Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Георг Кантор
Георг Кантор (Porträt) .jpg
Родившийся
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

( 1845-03-03 )3 марта 1845 г.
Санкт-Петербург , Российская Империя
Умер6 января 1918 г. (1918-01-06)(72 года)
Галле , Провинция Саксония , Германская Империя
НациональностьНемецкий
Альма-матер
ИзвестенТеория множеств
Супруг (а)
Валли Гуттманн
Взаимодействие с другими людьми
( М.  1874)
НаградыМедаль Сильвестра (1904 г.)
Научная карьера
ПоляМатематика
УчрежденияУниверситет Галле
ТезисDe aequationibus secundi gradus indeterminatis  (1867 г.)
Докторант

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор ( / к æ н т ɔːr / KAN -tor , немецкий: [ɡeːɔʁk fɛʁdinant luːtvɪç fɪlɪp kantɔʁ] ; 3 марта [ OS 19 февраль] 1845 - 6 января 1918 [1] ) был немецкий математиком . Он создал теорию множеств , которая стала фундаментальной теорией в математике. Кантор установил важность взаимно однозначного соответствия между элементами двух множеств, определил бесконечные и хорошо упорядоченные множества и доказал, чтодействительные числа более многочисленны, чем натуральные . Фактически, канторовский метод доказательства этой теоремы подразумевает существование бесконечности бесконечностей. Он определил кардинальные и порядковые числа и их арифметику. Работа Кантора представляет большой философский интерес, и это ему хорошо известно. [2]

Теория трансфинитных чисел Кантора изначально считалась настолько противоречащей интуиции - даже шокирующей, - что она встретила сопротивление со стороны современников-математиков, таких как Леопольд Кронекер и Анри Пуанкаре [3], а затем Германа Вейля и Л. Э. Брауэра , тогда как Людвиг Витгенштейн высказал философские возражения . Кантор, набожный лютеранин , [4] считал, что теория была передана ему Богом. [5] Некоторые христианские богословы (особенно нео-схоласты)) рассматривал работу Кантора как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога [6]  - в одном случае приравнивая теорию трансфинитных чисел к пантеизму [7]  - утверждение, которое Кантор решительно отверг.

Возражения против работы Кантора иногда были резкими: публичное противодействие и личные нападки Леопольда Кронекера включали в себя описание Кантора как «научного шарлатана», «отступника» и «развратника молодежи». [8] Кронекер возражал против доказательств Кантора, что алгебраические числа счетны, а трансцендентные числа неисчислимы; результаты теперь включены в стандартную учебную программу по математике. Спустя десятилетия после смерти Кантора Витгенштейн сетовал на то, что математика «насквозь пронизана пагубными идиомами теории множеств», которые он отверг как «полнейшую чепуху», которая является «смешной» и «неправильной». [9]Периодические приступы депрессии Кантора с 1884 года до конца его жизни были обвинены в враждебном отношении многих его современников [10], хотя некоторые объясняли эти эпизоды вероятными проявлениями биполярного расстройства . [11]

Резкая критика сопровождалась более поздними похвалами. В 1904 году Королевское общество наградило Кантора медалью Сильвестра - высшей наградой за работу в области математики. [12] Дэвид Гильберт защитил ее от критиков, заявив: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». [13] [14]

Жизнь Георга Кантора [ править ]

Молодежь и учеба [ править ]

Кантор, около 1870 г.

Георг Кантор родился в 1845 году в западной купеческой колонии Санкт-Петербурга , Россия, и рос в городе до одиннадцати лет. Кантор, старший из шести детей, считался выдающимся скрипачом. Его дед Франц Бём (1788–1846) ( брат скрипача Йозефа Бёма ) был известным музыкантом и солистом Российского императорского оркестра. [15] Отец Кантора был членом Санкт-Петербургской фондовой биржи ; Когда он заболел, семья переехала в Германию в 1856 году, сначала в Висбаден , затем во Франкфурт , в поисках более мягких зим, чем в Санкт-Петербурге. В 1860 году Кантор с отличием окончил Realschule в г.Дармштадт ; были отмечены его исключительные способности в математике, в частности, в тригонометрии . В августе 1862 года он окончил Höhere Gewerbeschule Darmstadt, ныне Technische Universität Darmstadt . [16] [17] В 1862 году Кантор поступил в Швейцарский федеральный политехнический институт . Получив существенное наследство после смерти своего отца в июне 1863 года [18], Кантор перешел учебу в Берлинский университет , посещая лекции Леопольда Кронекера , Карла Вейерштрасса и Эрнста Куммера . Лето 1866 года он провел в Геттингенском университете., а затем и центр математических исследований. Кантор был хорошим учеником и получил докторскую степень в 1867 году. [18] [19]

Учитель и исследователь [ править ]

Кантор представил диссертацию по теории чисел в Берлинском университете в 1867 году. После недолгого обучения в берлинской школе для девочек, Кантор занял должность в университете Галле , где и провел всю свою карьеру. Он был награжден необходимой степенью защиты за свою диссертацию, в том числе по теории чисел, которую он представил в 1869 году после назначения в университет Галле . [19] [20]

В 1874 году Кантор женился на Валли Гуттманн. У них было шестеро детей, последний из которых (Рудольф) родился в 1886 году. Кантор смог содержать семью, несмотря на скромную академическую зарплату, благодаря наследству от отца. Во время своего медового месяца в горах Гарца Кантор много времени проводил в математических дискуссиях с Ричардом Дедекиндом , с которым он познакомился двумя годами ранее во время отпуска в Швейцарии.

