В математике , в предельной точке (или точке кластера или точке накопления ) одного множества в топологическом пространстве это точка которые можно «аппроксимировать» точками в том смысле , что каждый район впо топологии на также содержит точку Кроме как сам. Предельная точка набора сам по себе не обязательно должен быть элементом
Предельные точки не следует путать с точками адгезивными , для которых каждая окрестность из содержит точку . В отличие от предельных точек, эта точка может быть сам. Предельную точку можно охарактеризовать как точку сцепления, которая не является изолированной точкой .
Предельные точки также не следует путать с граничными точками . Например, является граничной точкой (но не предельной точкой) множества в со стандартной топологией . Тем не мение, является предельной точкой (но не граничной) отрезка в со стандартной топологией (менее тривиальный пример предельной точки см. в первом заголовке). [1] [2] [3]
Эта концепция выгодно обобщает понятие предела и лежит в основе таких понятий, как замкнутое множество и топологическое замыкание . В самом деле, множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, а операцию топологического замыкания можно рассматривать как операцию, которая обогащает множество, объединяя его с его предельными точками.
Существует также очень похожая концепция последовательностей . Точка кластера (или точка накопления ) последовательности в топологическом пространстве это точка так что для каждого района из есть бесконечно много натуральных чисел такой, что Эта концепция распространяется на сети и фильтры .
Определение
Позволять быть подмножеством топологического пространства Точка в является предельной точкой (или кластерной точкой, или точкой накопления )если каждая окрестность из содержит хотя бы одну точку отличается от сам.
Не имеет значения, если мы ограничим условие только открытыми окрестностями. Часто бывает удобно использовать форму определения «открытой окрестности», чтобы показать, что точка является предельной точкой, и использовать форму определения «общей окрестности» для получения фактов из известной предельной точки.
Если это пространство (которым являются все метрические пространства ), то предельная точка тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит бесконечно много точек По факту, пространства характеризуются этим свойством.
Если является пространством Фреше – Урысона (которым являются все метрические пространства и пространства с первой счетностью ), то предельная точка тогда и только тогда, когда есть последовательность точек вчей предел является Фактически этим свойством обладают пространства Фреше – Урысона.
Множество предельных точек называется производное множество из
Типы предельной точки
Если в каждом районе содержит бесконечно много точек тогда это тип специфика предельной точки называется точкой ω-накопления из
Если в каждом районе содержит несчетное количество точек тогда это тип специфики предельной точки называется точкой конденсации из
Если каждый район из удовлетворяет тогда это тип специфика предельной точки называется полное накопление точки из
Для последовательностей и сетей
В топологическом пространстве точка называется точкой кластера (или точкой накопления ) последовательности если для каждого района из их бесконечно много такой, что Это эквивалентно сказать, что для каждого района из и каждый существует некоторое такой, что Если является метрическим пространством или пространством с первым счетом (или, в более общем смысле, пространством Фреше – Урысона ), то кластерная точка если и только если является пределом некоторой подпоследовательности Набор всех кластерных точек последовательности иногда называют предельным набором .
Обратите внимание, что уже существует понятие предела последовательности для обозначения точки к которой сходится последовательность (т. е. каждая окрестность содержит все элементы последовательности, кроме конечного). Вот почему мы не используем термин « предельная точка последовательности» как синоним точки накопления последовательности.
Понятие сети обобщает идею последовательности . Сеть - это функция где является направленным множеством иявляется топологическим пространством. Точканазывается точкой кластера (или точкой накопления ) сетиесли для каждого района из и каждый существует некоторое такой, что эквивалентно, если имеет подсеть, которая сходится кТочки скопления в сетях охватывают идею как точек конденсации, так и точек ω-накопления. Для фильтров также определены точки кластеризации и ограничения .
Связь между точкой накопления последовательности и точкой накопления набора
Каждая последовательность в по определению просто карта так что его изображение можно определить обычным образом.
