n- сфера

Каркас 2-сферы как ортогональная проекция

Подобно тому, как стереографическая проекция может проецировать поверхность сферы на плоскость, она также может проецировать 3-сферу в 3-пространство. На этом изображении показаны три координатных направления, спроецированных в 3-х пространстве: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зеленый). Из-за конформности стереографической проекции кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой окружности: кривые, пересекающие точки ⟨0,0,0,1⟩, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

В математике , п -сферы является топологическое пространство , что является гомеоморфными к стандартной п - сфера , которая является множество точек в ( п + 1) -мерном евклидовом пространстве , которые расположены на постоянном расстоянии г от неподвижной точки, позвонил в центр . Это обобщение обычной сферы в обычном трехмерном пространстве . «Радиус» сферы - это постоянное расстояние от ее точек до центра. Когда сфера имеет единичный радиус, ее обычно называютблок п -сферы или просто п -сферы для краткости. В терминах стандартной нормы n- сфера определяется как

${\ displaystyle S ^ {n} = \ left \ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n + 1}: \ left \ | x \ right \ | = 1 \ right \},}$

а n -сферу радиуса r можно определить как

${\ Displaystyle S ^ {n} (r) = \ left \ {x \ in \ mathbf {R} ^ {n + 1}: \ left \ | x \ right \ | = r \ right \}.}$

Размерность n -сферы равна n , и ее не следует путать с размерностью ( n + 1) евклидова пространства, в которое она естественным образом вложена . П -сфера является поверхность или границы с ( п + 1) n - мерного шаром .

Особенно:

• пара точек на концах (одномерного) отрезка прямой представляет собой 0-сферу,
• круг , который является одномерной окружностью из (двумерный) диска , является 1-сферой,
• двумерная поверхность трехмерного шара - это 2-сфера, которую часто называют просто сферой,
• Трехмерная граница (четырехмерного) 4-шара в четырехмерном евклидовом пространстве - это 3-сфера , также известная как клубок .
• п - 1 мерная граница ( п - мерный) п -шар является ( п - 1) -сферы.

Для п ≥ 2 , то п -сферы , которые являются дифференциальными коллекторами могут быть охарактеризованы ( до более диффеоморфизма ) в качестве односвязного п - мерных многообразий постоянная, положительная кривизны . В п -сфер допускают несколько других топологические описания: например, они могут быть изготовлены путем склеивания двух п - мерного евклидова пространства вместе, путем идентификации границы с п -куба с точкой, или (индуктивно) путем формирования суспензии А.Н. ( п - 1)-сфера. 1-сфера - это 1-многообразие, представляющее собой не односвязную окружность. 0-сфера - это 0-многообразие, состоящее из двух точек, которое даже не связано.

Описание [ править ]

Для любого натурального числа п , п -сферы радиуса г определяется как множество точек ( п + 1) n - мерном евклидовом пространстве , которые находятся на расстоянии г от некоторой фиксированной точки с , где г может быть любым положительным действительным числом и где c может быть любой точкой в ( n + 1) -мерном пространстве. Особенно:

• 0-сфера - это пара точек { c - r , c + r } и граница отрезка прямой (1-шар).
• 1-сфера представляет собой окружность радиуса г с центром в точке с , и является границей диска (2-шар).
• 2-сфера представляет собой обычный 2-мерная сфера в 3-мерном евклидовом пространстве, и является границей обычного шара (3-шар).
• 3-сфера является 3-мерной сферы в 4-мерном евклидовом пространстве.

Евклидовы координаты в ( n + 1) -пространстве [ править ]

Множество точек в ( n + 1) -пространстве, ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +1} ) , которые определяют n -сферу,, представлено уравнением:${\ Displaystyle S ^ {п} (г)}$

${\ displaystyle r ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} \ left (x_ {i} -c_ {i} \ right) ^ {2},}$

где c = ( c ₁ , c ₂ , ..., c _{n +1} ) - центральная точка, а r - радиус.