Кантор получил звание экстраординарного профессора в 1872 году и стал полным профессором в 1879 году. [19] [18] Достижение последнего звания в возрасте 34 лет было заметным достижением, но Кантор хотел получить кафедру в более престижном университете, в частности в Берлин, в то время ведущий немецкий университет. Однако его работа встретила слишком много возражений, чтобы это было возможно. [21] Кронекер, руководивший математикой в ​​Берлине до своей смерти в 1891 году, испытывал все большее неудобство от перспективы иметь Кантора в качестве коллеги, [22] воспринимая его как «развратника молодежи» за то, что он обучал его идеям молодое поколение математики. [23]Что еще хуже, Кронекер, авторитетная фигура в математическом сообществе и бывший профессор Кантора, принципиально не соглашался с направлением работы Кантора с тех пор, как он намеренно отложил публикацию первой крупной публикации Кантора в 1874 году. [19] Кронекер, который теперь рассматривается как один из основоположников конструктивной точки зрения в математике не любил теорию множеств Кантора, потому что она утверждала существование множеств, удовлетворяющих определенным свойствам, не приводя конкретных примеров множеств, члены которых действительно удовлетворяли этим свойствам. Всякий раз, когда Кантор подал заявку на должность в Берлине, ему отказывали, и обычно это касалось Кронекера [19], поэтому Кантор пришел к выводу, что Кронекер ' из-за такой позиции он никогда не смог бы покинуть Галле.

В 1881 году Эдуард Гейне , коллега Кантора из Галле, умер, оставив вакантное кресло. Галле принял предложение Кантора предложить его Дедекинду, Генриху М. Веберу и Францу Мертенсу в таком порядке, но каждый отказался от кресла после того, как ему его предложили. В конце концов был назначен Фридрих Вангерин, но он никогда не был близок с Кантором.

В 1882 году математическая переписка между Кантором и Дедекиндом подошла к концу, по-видимому, в результате того, что Дедекинд отказался от кафедры в Галле. [24] Кантор также начал другую важную переписку с Гестой Миттаг-Леффлер в Швеции и вскоре начал публиковаться в журнале Миттаг-Леффлера Acta Mathematica . Но в 1885 году Миттаг-Леффлер был обеспокоен философской сущностью и новой терминологией в статье, которую Кантор представил Acta . [25] Он попросил Кантора забрать статью из Acta.пока это было в доказательстве, написав, что это было «… лет на сто раньше, чем раньше». Кантор подчинился, но затем прервал свои отношения и переписку с Миттаг-Леффлер, написав третьему лицу: «Если бы Миттаг-Леффлер добился своего, мне пришлось бы подождать до 1984 года, что мне казалось слишком большим требованием!». .. Но, конечно, я больше никогда не хочу больше ничего знать об Acta Mathematica ». [26]

Кантор пережил свой первый известный приступ депрессии в мае 1884 года. [18] [27] Критика его работы давила на него: в каждом из пятидесяти двух писем, которые он написал Миттаг-Леффлеру в 1884 году, упоминался Кронекер. Отрывок из одного из этих писем показывает ущерб, нанесенный самоуверенности Кантора:

... Не знаю, когда вернусь к продолжению моей научной работы. В настоящий момент я абсолютно ничего не могу с этим поделать и ограничиваюсь самой необходимой обязанностью моих лекций; насколько я был бы счастливее, если бы был активным в научной сфере, если бы имел необходимую душевную свежесть. [28]

Этот кризис заставил его обратиться с лекциями по философии, а не по математике. Он также начал интенсивное изучение елизаветинской литературы, полагая, что могут быть доказательства того, что Фрэнсис Бэкон написал пьесы, приписываемые Уильяму Шекспиру (см. Вопрос об авторстве Шекспира ); в конечном итоге это привело к двум брошюрам, опубликованным в 1896 и 1897 годах. [29]

Вскоре после этого Кантор выздоровел и впоследствии внес важный вклад, в том числе свой диагональный аргумент и теорему . Однако он больше никогда не достигал высокого уровня своих замечательных работ 1874–1884 годов, даже после смерти Кронекера 29 декабря 1891 года. [19] В конце концов он искал и достиг примирения с Кронекером. Тем не менее философские разногласия и разделявшие их трудности сохранялись.