- Если существует элемент что происходит бесконечно много раз в последовательности, - точка накопления последовательности. Но не обязательно быть точкой накопления соответствующего набора Например, если последовательность является постоянной последовательностью со значением у нас есть а также изолированная точка а не точка накопления
- Если ни один элемент не встречается в последовательности бесконечно много раз, например, если все элементы различны, любая точка накопления последовательности является -точка накопления связанного набора
Наоборот, для счетного бесконечного множества в мы можем перечислить все элементы во многих отношениях, даже с повторами, и, таким образом, связывают с ним множество последовательностей это удовлетворит
- Любой -точка накопления является точкой накопления любой из соответствующих последовательностей (поскольку любая окрестность точки будет содержать бесконечно много элементов и, следовательно, также бесконечно много членов в любой ассоциированной последовательности).
- Точка что это не-точка накопления не может быть точкой накопления любой из связанных последовательностей без бесконечных повторов (потому что имеет окрестность, содержащую только конечное число (возможно, даже ни одной) точек из и эта окрестность может содержать только конечное число членов таких последовательностей).
Характеристики
Каждый предел непостоянной последовательности является точкой накопления последовательности. И по определению каждая предельная точка является точкой привязки .
Закрытие набора представляет собой несвязное объединение своих предельных точек и изолированные точки :
Точка предельная точка если и только если он находится в замыкании на
Доказательство |
---|
Мы используем тот факт, что точка находится в замыкании множества, тогда и только тогда, когда каждая окрестность точки встречается с множеством. Сейчас, предельная точка тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку Кроме как тогда и только тогда, когда каждая окрестность содержит точку если и только если находится в закрытии |
Если мы используем для обозначения множества предельных точек то мы имеем следующую характеристику замыкания : Закрытие равно объединению а также Этот факт иногда берется как определение о закрытии .
Доказательство |
---|
(«Левое подмножество») Предположим находится в закрытии Если в мы сделали. Если не в тогда в каждом районе содержит точку и этот момент не может быть Другими словами, предельная точка а также в ("Правое подмножество") Если в тогда в каждом районе ясно встречает так находится в закрытии Если в тогда в каждом районе содержит точку (Кроме как ), так снова в закрытии Это завершает доказательство. |
Следствие этого результата дает нам характеристику замкнутых множеств: множество замкнут тогда и только тогда, когда он содержит все свои предельные точки.
Доказательство |
---|
Доказательство 1: закрыто тогда и только тогда, когда равно его закрытию тогда и только тогда, когда если и только если содержится в Доказательство 2: Пусть быть замкнутым множеством и предельная точка Если не в то дополнение к включает в себя открытый район С предельная точка любое открытое соседство должен иметь нетривиальное пересечение с Однако набор не может иметь нетривиального пересечения со своим дополнением. Наоборот, предположимсодержит все его предельные точки. Покажем, что дополнениеэто открытый набор. Позволять быть точкой в дополнении По предположению, не является предельной точкой, следовательно, существует открытая окрестность из что не пересекается и другие полностью лежит в составе Поскольку это рассуждение справедливо для произвольных в составе дополнение можно выразить как объединение открытых окрестностей точек в дополнении к Следовательно, дополнение открыто. |
Никакая изолированная точка не является предельной точкой какого-либо множества.
Доказательство |
---|
Если - изолированная точка, то это район который не содержит точек, кроме |
Пространство является дискретным тогда и только тогда , когда нет подмножества имеет предел.
Доказательство |
---|
Если дискретно, то каждая точка изолирована и не может быть предельной точкой какого-либо множества. Наоборот, если не дискретный, то есть одноэлементный это не открыто. Следовательно, каждая открытая окрестность содержит точку и другие предельная точка |
Если пробел имеет тривиальную топологию и это подмножество с более чем одним элементом, то все элементы являются предельными точками Если синглтон, то каждая точка предельная точка
Доказательство |
---|
Так долго как непусто, его закрытие будет Он пуст только тогда, когда пусто или уникальный элемент |
Смотрите также
- Точка привязки - точка, которая принадлежит замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
- Точка конденсации
- Конвергентный фильтр
- Производное множество (математика)
- Фильтры в топологии - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
- Изолированная точка
- Предел функции - точка, к которой сходятся функции в топологии.
- Предел последовательности - значение, к которому "стремятся" элементы последовательности.
- Последующий лимит
Цитаты
- ^ «Разница между граничной точкой и предельной точкой» . 2021-01-13.
- ^ «Что такое предельная точка» . 2021-01-13.
- ^ «Примеры очков накопления» . 2021-01-13.
Рекомендации
- "Предельная точка множества" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]