackungen (сферическая упаковка)" (Т.Е. Дорозинский)
  • Java-апплет Sphere Packing "3D Sphere Packing"
  • Java-апплет "Плотнейшая упаковка сфер в сферу"
  • «База данных сферических упаковок» (Эрик Агрелл)