В 1889 году Кантор сыграл важную роль в основании Немецкого математического общества [19] и председательствовал на его первом собрании в Галле в 1891 году, где он впервые представил свой диагональный аргумент; его репутация была достаточно сильной, несмотря на сопротивление Кронекера его работе, чтобы гарантировать, что он был избран первым президентом этого общества. Не обращая внимания на враждебность, которую Кронекер проявил к нему, Кантор пригласил его выступить на собрании, но Кронекер не смог этого сделать, потому что его жена умирала от травм, полученных в то время во время катания на лыжах. Георг Кантор также сыграл важную роль в учреждении первого Международного конгресса математиков , который состоялся в Цюрихе, Швейцария, в 1897 году [19].

Спустя годы и смерть [ править ]

После госпитализации Кантора в 1884 году нет никаких записей о том, что он снова был в каком-либо санатории до 1899 года. [27] Вскоре после этой второй госпитализации младший сын Кантора Рудольф внезапно скончался 16 декабря (Кантор читал лекцию о своих взглядах на теорию Бэкона и Уильям Шекспир ), и эта трагедия лишила Кантора большей части его страсти к математике. [30] Кантор снова был госпитализирован в 1903 году. Годом позже он был возмущен и взволнован докладом, представленным Юлиусом Кенигом на Третьем Международном конгрессе математиков.. В статье предпринята попытка доказать ложность основных положений теории трансфинитных множеств. Поскольку газету читали в присутствии его дочерей и коллег, Кантор чувствовал себя публично униженным. [31] Хотя Эрнст Цермело менее чем через день продемонстрировал, что доказательство Кенига провалилось, Кантор был потрясен и на мгновение задал вопрос Богу. [12] Кантор всю оставшуюся жизнь страдал от хронической депрессии, из-за чего его несколько раз освобождали от преподавания и неоднократно помещали в различные санатории. Событиям 1904 года предшествовала серия госпитализаций с интервалом в два-три года. [32] Однако он не отказался от математики полностью, читая лекции о парадоксах теории множеств (Burali-Форти парадокс , парадокс Кантора , и парадокс Рассела ) на заседании Deutsche Mathematiker-Vereinigung в 1903 году, и участие в Международном конгрессе математиков в Гейдельберге в 1904 году.

В 1911 году Кантор был одним из выдающихся иностранных ученых, приглашенных на празднование 500-летия основания Университета Сент-Эндрюс в Шотландии. Кантор присутствовал, надеясь встретиться с Бертраном Расселом , недавно опубликованные « Основы математики» которого неоднократно цитировали работы Кантора, но этого не произошло. В следующем году Сент-Эндрюс присвоил Кантору звание почетного доктора, но болезнь помешала ему получить эту степень лично.

Кантор вышел на пенсию в 1913 году, живя в бедности и страдая от недоедания во время Первой мировой войны . [33] Публичное празднование его 70-летия было отменено из-за войны. В июне 1917 года он в последний раз пошел в санаторий и постоянно писал жене, прося отпустить его домой. У Георга Кантора случился сердечный приступ 6 января 1918 года в санатории, где он провел последний год своей жизни. [18]

Математическая работа [ править ]

Работа Кантора между 1874 и 1884 годами является истоком теории множеств . [34] До этой работы концепция множества была довольно элементарной и использовалась неявно с самого начала математики, восходящей к идеям Аристотеля . Никто не осознавал, что теория множеств имеет нетривиальное содержание. До Кантора существовали только конечные множества (которые легко понять) и «бесконечное» (которое считалось темой для философских, а не математических дискуссий). Доказав, что существует (бесконечно) много возможных размеров бесконечных множеств, Кантор установил, что теория множеств нетривиальна и требует изучения. Теория множеств стала играть роль фундаментальной теориив современной математике, в том смысле, что он интерпретирует утверждения о математических объектах (например, числах и функциях) из всех традиционных областей математики (таких как алгебра , анализ и топология ) в единой теории и предоставляет стандартный набор аксиом чтобы доказать или опровергнуть их. Основные понятия теории множеств теперь используются во всей математике. [35]

В одной из своих ранних работ [36] Кантор доказал, что набор действительных чисел «более многочислен», чем набор натуральных чисел ; это впервые показало, что существуют бесконечные множества разных размеров . Он также был первым, кто осознал важность взаимно-однозначных соответствий (в дальнейшем обозначаемых как « соответствие один-к-одному ») в теории множеств. Он использовал эту концепцию для определения конечных и бесконечных множеств , разделив последние на счетные (или счетно бесконечные) множества и неисчислимые множества (несчетно бесконечные множества). [37]

Кантор разработал важные концепции топологии и их отношение к мощности . Например, он показал, что множество Кантора , открытое Генри Джоном Стивеном Смитом в 1875 г. [38] , нигде не является плотным , но имеет ту же мощность, что и множество всех действительных чисел, тогда как рациональные числа везде плотные, но счетные. Он также показал, что все счетные плотные линейные порядки без конечных точек изоморфны по порядку рациональным числам .

