Перейти к навигации Перейти к поиску
 | В этой статье не процитировать какие - либо источники . ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В математике , постоянная кривизна является понятием из дифференциальной геометрии . Здесь кривизна относится к секционной кривизне пространства (точнее, многообразия ) и является единственным числом, определяющим его локальную геометрию. Кривизна сечения называется постоянной, если она имеет одинаковое значение в каждой точке и для каждой двумерной касательной плоскости в этой точке. Например, сфера - это поверхность постоянной положительной кривизны.
Классификация [ править ]
В риманова многообразия постоянной кривизны можно разделить на следующие три случая:
- эллиптическая геометрия - постоянная положительная кривизна сечения
- Евклидова геометрия - постоянная исчезающая секционная кривизна
- гиперболическая геометрия - постоянная отрицательная кривизна сечения.
Свойства [ править ]
- Каждое пространство постоянной кривизны локально симметрично , т.е. его тензор кривизны является параллельно .
- Каждое пространство постоянной кривизны локально максимально симметрично , т. Е. Имеет ряд локальных изометрий , где n - его размерность.
- Наоборот, существует аналогичное, но более сильное утверждение: каждое максимально симметричное пространство, то есть пространство, которое имеет (глобальные) изометрии , имеет постоянную кривизну.
- ( Теорема Киллинга – Хопфа ) Универсальное покрытие многообразия постоянной секционной кривизны является одним из модельных пространств:
- сфера (положительная кривизна в сечении)
- плоскость (нулевая кривизна сечения)
- гиперболическое многообразие (секционная кривизна отрицательная)
- Пространство постоянной кривизны, которое является геодезически полным , называется пространственной формой, а изучение пространственных форм тесно связано с обобщенной кристаллографией (см. Статью о пространственной форме для более подробной информации).
- Две пространственные формы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность, их метрики имеют одинаковую сигнатуру и их секционная кривизна равна.
