Космическая форма

В математике , А пространственная форма является полным римановым многообразием М из постоянной секционной кривизны K . Три очевидных примера - евклидово n- пространство , n -мерная сфера и гиперболическое пространство , хотя пространственная форма не обязательно должна быть односвязной .

Сведение к обобщенной кристаллографии [ править ]

Теорема Killing-Хопфа римановых состояний геометрии , что универсальная крышка из п - мерного пространства формы с кривизной изометричен , гиперболического пространства с кривизной изометричен , евклидово п -пространством , и с кривизной изометрично , то n- размерная сфера точек на расстоянии 1 от начала координат в .${\ displaystyle M ^ {n}}$${\ displaystyle K = -1}$${\ displaystyle H ^ {n}}$${\ displaystyle K = 0}$${\ displaystyle R ^ {n}}$${\ Displaystyle К = + 1}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle R ^ {n + 1}}$

Изменив масштаб римановой метрики на , мы можем создать пространство постоянной кривизны для любого . Точно так же, изменяя масштаб римановой метрики на , мы можем создать пространство постоянной кривизны для любого . При этом универсальная оболочка пространственной формы с постоянной кривизной изометрична .${\ displaystyle H ^ {n}}$${\ displaystyle M_ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K <0}$${\ Displaystyle S ^ {п}}$${\ displaystyle M_ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K> 0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M_{K}}$

Это уменьшает проблема изучения космических форм для изучения дискретных групп по изометрии из которого действует надлежащим образом прерывиста . Следует отметить , что фундаментальная группа из , , будет изоморфно . Группы, действующие таким образом , называются кристаллографическими группами . Группы, действующие таким образом на и , называются фуксовыми группами и клейновыми группами соответственно.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M_{K}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{1}(M)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle H^{2}}$${\displaystyle H^{3}}$

Проблема космической формы [ править ]

Проблема пространственной формой является гипотеза о том , что любые два компактных асферические риманова многообразия с изоморфными фундаментальными группами являются гомеоморфно .

Возможные расширения ограничены. Кто-то может захотеть предположить, что многообразия изометричны , но изменение масштаба римановой метрики на компактном асферическом римановом многообразии сохраняет фундаментальную группу и показывает, что это неверно. Можно было бы также пожелать гипотезы о том , что многообразия диффеоморфны , но Джон милноровские «s экзотические сферы все гомеоморфно и , следовательно , имеют изоморфные фундаментальной группы, показывая , что это ложь.

См. Также [ править ]

• Гипотеза Бореля

Ссылки [ править ]

• Голдберг, Самуэль И. (1998), Кривизна и гомология , Dover Publications , ISBN 978-0-486-40207-9
• Ли, Джон М. (1997), Римановы многообразия: введение в кривизну , Springer