Кантор введены основные конструкции в теории множеств, такие как набор мощности из множества А , который является множеством всех возможных подмножеств из А . Позже он доказал, что размер набора степеней A строго больше, чем размер A , даже когда A - бесконечное множество; этот результат вскоре стал известен как теорема Кантора . Кантор разработал целую теорию и арифметику бесконечных множеств , называемых кардиналами и ординалами , которые расширили арифметику натуральных чисел. Его обозначение количественных чисел было еврейской буквой ( алеф) с индексом натурального числа; в качестве ординалов он использовал греческую букву ω ( омега ). Это обозначение используется до сих пор.

Гипотеза континуума , представленная Кантором, была представлена Давидом Гильбертом как первая из его двадцати трех открытых проблем в своем выступлении на Международном конгрессе математиков 1900 года в Париже. Работа Кантора также привлекла положительное внимание, помимо прославленного восхваления Гильберта. [14] Американский философ Чарльз Сандерс Пирс похвалил теорию множеств Кантора и после публичных лекций, прочитанных Кантором на первом Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, Адольф Гурвиц и Жак Адамартакже оба выразили свое восхищение. На этом Конгрессе Кантор возобновил дружбу и переписку с Дедекиндом. С 1905 года Кантор переписывался со своим британским поклонником и переводчиком Филипом Журденом по истории теории множеств и по религиозным идеям Кантора. Позднее это было опубликовано, как и несколько его описательных работ.

Теория чисел, тригонометрические ряды и ординалы [ править ]

Первые десять работ Кантора были посвящены теории чисел , теме его диссертации. По предложению профессора Галле Эдуарда Гейне Кантор обратился к анализу . Гейне предложил Кантор решить открытую проблему , которая ускользает Дирихль , Липшица , Бернхард Риман и сам Гейне: единственность представления функции по тригонометрическим рядам . Кантор решил эту проблему в 1869 году. Именно во время работы над этой проблемой он обнаружил трансфинитные ординалы, которые встречаются как индексы n в n- м производном множестве S n множества S нулей тригонометрического ряда. Принимая во внимание тригонометрический ряд F (X) с S в качестве множества нулей, Кантор обнаружил процедуру , которая производится еще тригонометрических рядов , которые имели S 1 в качестве множества нулей, где S 1 представляет собой множество предельных точек из S . Если S k + 1 - это множество предельных точек S k , то он мог бы построить тригонометрический ряд, нули которого равны S k + 1 . Поскольку множества S kбыли замкнуты, они содержали свои предельные точки, а пересечение бесконечной убывающей последовательности множеств S , S 1 , S 2 , S 3 , ... образовывало предельное множество, которое мы теперь назвали бы S ω , а затем он заметил что S ω также должен иметь набор предельных точек S ω + 1 , и так далее. У него были примеры, которые продолжались вечно, и вот вам была естественная бесконечная последовательность бесконечных чисел ω , ω  + 1, ω  + 2, ... [39]

Между 1870 и 1872, Кантор опубликовал больше статей по тригонометрическим рядам, а также документ , определяющая иррациональные числа , как сходящиеся последовательности из рациональных чисел . Дедекинд, с которым Кантор подружился в 1872 году, процитировал эту статью позже в том же году в статье, где он впервые изложил свое знаменитое определение действительных чисел с помощью сокращений Дедекинда . Расширяя понятие числа с помощью своей революционной концепции бесконечной мощности, Кантор парадоксальным образом выступал против теорий бесконечно малых величин своих современников Отто Штольца и Поля дю Буа-Реймона , описывая их как "мерзость" и "палочку холеры". математика". [40]Кантор также опубликовал ошибочное «доказательство» несостоятельности бесконечно малых величин . [41]

Теория множеств [ править ]

Иллюстрация диагонального аргумента Кантора о существовании несчетных множеств . [42] Последовательность внизу не может быть нигде в бесконечном списке последовательностей выше.

Начало теории множеств как раздела математики часто отмечается публикацией статьи Кантора 1874 года [34] «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen» («Об одном свойстве собрания всех действительных алгебраических чисел») . [43] Эта статья была первой, в которой было дано строгое доказательство того, что существует более одного вида бесконечности. Раньше все бесконечные коллекции неявно предполагались равноправными (то есть «одинакового размера» или с одинаковым количеством элементов). [44] Кантор доказал, что набор действительных чисел и набор натуральных чисел не равны. Другими словами, настоящие числа несчетный . Его доказательство отличается от диагонального аргумента, который он привел в 1891 году. [45] Статья Кантора также содержит новый метод построения трансцендентных чисел . Впервые трансцендентные числа были построены Жозефом Лиувиллем в 1844 году [46].