Выше п -сферы существует в ( п + 1) n - мерном евклидовом пространстве и является примером п - многообразия . Форма объема ω из п -сферы радиуса г задается

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {1} {r}} \ sum _ {j = 1} ^ {n + 1} (- 1) ^ {j-1} x_ {j} \, dx_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {j-1} \ wedge dx_ {j + 1} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {n + 1} = * dr}$

где ∗ - звездный оператор Ходжа ; см. Flanders (1989 , §6.1) для обсуждения и доказательства этой формулы в случае r = 1 . Как результат,

${\ displaystyle dr \ wedge \ omega = dx_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx_ {n + 1}.}$

n -ball [ править ]

Пространство , окруженное с п -сферы называется ( п + 1) - шар . ( П + 1) -шар будет закрыт , если оно включает в п -сферу, и она открыта , если она не включает в п -сферу.

Конкретно:

• 1- шар , отрезок прямой , это внутренность 0-сферы.
• 2- шар , диск , это внутренность круга (1-сферы).
• 3- шар , обычный шар , это внутренность сферы (2-сферы).
• 4- шар - это внутренность 3-х сфер и т. Д.

Топологическое описание [ править ]

Топологический , п -сфера может быть выполнена в виде одноточечной компактификации в п - мерное евклидово пространства. Вкратце, n -сфера может быть описана как S ⁿ = R ⁿ ∪ {∞} , которая представляет собой n- мерное евклидово пространство плюс единственная точка, представляющая бесконечность во всех направлениях. В частности, если одна точка удаляется из п -сферы, становится гомеоморфными к R ^н . Это составляет основу стереографической проекции . ^[1]

Объем и площадь [ править ]

В теории, можно было бы сравнить значения S _п ( R ) и S _м ( R ) для п ≠ м . Однако это четко не определено. Например, если n = 2 и m = 3, то сравнение похоже на сравнение количества квадратных метров с другим количеством кубических метров. То же самое относится к сравнению V _п ( R ) и V _м ( R ) для п ≠ м .

Примеры [ править ]

0-шар состоит из одной точки. 0-мерная мера Хаусдорфа - это количество точек в множестве. Так,

${\displaystyle V_{0}=1.}$

0-сфера состоит из двух конечных точек, {−1,1} . Так,

${\displaystyle S_{0}=2.}$

Единичный 1-шар - это отрезок [−1,1] длины 2. Итак,

${\displaystyle V_{1}=2.}$

Единичная 1-сфера - это единичный круг на евклидовой плоскости, и у него есть окружность (одномерная мера)

${\displaystyle S_{1}=2\pi .}$

Область, ограниченная единичной 1-сферой, - это 2-шар, или единичный диск, и у него есть площадь (двумерная мера)

${\displaystyle V_{2}=\pi .}$

Аналогично, в 3-мерном евклидовом пространстве площадь поверхности (2-мерная мера) единичной 2-сферы определяется выражением

${\displaystyle S_{2}=4\pi .}$

а прилагаемый объем - это объем (трехмерная мера) единичного 3-шара, определяемый формулой

${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

Повторения [ править ]

Площадь поверхности или, собственно, n- мерный объем n -сферы на границе ( n + 1) -шара радиуса R связан с объемом шара дифференциальным уравнением

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}},}$

или, что то же самое, представление единичного n -шара в виде объединения концентрических ( n - 1) -сферных оболочек ,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr.}$

Так,

${\displaystyle V_{n+1}={\frac {S_{n}}{n+1}}.}$

Мы также можем представить единичную ( n + 2) -сферу как объединение торов , каждый из которых является произведением круга (1-сферы) на n -сферу. Пусть r = cos θ и r ² + R ² = 1 , так что R = sin θ и dR = cos θ dθ . Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+2}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}r\cdot S_{n}R^{n}\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{1}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=S_{1}\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end{aligned}}}$

Поскольку S ₁ = 2π V ₀ , уравнение

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

выполняется для всех n .

На этом вывод повторений завершен:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}}$

Закрытые формы [ править ]

Комбинируя повторения, мы видим, что

${\displaystyle V_{n+2}=2\pi {\frac {V_{n}}{n+2}}.}$

Таким образом, индукцией по k несложно показать, что

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}&={\frac {\left(2\pi \right)^{k}}{(2k)!!}}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}\\[6pt]V_{2k+1}&={\frac {2\left(2\pi \right)^{k}}{(2k+1)!!}}={\frac {2k!\left(4\pi \right)^{k}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$

где !! обозначает двойной факториал , определенный для нечетных натуральных чисел 2 k + 1 формулой (2 k + 1) !! = 1 × 3 × 5 × ... × (2 k - 1) × (2 k + 1) и аналогично для четных чисел (2 k ) !! = 2 × 4 × 6 × ... × (2 k - 2) × (2 k ) .

