Производное множество (математика)

В математике, более конкретно , в точке-множественной топологии , то производное множество подмножества из в топологическом пространстве есть множество всех предельных точек зрения это обычно обозначаются${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S '.}$

Эта концепция была впервые представлена Георгом Кантором в 1872 году, и он разработал теорию множеств в значительной степени для изучения производных множеств на действительной прямой .

Примеры [ править ]

Если наделен своей обычной евклидовой топологией, то производным множеством полуоткрытого интервала является замкнутый интервал${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle [0,1)}$${\ displaystyle [0,1].}$

Рассмотришь с топологией (открытые множества) , состоящей из пустого множества и любого подмножества , содержащее 1. Полученного множеством является ^[1]${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle A: = \ {1 \}}$${\ displaystyle A '= \ mathbb {R} \ setminus \ {1 \}.}$

Свойства [ править ]

Если и являются подмножествами топологического пространства, то производное множество обладает следующими свойствами: ^[2]${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ left (X, {\ mathcal {F}} \ right),}$

• ${\ displaystyle \ varnothing '= \ varnothing}$
• ${\displaystyle a\in A'\implies a\in (A\setminus \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\implies A'\subseteq B'}$

Подмножество топологического пространства замкнуто именно тогда, когда ^[1], то есть когда содержит все его предельные точки. Для любого подмножества множество замкнуто и является замыкание в (то есть набор ). ^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle S'\subseteq S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S\cup S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\overline {S}}}$

Производное множество подмножества пространства, вообще говоря, не обязательно должно быть замкнутым. Например, если с тривиальной топологией , у множества есть производное множество, которое не замкнуто в Но производное множество замкнутого множества всегда замкнуто. ( Доказательство: Предполагается, что это замкнутое подмножество, которое показывает, что для получения необходимо взять производное множество с обеих сторон, т. Е. Замкнуто в ) Кроме того, если это пространство T ₁ , производное множество каждого подмножества замкнуто в ^{[4] [5]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\{a,b\}}$${\displaystyle S=\{a\}}$${\displaystyle S'=\{b\},}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S'\subseteq S,}$${\displaystyle S''\subseteq S',}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Два подмножества и будут разделены именно тогда , когда они не пересекаются , и каждый не пересекается с другими производными х множество (хотя полученные наборы не должны быть не пересекаются друг от друга). Это условие часто с использованием замыканий записывается как${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \left(S\cap {\bar {T}}\right)\cup \left({\bar {S}}\cap T\right)=\varnothing ,}$

и известно как условие разделения Хаусдорфа-Леннеса . ^[6]

Взаимно однозначного соответствие между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом тогда и только тогда , когда производное множество изображения (во втором пространстве) любого подмножества первого пространства является образом производного множества этого подмножества. ^[7]

Пространство является Т 1 пространство , если каждое подмножество , состоящее из одной точки закрыто. ^[8] В пространстве T ₁ производное множество набора, состоящего из одного элемента, пусто (пример 2 выше не является пространством T ₁ ). Отсюда следует, что в пространствах T ₁ производное множество любого конечного множества пусто и, более того,

${\displaystyle \left(S-\{p\}\right)'=S'=\left(S\cup \{p\}\right)',}$

для любого подмножества и любой точки пространства. Другими словами, производный набор не изменяется путем добавления или удаления из данного набора конечного числа точек. ^[9] Также можно показать, что в пространстве T ₁ для любого подмножества ^[10]${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \left(S'\right)'\subseteq S'}$${\displaystyle S.}$

Множество с называется плотным в себе и не может содержать изолированных точек . Набор с называется идеальным . ^[11] Точно так же совершенное множество - это замкнутое, плотное в себе множество, или, другими словами, замкнутое множество без изолированных точек. Совершенные множества особенно важны в приложениях теоремы Бэра о категориях .${\displaystyle S}$${\displaystyle S\subseteq S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S=S'}$

Теорема Кантора – Бендиксона утверждает, что любое польское пространство можно записать как объединение счетного множества и совершенного множества. Поскольку любое подмножество G δ в польском пространстве снова является польским пространством, теорема также показывает, что любое подмножество G _δ в польском пространстве является объединением счетного множества и множества, которое является совершенным относительно индуцированной топологии .

Топология в терминах производных множеств [ править ]

Поскольку гомеоморфизмы могут быть описаны полностью в терминах производных множеств, производные множества использовались как примитивное понятие в топологии . Набор точек может быть снабжен оператором, отображающим подмножества в подмножества таких, что для любого набора и любой точки :${\displaystyle X}$${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$ подразумевает ${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$ подразумевает ${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

Вызов набора закрытым if определит топологию в пространстве, в котором находится оператор производного набора, то есть${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$${\displaystyle S\mapsto X^{*}}$${\displaystyle S^{*}=S'.}$

Ранг Кантора – Бендиксона [ править ]

Для порядковых чисел -й производная канторовского Бендиксона топологического пространства определяются путем многократного применения производного множества операции с помощью индукции трансфинитной следующим образом :${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$для предельных ординалов ${\displaystyle \lambda .}$

Трансфинитная последовательность производных Кантора – Бендиксона должна в конечном итоге быть постоянной. Наименьшее порядковое таким образом, что называется Cantor-Бендиксон ранг из${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$${\displaystyle X.}$

См. Также [ править ]

• Точка привязки  - точка, которая принадлежит замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Точка конденсации
• Изолированная точка
• Предельная точка  - точка x в топологическом пространстве, все окрестности которой содержат некоторую точку в данном подмножестве, отличную от x .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , издательство Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Heldermann Verlag, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Куратовский, К. (1966), Топология , 1 , Academic Press, ISBN 0-12-429201-1
• Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press

Дальнейшее чтение [ править ]

• Кечрис, Александр С. (1995). Классическая описательная теория множеств ( Тексты для выпускников по математике, 156-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Серпинский, Вацлав Ф .; перевод Кригера, Ч. Сесилия (1952). Общая топология . Университет Торонто Пресс.

Внешние ссылки [ править ]

• Статья PlanetMath о производной Кантора – Бендиксона