Кантор установил эти результаты, используя две конструкции. Его первая конструкция показывает, как записать действительные алгебраические числа [47] в виде последовательности a 1 , a 2 , a 3 , .... Другими словами, действительные алгебраические числа счетны. Кантор начинает свое второе построение с любой последовательности действительных чисел. Используя эту последовательность, он строит вложенные интервалы , пересечение которыхсодержит действительное число, не входящее в последовательность. Поскольку каждая последовательность действительных чисел может использоваться для построения действительного числа, не входящего в последовательность, действительные числа не могут быть записаны как последовательность, то есть действительные числа не считаются. Применяя свою конструкцию к последовательности действительных алгебраических чисел, Кантор производит трансцендентное число. Кантор указывает, что его конструкции доказывают больше, а именно, они обеспечивают новое доказательство теоремы Лиувилля: каждый интервал содержит бесконечно много трансцендентных чисел. [48] Следующая статья Кантора содержит конструкцию, которая доказывает, что набор трансцендентных чисел имеет ту же «мощность» (см. Ниже), что и набор действительных чисел. [49]

Между 1879 и 1884 годами Кантор опубликовал серию из шести статей в « Mathematische Annalen», которые вместе составили введение в его теорию множеств. В то же время росла оппозиция идеям Кантора во главе с Леопольдом Кронекером, который допускал математические концепции только в том случае, если их можно было построить за конечное число шагов из натуральных чисел, которые он считал интуитивно заданными. Для Кронекера канторовская иерархия бесконечностей была недопустимой, поскольку принятие концепции актуальной бесконечности открыло бы дверь к парадоксам, которые поставили бы под сомнение обоснованность математики в целом. [50] Кантор также представил набор Кантора в этот период.

Пятая статья в этой серии, « Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» (« Основы общей теории агрегатов» ), опубликованная в 1883 г. [51], была самой важной из шести и также была опубликована как отдельная монография . Он содержал ответ Кантора своим критикам и показал, как трансфинитные числа были систематическим расширением натуральных чисел. Он начинается с определения упорядоченных множеств. Затем вводятся порядковые номера как порядковые типы хорошо упорядоченных множеств. Затем Кантор определяет сложение и умножение кардиналаи порядковые номера. В 1885 году Кантор расширил свою теорию порядковых типов, так что порядковые числа просто стали частным случаем порядковых типов.

В 1891 году он опубликовал статью, содержащую свой элегантный «диагональный аргумент» в пользу существования несчетного множества. Он применил ту же идею , чтобы доказать теорему Кантора : мощность множества мощности множества A строго больше , чем мощность A . Это установило богатство иерархии бесконечных множеств, а также кардинальной и порядковой арифметики , которую определил Кантор. Его аргументы являются фундаментальными для решения проблемы остановки и доказательства первой теоремы Гёделя о неполноте . Кантор писал о гипотезе Гольдбаха в 1894 году.

Отрывок из статьи Георга Кантора с его определением множества

В 1895 и 1897 годах Кантор опубликовал в « Mathematische Annalen» статью из двух частей под редакцией Феликса Клейна ; это были его последние значительные работы по теории множеств. [52] Первая статья начинается с определения множества, подмножества и т. Д. Способами, которые сейчас в основном приемлемы. Рассмотрены кардинальная и порядковая арифметика. Кантор хотел, чтобы вторая статья содержала доказательство гипотезы континуума, но ему пришлось довольствоваться изложением своей теории упорядоченных множеств и порядковых чисел. Кантор пытается доказать, что если A и B - множества с A, эквивалентными подмножеству B и Bэквивалентен подмножеству A , то A и B эквивалентны. Эрнст Шредер сформулировал эту теорему несколько раньше, но его доказательство, как и доказательство Кантора, было ошибочным. Феликс Бернштейн представил правильное доказательство в своей докторской диссертации 1898 года; отсюда и название теорема Кантора – Бернштейна – Шредера .

Индивидуальная переписка [ править ]

Основная статья: Биекция
Биективная функция

Статья Кантора 1874 года Крелле была первой, в которой использовалось понятие соответствия один -к- одному , хотя он не использовал эту фразу. Затем он начал искать соответствие один к одному между точками единичного квадрата и точками единичного отрезка прямой . В письме Ричарду Дедекинду 1877 года Кантор доказал гораздо более сильный результат: для любого положительного целого числа n существует соответствие один-к-одному между точками на единичном отрезке прямой и всеми точками в n- мерном пространстве . Об этом открытии Кантор писал Дедекинду: « Je le vois, mais je ne le crois pas! » («Я вижу это, но не верю!») [53]Результат, который он нашел столь удивительным, имеет значение для геометрии и понятия измерения .

В 1878 году Кантор представил другую статью в Crelle's Journal, в которой он точно определил концепцию соответствия один-к-одному и ввел понятие « мощность » (термин, который он взял у Якоба Штайнера ) или «эквивалентность» множеств: два набора эквивалентны (имеют одинаковую мощность), если между ними существует соответствие 1: 1. Кантор определил счетные множества (или счетные множества) как множества, которые можно поставить в соответствие один к одному с натуральными числами , и доказал, что рациональные числа счетны. Он также доказал, что n -мерное евклидово пространство R n имеет ту же мощность, что и действительные числа R, Как это делает счетно бесконечное произведение копий R . Хотя он свободно использовал счетность как концепцию, он не писал слово «счетность» до 1883 года. Кантор также обсуждал свои размышления о размерности , подчеркивая, что его отображение между единичным интервалом и единичным квадратом не было непрерывным .