В общем случае объем в n- мерном евклидовом пространстве единичного n -шара определяется выражением

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}}$

где Γ - гамма-функция , удовлетворяющая Γ (1/2) = √ π , Γ (1) = 1 и Γ ( x + 1) = xΓ ( x ) , поэтому Γ ( x + 1) = x! , и где мы, наоборот, определяем x! = Γ ( x + 1) для любого x.

Умножая V _n на R ⁿ , производя дифференцирование по R , а затем полагая R = 1 , мы получаем замкнутую форму

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

для (n-1) -мерного объема сферы S ^n-1 .

Другие отношения [ править ]

Повторения можно комбинировать, чтобы получить соотношение повторяемости "в обратном направлении" для площади поверхности, как показано на диаграмме:

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {n}{2\pi }}S_{n+1}}$

При изменении индекса n на n - 2 получаются рекуррентные соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}\\[6pt]S_{n-1}&={\frac {2\pi }{n-2}}S_{n-3}\end{aligned}}}$

где S ₀ = 2 , V ₁ = 2 , S ₁ = 2π и V ₂ = π .

Рекуррентное соотношение для V _n также может быть доказано интегрированием с двумерными полярными координатами :

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left({\sqrt {1-r^{2}}}\right)^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\int _{0}^{1}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\left[-{\frac {1}{n}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\frac {1}{n}}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}.\end{aligned}}}$

Сферические координаты [ править ]

Мы можем определить систему координат в n- мерном евклидовом пространстве, которая аналогична сферической системе координат, определенной для 3-мерного евклидова пространства, в которой координаты состоят из радиальной координаты r и n - 1 угловых координат φ ₁ , φ ₂ , ... φ _{n −1} , где углы φ ₁ , φ ₂ , ... φ _{n −2} лежат в диапазоне [0, π] радиан (или более [0,180] градусов), а φ _{n −1}колеблется в пределах [0,2π) радиан (или более [0,360) градуса). Если x _i - декартовы координаты, то мы можем вычислить x ₁ , ... x _n из r , φ ₁ , ... φ _{n −1} с помощью: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3})\\&\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})\cos(\varphi _{n}).\end{aligned}}}$

За исключением особых случаев, описанных ниже, обратное преобразование уникально:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}\\[6pt]\varphi _{1}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{1}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}\\[6pt]&\vdots &&\vdots \\[6pt]\varphi _{n-2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{x_{n-2}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{n-1}&=2\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-1}+{\sqrt {x_{n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}}&&={\begin{cases}\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}\geq 0\\[6pt]2\pi -\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}<0\end{cases}}\,.\end{aligned}}}$

где если x _k ≠ 0 для некоторого k, но все x _{k +1} , ... x _n равны нулю, то φ _k = 0, когда x _k > 0 , и φ _k = π (180 градусов), когда x _k <0 .

Есть некоторые особые случаи, когда обратное преобразование не уникально; φ _k для любого k будет неоднозначным, если все x _k , x _{k +1} , ... x _n равны нулю; в этом случае φ _k можно выбрать равным нулю.

Сферические элементы объема и площади [ править ]

Чтобы выразить элемент объема n- мерного евклидова пространства в терминах сферических координат, сначала заметьте, что матрица Якоби преобразования:

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi _{1})&-r\sin(\varphi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&r\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&-r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &&\vdots \\&&&&&0\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})&\cdots &\cdots &&&-r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})&r\cos(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-1})&\cdots &&&r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\end{pmatrix}}.}$

Определитель этой матрицы можно вычислить по индукции. Когда n = 2 , простое вычисление показывает, что определителем является r . Для большого п , заметит , что J _п может быть построен из J _{п - 1} следующим образом . За исключением столбца n , строки n - 1 и n в J _n такие же, как строка n - 1 в J _{n - 1} , но умноженные на дополнительный коэффициент cos φ _{n - 1} в строке n - 1.и дополнительный множитель sin φ _{n - 1} в строке n . В столбце n строки n - 1 и n из J _n такие же, как столбец n - 1 строки n - 1 из J _{n - 1} , но умноженные на дополнительные множители sin φ _{n - 1} в строке n - 1 и cos φ _{n - 1} в строке n соответственно. Определитель J _n можно вычислить по формулеРазложение Лапласа в последней колонке. Согласно рекурсивному описанию J _n , подматрица, образованная удалением записи в ( n - 1, n ), ее строки и столбца, почти равна J _{n - 1} , за исключением того, что ее последняя строка умножается на sin φ _{n - 1} . Точно так же подматрица, образованная удалением записи в ( n , n ) и ее строки и столбца, почти равна J _{n - 1} , за исключением того, что ее последняя строка умножается на cos φ _{n - 1} . Следовательно, определительJ _n - это

