Дискретное пространство

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Дискретное пространство» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В топологии , A дискретного пространство является особенно простым примером топологического пространства или подобной структуры, в которой точки образуют прерывистую последовательность , то есть они изолированы друг от друга в определенном смысле. Дискретная топология - это лучшая топология, которая может быть задана на множестве, т. Е. Она определяет все подмножества как открытые множества. В частности, каждый синглтон является открытым множеством в дискретной топологии.

Определения [ править ]

Учитывая набор X :

дискретная топология на X определяются позволяя каждое подмножество из X будет открыто (а значит , и закрытым ), а Х представляет собой дискретное топологическое пространство , если оно оснащено его дискретной топологией;
дискретная однородность на X определяются позволяя каждое надмножество диагонального {( х , х ): х в X } в Х × Х быть свита , а Х представляет собой дискретное равномерное пространство , если он оснащен его дискретной однородностью.
дискретная метрика на X определяются ${\ displaystyle \ rho}$
${\ displaystyle \ rho (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & {\ mbox {if}} \ x \ neq y, \\ 0 & {\ mbox {if}} \ x = y \ конец {матрица}} \ right.}$
для любого . В этом случае называется дискретным метрическим пространством или пространством изолированных точек . ${\ displaystyle x, y \ in X}$ ${\ displaystyle (X, \ rho)}$
множество S является дискретным в метрическом пространстве , для , если для каждого , существует некоторая ( в зависимости от ) таким образом, что для всех ; такой набор состоит из изолированных точек . Множество S является равномерно дискретно в метрическом пространстве , для , если существует ε > 0 такое , что для любых двух различных , > е . ${\ displaystyle (X, d)}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ displaystyle x \ in S}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle d (x, y)> \ delta}$ ${\ Displaystyle у \ в S \ setminus \ {х \}}$ ${\ displaystyle (X, d)}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ displaystyle x, y \ in S}$ ${\ Displaystyle д (х, у)}$

Метрическое пространство называется равномерно дискретным, если существует такой «радиус упаковки» , что для любого имеется либо, либо . ^[1] Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной без равномерной дискретности метрики: например, обычная метрика на множестве {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} действительных чисел . ${\ displaystyle (E, d)}$ ${\ displaystyle r> 0}$ ${\ displaystyle x, y \ in E}$ ${\ displaystyle x = y}$ ${\ displaystyle d (x, y)> r}$

Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно равномерно дискретно

Пусть X = {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} , рассмотрим это множество, используя обычную метрику действительных чисел. Тогда X - дискретное пространство, так как для каждой точки 1/2 ⁿ мы можем окружить его интервалом (1/2 ⁿ - ɛ, 1/2 ⁿ + ɛ) , где ɛ = 1/2 (1/2 ^п - 1/2 ^{п + 1} ) = 1/2 ^{п + 2} . Пересечение (1/2 ⁿ - ɛ, 1/2 ⁿ + ɛ) ∩ {1/2 ⁿ } - это просто одноэлемент {1/2 ⁿ } . Поскольку пересечение двух открытых множеств открыто, а одиночные множества открыты, отсюда следует, что X - дискретное пространство.

Однако X не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует r> 0 такое, что d (x, y)> r всякий раз, когда x ≠ y . Достаточно показать, что в X есть по крайней мере две точки x и y, которые ближе друг к другу, чем r. Поскольку расстояние между соседними точками 1/2 ⁿ и 1/2 ^{n + 1} равно 1/2 ^{n + 1} , нам нужно найти n, удовлетворяющее этому неравенству:

{\begin{aligned}{\frac {1}{2^{n+1}}}&<r\\1&<r2^{n+1}\\{\frac {1}{r}}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left({\frac {1}{r}}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}

Поскольку всегда существует n больше любого заданного действительного числа, отсюда следует, что всегда будут по крайней мере две точки в X, которые ближе друг к другу, чем любое положительное r, поэтому X не является равномерно дискретным. ...

Свойства [ править ]

Базовая однородность на дискретном метрическом пространстве - это дискретная однородность, а основная топология на дискретном однородном пространстве - это дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, основная топология недискретного равномерного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство X : = {1 / n : n = 1,2,3, ...} (с метрикой, унаследованной от вещественной линии и заданной как d ( x , y ) = | x - y |) . Это не дискретная метрика; Кроме того, это пространство не полноеи, следовательно, не дискретный как однородное пространство. Тем не менее оно дискретно как топологическое пространство. Будешь говорить , что X является топологический дискретным , но не равномерно дискретно или метрический дискретным .