Эта статья вызвала недовольство Кронекера, и Кантор хотел ее отозвать; однако Дедекинд убедил его не делать этого, и Карл Вейерштрасс поддержал его публикацию. [54] Тем не менее, Кантор больше никогда ничего не передавал Креллю.

Гипотеза континуума [ править ]

Основная статья: гипотеза континуума

Кантор был первым, кто сформулировал то, что позже стало известно как гипотеза континуума или CH: не существует множества, мощность которого больше, чем у натуральных чисел, и меньше, чем у действительных (или, что эквивалентно, мощность действительных чисел точно равна алеф-он, а не хотя бы алеф-он). Кантор считал, что гипотеза континуума верна, и тщетно пытался много лет ее доказать . Его неспособность доказать гипотезу континуума вызвала у него серьезное беспокойство. [10]

Трудность, с которой Кантор столкнулся при доказательстве гипотезы континуума, была подчеркнута более поздними разработками в области математики: результат 1940 года Курта Гёделя и результат 1963 года Пола Коэна вместе подразумевают, что гипотезу континуума нельзя ни доказать, ни опровергнуть, используя стандартные Цермело– Теория множеств Френкеля плюс аксиома выбора (комбинация, именуемая « ZFC »). [55]

Абсолютная бесконечность, упорядоченная теорема и парадоксы [ править ]

В 1883 году Кантор разделил бесконечное на трансфинитное и абсолютное . [56]

Трансфинит может увеличиваться по величине, а абсолютный - не увеличиваться. Например, порядковый номер α является трансфинитным, потому что он может быть увеличен до α + 1. С другой стороны, порядковые номера образуют абсолютно бесконечную последовательность, которая не может быть увеличена по величине, потому что нет более крупных порядковых чисел, которые можно было бы добавить к ней. [57] В 1883 году Кантор также ввел принцип хорошей организации «каждый набор может быть хорошо упорядочен» и заявил, что это «закон мысли». [58]

Кантор расширил свою работу над абсолютной бесконечностью, используя ее в доказательстве. Примерно в 1895 году он начал рассматривать свой принцип упорядоченности как теорему и попытался доказать ее. В 1899 году он прислал Дедекинду доказательство эквивалентной теоремы об алефах: мощность каждого бесконечного множества равна алефу . [59] Во-первых, он определил два типа кратностей: согласованные кратности (множества) и несовместимые кратности (абсолютно бесконечные кратности). Затем он предположил, что ординалы образуют множество, доказал, что это ведет к противоречию, и пришел к выводу, что ординалы образуют несовместимую множественность. Он использовал эту непоследовательную множественность, чтобы доказать теорему Алефа. [60] В 1932 году Цермело раскритиковал конструкцию доказательства Кантора. [61]

Кантор избежал парадоксов , признав, что существует два типа множественности. В его теории множеств, когда предполагается, что ординалы образуют множество, возникающее противоречие подразумевает только то, что ординалы образуют противоречивую множественность. С другой стороны, Бертран Рассел рассматривал все коллекции как наборы, что приводит к парадоксам. В теории множеств Рассела порядковые числа образуют множество, поэтому возникающее противоречие означает, что теория противоречива . С 1901 по 1903 год , Рассел обнаружил три парадоксов , подразумевающих , что его теория множеств противоречива: парадокс Burali-Форти (который только упоминается), парадокс Кантора , и парадокс Рассела . [62]Рассел назвал парадоксы в честь Чезаре Бурали-Форти и Кантора, хотя ни один из них не считал, что они нашли парадоксы. [63]

В 1908 году Цермело опубликовал свою систему аксиом теории множеств . У него было две мотивации для разработки системы аксиом: устранение парадоксов и обеспечение доказательства теоремы о хорошем порядке . [64] Цермело доказал эту теорему в 1904 году, используя аксиому выбора , но его доказательство подверглось критике по ряду причин. [65] Его ответ на критику включал его систему аксиом и новое доказательство теоремы о хорошем порядке. Его аксиомы подтверждают это новое доказательство и устраняют парадоксы, ограничивая формирование множеств. [66]

В 1923 году Джон фон Нейман разработал систему аксиом, которая устраняет парадоксы, используя подход, аналогичный подходу Кантора, а именно, идентифицируя коллекции, которые не являются наборами, и рассматривая их по-разному. Фон Нейман заявил, что класс слишком велик, чтобы быть множеством, если его можно поставить во взаимно однозначное соответствие с классом всех множеств. Он определил множество как класс, который является членом некоторого класса, и сформулировал аксиому: класс не является множеством тогда и только тогда, когда существует взаимно однозначное соответствие между ним и классом всех множеств. Эта аксиома подразумевает, что эти большие классы не являются множествами, что устраняет парадоксы, поскольку они не могут быть членами какого-либо класса. [67]Фон Нейман также использовал свою аксиому для доказательства теоремы об упорядочивании: как и Кантор, он предположил, что ординалы образуют множество. Полученное противоречие означает, что класс всех ординалов не является множеством. Тогда его аксиома обеспечивает взаимно однозначное соответствие между этим классом и классом всех множеств. Это соответствие упорядочивает класс всех множеств, из чего следует теорема о хорошем упорядочивании. [68] В 1930 году Цермело определил модели теории множеств, удовлетворяющие аксиоме фон Неймана . [69]