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}))(\sin(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}))(\cos(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})|J_{n-1}|(\sin ^{2}(\varphi _{n-1})+\cos ^{2}(\varphi _{n-1}))\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2}))|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

Затем индукция дает выражение в замкнутой форме для элемента объема в сферических координатах

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

Формула для объема n- шара может быть получена из этого интегрированием.

Аналогичным образом элемент площади поверхности ( n - 1) -сферы радиуса R , который обобщает элемент площади 2-сферы, задается выражением

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

Естественный выбор ортогонального базиса по угловым координатам - это произведение ультрасферических полиномов ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

для j = 1, 2, ... n - 2 , а e ^{равно _{φ j}} для угла j = n - 1 в соответствии со сферическими гармониками .

Полисферические координаты [ править ]

Стандартная сферическая система координат возникает из записи R ⁿ как произведения R × R ^{n - 1} . Эти два фактора могут быть связаны с использованием полярных координат. Для каждой точки x из R ⁿ стандартные декартовы координаты

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}$

можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\cos \theta ,(r\sin \theta )\mathbf {z} ).}$

Это говорит о том, что точки в R ⁿ можно выразить, взяв луч, начинающийся в начале координат и проходящий через z ∈ R ^{n - 1} , повернув его к первому базисному вектору на θ и пройдя расстояние r вдоль луча. Повторение этого разложения в конечном итоге приводит к стандартной сферической системе координат.

Полисферические системы координат возникают в результате обобщения этой конструкции. ^[3] Пространство R ⁿ разделено как произведение двух евклидовых пространств меньшей размерности, но ни одно пространство не обязательно должно быть линией. В частности, предположим, что p и q - натуральные числа такие, что n = p + q . Тогда R ⁿ = R ^p × R ^q . Используя это разложение, точку x ∈ R ⁿ можно записать как

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Это можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат, записав:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Здесь и - единичные векторы, связанные с y и z . В этом выражается й в терминах , , г ≥ 0 , а угол & thetas . Можно показать, что область определения θ равна [0, 2π), если p = q = 1 , [0, π], если ровно одно из p и q равно 1, и [0, π / 2], если ни p, ни q равны 1. Обратное преобразование${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arccos(\lVert \mathbf {z} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arctan(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {z} \rVert ).\end{aligned}}}$

Эти расщепления могут повторяться до тех пор, пока один из задействованных факторов имеет размерность два или больше. Система Полисферических координат является результатом повторения этих расщеплений пока нет декартовы координат остаются. Расщепления после первого не требуют радиальной координаты, потому что области и являются сферами, поэтому координаты полисферической системы координат являются неотрицательным радиусом и n - 1 углами. Возможные полисферические системы координат соответствуют двоичным деревьям с n листами. Каждый нелистовой узел в дереве соответствует разделению и определяет угловую координату. Например, корень дерева представляет собой R ⁿ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$, а его непосредственные дочерние элементы представляют собой первое разбиение на R ^p и R ^q . Узлы листа соответствуют декартовым координатам для S ^{n - 1} . Формулы для преобразования полисферических координат в декартовы координаты могут быть определены путем нахождения путей от корневых узлов к листовым. Эти формулы представляют собой произведения с одним фактором для каждой ветви пути. Для узла, соответствующая угловая координата которого равна θ _i , взятие левой ветви вводит множитель sin θ _i, а взятие правой ветви вводит множитель cos θ _i. Обратное преобразование из полисферических координат в декартовы координаты определяется группировкой узлов. Каждую пару узлов, имеющих общего родителя, можно преобразовать из смешанной полярно-декартовой системы координат в декартову систему координат, используя приведенные выше формулы для разделения.