Кроме того:

Топологическая размерность дискретного пространства равна 0.
Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда его синглтоны открыты, что имеет место тогда и только тогда, когда оно не содержит точек накопления .
Синглтоны составляют основу дискретной топологии.
Равномерное пространство X дискретно тогда и только тогда, когда диагональ {( x , x ): x находится в X } является антуражем .
Каждое дискретное топологическое пространство удовлетворяет каждой из аксиом разделения ; в частности, каждое дискретное пространство хаусдорфово , т. е. разделено.
Дискретное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно .
Каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полно .
Комбинируя два вышеупомянутых факта, каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно конечно.
Каждое дискретное метрическое пространство ограничено .
Каждое дискретное пространство счетно первым ; кроме того, он является счетным тогда и только тогда, когда он является счетным .
Каждое дискретное пространство полностью отключено .
Каждое непустое дискретное пространство относится ко второй категории .
Любые две дискретные пространства с одной и той же мощности являются гомеоморфно .
Всякое дискретное пространство метризуемо (по дискретной метрике).
Конечное пространство метризуемо, только если оно дискретно.
Если X - топологическое пространство, а Y - множество, несущее дискретную топологию, то X равномерно покрывается X × Y (отображение проекции является желаемым покрытием)
Топология подпространства на целых как подпространство прямой является дискретной топологией.
Дискретное пространство отделимо тогда и только тогда, когда оно счетно.
Любое топологическое подпространство $ℝ$ (со своей обычной евклидовой топологией ) , что является дискретным обязательно счетно . ^[2]

Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство непрерывна , а любая функция из дискретного равномерного пространства в другое однородное пространство равномерно непрерывна . То есть дискретное пространство X является свободным на множество X в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, в котором дискретные структуры обычно свободны на множествах.

С метрическими пространствами дело обстоит сложнее, потому что существует несколько категорий метрических пространств, в зависимости от того, что выбрано для морфизмов . Конечно, дискретное метрическое пространство свободно, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или все непрерывные отображения, но это ничего интересного не говорит о метрической структуре , только о равномерной или топологической структуре. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми непрерывными отображениями или короткими отображениями ; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств.и липшицевы отображения, и он свободен в категории метрических пространств, ограниченных единицей, и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является липшицевым, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное 1, является короткой.

В противоположном направлении функция f из топологического пространства Y в дискретное пространство X является непрерывной тогда и только тогда, когда она локально постоянна в том смысле, что каждая точка в Y имеет окрестность, в которой f постоянна.

Использует [ редактировать ]

Дискретная структура часто используется как «структура по умолчанию» в наборе, не несущем никакой другой естественной топологии, единообразия или метрики; дискретные структуры часто могут использоваться как «крайние» примеры для проверки определенных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу , задав ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. В самом деле, аналитики могут называть обычные, нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, « дискретными группами ». В некоторых случаях это может быть полезно, например, в сочетании с двойственностью Понтрягина . 0-мерное многообразие(или дифференцируемое или аналитическое многообразие) есть не что иное, как дискретное топологическое пространство. Поэтому мы можем рассматривать любую дискретную группу как 0-мерную группу Ли .

Продукт из счетных экземпляров дискретного пространства натуральных чисел является гомеоморфно пространством иррациональных чисел , с гомеоморфизмом , заданным непрерывной дробью расширением. Произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства {0,1} гомеоморфно канторову множеству ; и фактически однородно гомеоморфно множеству Кантора, если мы используем однородность продукта на продукте. Такой гомеоморфизм задается с помощью троичной записи чисел. (См. Пространство Кантора .)

В основах математики изучение свойств компактности произведений {0,1} занимает центральное место в топологическом подходе к принципу ультрафильтра , который является слабой формой выбора .

Недискретные пробелы [ править ]

В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией ), которая имеет наименьшее возможное количество открытых множеств (только пустое множество и само пространство). Там, где дискретная топология является начальной или свободной, недискретная топология является конечной или cofree : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство непрерывна и т. Д.

См. Также [ править ]

Набор цилиндров
Список топологий
Геометрия такси

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Pleasants, Peter AB (2000). «Конструктор квазикристаллов: наборы для резки и проектирования с заранее заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах . Серия монографий CRM. 13 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018 .
^ Wilansky 2008 , стр. 35.

Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур мл. (1978). Контрпримеры в топологии (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7. Руководство по ремонту 0507446 . Zbl 0386.54001 .
Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 .

[1] Перейти ↑ Pleasants, Peter AB (2000). «Конструктор квазикристаллов: наборы для резки и проектирования с заранее заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах . Серия монографий CRM. 13 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018 .

[FOOTNOTEWilansky200835-2] Wilansky 2008 , стр. 35.

[1]