Философия, религия, литература и математика Кантора [ править ]

Концепция существования актуальной бесконечности была важной общей проблемой в области математики, философии и религии. Сохранение ортодоксальности взаимоотношений между Богом и математикой, хотя и не в той форме, которую придерживаются его критики, долгое время было заботой Кантора. [70] Он прямо обратился к этому пересечению между этими дисциплинами во введении к своему Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre , где он подчеркнул связь между своим взглядом на бесконечное и философским. [71] Для Кантора его математические взгляды были неразрывно связаны с их философскими и теологическими последствиями - он определил Абсолютное Бесконечноес Богом, [72] и он считал, что его работа над трансфинитными числами была напрямую сообщена ему Богом, который выбрал Кантора, чтобы открыть их миру. [5]

Дебаты среди математиков выросли из противоположных взглядов философии математики на природу актуальной бесконечности. Некоторые придерживались точки зрения, что бесконечность является абстракцией, которая не является математически законной, и отрицали ее существование. [73] Математики трех основных школ мысли ( конструктивизм и два его ответвления, интуиционизм и финитизм ) выступили против теорий Кантора в этом вопросе. Для конструктивистов, таких как Кронекер, это отрицание актуальной бесконечности проистекает из фундаментального несогласия с идеей, что неконструктивные доказательства, такие как диагональный аргумент Кантора, являются достаточным доказательством того, что что-то существует, вместо этого утверждая, чтотребуются конструктивные доказательства . Интуиционизм также отвергает идею о том, что актуальная бесконечность является выражением любой реальности, но приходит к решению другим путем, нежели конструктивизм. Во-первых, аргумент Кантора опирается на логику, чтобы доказать существование трансфинитных чисел как реальной математической сущности, тогда как интуиционисты считают, что математические сущности не могут быть сведены к логическим суждениям, а берут начало в интуиции разума. [74] Во-вторых, понятие бесконечности как выражения реальности само по себе запрещено в интуиционизме, поскольку человеческий разум не может интуитивно конструировать бесконечное множество. [75] Математики, такие как Л. Э. Дж. Брауэр и особенно Анри Пуанкаре, принялиинтуиционистская позиция против работ Кантора. Наконец, атаки Витгенштейна были финитистскими: он считал, что диагональный аргумент Кантора объединяет интенсионал набора кардинальных или действительных чисел с его расширением , тем самым объединяя концепцию правил для создания набора с фактическим набором. [9]

Некоторые христианские богословы рассматривали работу Кантора как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога. [6] В частности, мыслители -неотомисты видели в существовании актуальной бесконечности, состоящей из чего-то иного, кроме Бога, как угрозу «исключительному притязанию Бога на высшую бесконечность». [76] Кантор твердо верил, что эта точка зрения была неправильной интерпретацией бесконечности, и был убежден, что теория множеств может помочь исправить эту ошибку: [77] «... трансфинитные виды в такой же степени находятся в распоряжении намерений Создателя. и Его абсолютная безграничная воля, как и конечные числа ». [78]

Кантор также считал, что его теория трансфинитных чисел противоречит как материализму, так и детерминизму,  и был шокирован, когда понял, что он был единственным преподавателем в Галле, который не придерживался детерминированных философских убеждений. [79]

Для Кантора было важно, чтобы его философия обеспечивала «органическое объяснение» природы, и в своем « Грундлагене» 1883 года он сказал, что такое объяснение может быть получено только при использовании ресурсов философии Спинозы и Лейбница. [80] В своих заявлениях Кантор, возможно, находился под влиянием Ф.А. Тренделенбурга , чьи лекционные курсы он посещал в Берлине, и, в свою очередь, Кантор подготовил латинский комментарий к Книге 1 « Этики» Спинозы . Ф.А. Тренделенбург был также экзаменатором Habilitationsschrift Кантора . [81] [82]

В 1888 году Кантор опубликовал свою переписку с несколькими философами о философских последствиях своей теории множеств. В обширной попытке убедить другие христианские мыслитель и власть принять его взгляды, Кантор переписывался христианскими философы , такие как Тильман Пеша и Джозеф Хонтхайм , [83] , а также теологи , такие как Кардинал Иоганн Баптист Францелин , который однажды ответил приравнивание теория трансфинитных чисел с пантеизмом . [7] Кантор даже послал одно письмо непосредственно Папе Льву XIII и адресовал ему несколько брошюр. [77]

Философия Кантора о природе чисел привела его к утверждению веры в свободу математики постулировать и доказывать концепции вне сферы физических явлений как выражения внутри внутренней реальности. Единственные ограничения этой метафизической системы состоят в том, что все математические концепции должны быть лишены внутреннего противоречия и что они вытекают из существующих определений, аксиом и теорем. Эта вера резюмируется в его утверждении, что «сущность математики - это ее свобода». [84] Эти идеи совпадают с идеями Эдмунда Гуссерля , с которым Кантор познакомился в Галле. [85]