Полисферические координаты также имеют интерпретацию в терминах специальной ортогональной группы . Разбиение R ⁿ = R ^p × R ^q определяет подгруппу

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbf {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbf {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbf {R} ).}$

Это подгруппа, в которой каждый из двух факторов остается неизменным. Выбор набора представителей смежного класса для частного - это то же самое, что выбор представительных углов для этого шага разложения полисферических координат.${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

В полисферических координатах мера объема на R ⁿ и мера площади на S ^{n - 1} являются произведениями. Для каждого угла есть один коэффициент, и мера объема на R ⁿ также имеет коэффициент для радиальной координаты. Мера площади имеет вид:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

где факторы F _i определяются деревом. Точно так же мера объема

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

Предположим, что у нас есть узел дерева, который соответствует разложению R ^{n ₁ + n ₂} = R ^{n ₁} × R ^{n ₂} и имеет угловую координату θ . Соответствующий коэффициент F зависит от значений n ₁ и n ₂ . Когда мера площади нормализована так, что площадь сферы равна 1, эти коэффициенты следующие. Если n ₁ = n ₂ = 1 , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Если n ₁ > 1 и n ₂ = 1 , и если B обозначает бета-функцию , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Если n ₁ = 1 и n ₂ > 1 , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Наконец, если и n _1, и n ₂ больше единицы, то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Стереографическая проекция [ править ]

Подобно тому , как двумерная сфера вкладывается в трех измерениях могут быть отображены на двумерной плоскости с помощью стереографической проекции , п -сферы можно отобразить на в п - мерной плоскости по п - мерной версии стереографической проекции. Например, точка [ x , y , z ] на двумерной сфере радиуса 1 отображается в точку [Икс/1 - z,у/1 - z] на плоскости xy . Другими словами,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

Точно так же стереографическая проекция n -сферы S ^{n −1} радиуса 1 будет отображаться в ( n - 1) -мерную гиперплоскость R ^{n −1,} перпендикулярную оси x _n, как

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Генерация случайных точек [ править ]

Равномерно случайным образом на ( n - 1) -сфере [ править ]

Для генерации равномерно распределенных случайных точек на единицу ( п - 1) -сферы (то есть, поверхность блока п -Ball), Marsaglia (1972) дает следующий алгоритм.

Сгенерируйте n -мерный вектор нормальных отклонений (достаточно использовать N (0, 1) , хотя на самом деле выбор дисперсии произвольный), x = ( x ₁ , x ₂ , ... x _n ) . Теперь вычислим «радиус» этой точки:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Вектор 1/рx равномерно распределен по поверхности единичного n -шара.

Альтернатива, предложенная Марсалья, состоит в том, чтобы равномерно случайным образом выбрать точку x = ( x ₁ , x ₂ , ... x _n ) в единичном n -кубе путем выборки каждого x _i независимо от равномерного распределения по (–1,1) , вычисление r, как указано выше, и отклонение точки и повторная выборка, если r ≥ 1 (т. е. если точка не находится в n- шаре), и когда точка в шаре получена, масштабируя ее до сферической поверхности с коэффициентом1/р; затем снова1/рx равномерно распределен по поверхности единичного n -шара. Этот метод становится очень неэффективным для более высоких измерений, поскольку исчезающе малая часть единичного куба содержится в сфере. В десяти измерениях сферой заполнено менее 2% куба, поэтому обычно требуется более 50 попыток. В семидесяти измеренияхзаполненоменьшекуба, а это означает, что обычно потребуется триллион квадриллионов попыток, что намного больше, чем когда-либо мог бы выполнить компьютер.${\displaystyle 10^{-24}}$

Равномерно случайным образом в пределах n- шара [ править ]

С точкой, выбранной равномерно случайным образом на поверхности единичной ( n - 1) -сферы (например, с использованием алгоритма Марсальи), требуется только радиус, чтобы получить точку равномерно случайным образом внутри единичного n- шара. Если у представляет собой число генерируется равномерно случайным образом из интервала [0, 1] , и х является точкой выбрана равномерно случайным образом из блока ( п - 1) -сферы, то у ^{1 / _п} х равномерно распределен в пределах блока п -бол.

В качестве альтернативы точки могут быть отобраны равномерно из единичного n- шара путем сокращения от единичной ( n + 1) -сферы. В частности, если ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +2} ) - точка, равномерно выбранная из единичной ( n + 1) -сферы, то ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) равномерно распределен в пределах единицы n -шара (т. е. просто отбрасывая две координаты). ^[4]

Если n достаточно велико, большая часть объема n- шара будет находиться в области, очень близкой к его поверхности, поэтому точка, выбранная из этого объема, также, вероятно, будет близко к поверхности. Это одно из явлений, ведущих к так называемому проклятию размерности, которое возникает в некоторых числовых и других приложениях.

Определенные сферы [ править ]

0-сфера

Пара точек {± R } с дискретной топологией для некоторого R > 0 . Единственная сфера, которая не связана линейно . Имеет естественную структуру группы Ли; изоморфна O (1). Возможность распараллеливания.

1-сфера

Также известен как круг. Имеет нетривиальную фундаментальную группу. Структура абелевой группы Ли U (1) ; круг группы . Топологически эквивалентно вещественной проективной линии , R P ¹ . Возможность распараллеливания. SO (2) = U (1).

2-сфера

Также известен как сфера. Сложная структура; см. сферу Римана . Эквивалент комплексной проективной прямой , C P ¹ . SO (3) / SO (2).

3-сфера

Также известен как клубок . Параллелизуемое главное U (1) -расслоение над 2-сферой, структура группы Ли Sp (1) , где также

${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\cong \mathrm {SO} (4)/\mathrm {SO} (3)\cong \mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {Spin} (3)}$.

4-сфера

Эквивалент кватернионной проективным прямой , Н Р ¹ . SO (5) / SO (4).

5-сфера

Главное U (1) -расслоение над C P 2 . SO (6) / SO (5) = SU (3) / SU (2).

6-сфера

Обладает почти сложной структурой, происходящей из набора чистых единичных октонионов . SO (7) / SO (6) = G ₂ / SU (3). Вопрос о том, имеет ли она сложную структуру , известен как проблема Хопфа после Хайнца Хопфа . ^[5]

7-сфера

Топологическая квазигрупповая структура как множество единичных октонионов . Главное Sp (1) -расслоение над S ⁴ . Возможность распараллеливания. SO (8) / SO (7) = SU (4) / SU (3) = Sp (2) / Sp (1) = Spin (7) / G ₂ = Spin (6) / SU (3). 7-сфера представляет особый интерес, поскольку именно в этом измерении были обнаружены первые экзотические сферы .

8-сфера

Эквивалентен октонионной проективной прямой O P ¹ .

23-сфера

В 24-мерном пространстве возможна очень плотная упаковка сфер , что связано с уникальными качествами решетки Пиявки .

Октаэдрическая сфера [ править ]

Октаэдрический п -сфера определяется аналогично п -сферы , но с использованием 1-нормы

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbf {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

Восьмигранная 1-сфера представляет собой квадрат (без внутренней части). Октаэдрическая 2-сфера - это правильный октаэдр ; отсюда и название. Октаэдрический п -сферы является топологическим присоединиться к из п +-паров изолированных точек. ^[6] Интуитивно топологическое соединение двух пар создается путем проведения сегмента между каждой точкой одной пары и каждой точкой другой пары; это дает квадрат. Чтобы соединить это с третьей парой, проведите отрезок между каждой точкой квадрата и каждой точкой третьей пары; это дает октаэдр.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фландрия, Харлей (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8.
• Моура, Эдуарда; Хендерсон, Дэвид Г. (1996). Знакомство с геометрией: на плоскости и сфере . Прентис Холл . ISBN 978-0-13-373770-7 (Глава 20: 3-сферы и 3-гиперболические пространства).
• Уикс, Джеффри Р. (1985). Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия . Марсель Деккер. ISBN 978-0-8247-7437-0 (Глава 14: Гиперсфера).
• Марсалья, Г. (1972). «Выбор точки с поверхности сферы». Анналы математической статистики . 43 (2): 645–646. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177692644 .
• Хубер, Грег (1982). «Вывод гамма-функции n-мерных объемов». Амер. Математика. Ежемесячно . 89 (5): 301–302. DOI : 10.2307 / 2321716 . JSTOR  2321716 . Руководство по ремонту  1539933 .
• Барнеа, Нир (1999). «Гиперсферические функции с произвольной перестановочной симметрией: обратная конструкция». Phys. Rev. A . 59 (2): 1135–1146. Bibcode : 1999PhRvA..59.1135B . DOI : 10.1103 / PhysRevA.59.1135 .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсфера» . MathWorld .