Между тем, сам Кантор был яростным противником бесконечно малых величин , описывая их как «мерзость» и «холерную палочку математики». [40]

Статья Кантора 1883 года показывает, что он хорошо осознавал противодействие, с которым сталкивались его идеи: «... Я понимаю, что в этом начинании я ставлю себя в определенную оппозицию к широко распространенным взглядам на математическую бесконечность и к мнениям, часто защищаемым о природе. номеров ". [86]

Поэтому он уделяет много места обоснованию своей более ранней работы, утверждая, что математические концепции могут вводиться свободно, пока они свободны от противоречий и определяются в терминах ранее принятых концепций. Он также цитирует Аристотеля, Рене Декарта , Джорджа Беркли , Готфрида Лейбница и Бернарда Больцано о бесконечности. Вместо этого он всегда категорически отвергал философию Канта , как в области философии математики, так и в области метафизики. Он разделял девиз Б. Рассела «Кант или Кантор» и определял Канта «вон того софистического филистера, который так плохо разбирался в математике». [87]

Родословная Кантора [ править ]

Название мемориальной доски (на русском языке): «В этом здании родился и жил с 1845 по 1854 год великий математик и создатель теории множеств Георг Кантор», Васильевский остров , Санкт-Петербург.

Бабушка и дедушка Кантора по отцовской линии были из Копенгагена и бежали в Россию из-за срыва наполеоновских войн . Прямых сведений о его бабушке и дедушке очень мало. [88] Кантора при жизни иногда называли евреем, [89] но также по-разному называли русским, немцем и датчанином.

Якоб Кантор, дед Кантора, дал своим детям имена христианских святых . Кроме того, несколько родственников его бабушки были на царской государственной службе, которая не приветствовала евреев, если они не обратились в христианство. Отец Кантора, Георг Вальдемар Кантор, получил образование в лютеранской миссии в Санкт-Петербурге, и его переписка с сыном показывает, что они оба были набожными лютеранами. О происхождении или образовании Джорджа Вольдемара достоверно известно очень мало. [90] Его мать, Мария Анна Бём, была австро-венгркой, родившейся в Санкт-Петербурге и крещённой католиком ; она перешла в протестантизмпри замужестве. Однако есть письмо от брата Кантора Луи к их матери, в котором говорится:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber ... [90]

(«Даже если мы десять раз произошли от евреев, и даже если я, в принципе, полностью поддерживаю равные права для евреев, в общественной жизни я предпочитаю христиан ...»), что может быть истолковано как подразумевающее, что она была еврейского происхождения. [91]

В течение 1930-х годов были задокументированы заявления, которые ставили под сомнение еврейское происхождение:

Чаще [то есть, чем происхождение матери] обсуждался вопрос, был ли Георг Кантор еврейским по происхождению. Об этом сообщается в уведомлении Датского генеалогического института в Копенгагене от 1937 года, касающемся его отца: «Настоящим засвидетельствовано, что Георг Вольдемар Кантор, 1809 или 1814 года рождения, не числится в реестрах еврейской общины, и что он совершенно несомненно не был евреем ... » [90]

Позже в том же документе говорится:

Также безрезультатно завершились долгие усилия библиотекаря Йозефа Фишера, одного из лучших знатоков еврейской генеалогии в Дании, которому было поручено выявлять еврейских профессоров Георга Кантора по происхождению. [Кажется, что-то не так с этим предложением, но смысл кажется достаточно ясным.] В опубликованных работах Кантора, а также в его « Начласе» нет его собственных заявлений, относящихся к еврейскому происхождению его предков. Конечно, в Nachlass есть копия письма его брата Людвига от 18 ноября 1869 г. к их матери с некоторыми неприятными антисемитскими заявлениями, в котором, среди прочего, говорится: ... [90]

(остальная часть цитаты завершается самой первой цитатой выше). В Мужчины математики , Эрик Темпл Белл описал Кантора как «чистого еврейского происхождения с обеих сторон», хотя оба родителя были крещены. В статье 1971 года, озаглавленной «К биографии Георга Кантора», британский историк математики Айвор Граттан-Гиннесс упоминает ( Annals of Science 27, стр. 345–391, 1971), что ему не удалось найти свидетельства еврейского происхождения. (Он также заявляет, что жена Кантора, Валли Гуттманн, была еврейкой).

В письме, написанном Георгом Кантором Полю Таннери в 1896 году (Поль Таннери, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Париж, 1934, стр. 306), Кантор заявляет, что его бабушка и дедушка по отцовской линии были членами сефардской еврейской общины Копенгагена. В частности, Кантор заявляет, описывая своего отца: «Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde ...» («Он родился в Копенгагене от еврейских (букв:« израильтян ») родителей из семьи местная португальско-еврейская община. ") [92]

Кроме того, двоюродный дедушка Кантора по материнской линии, [93] венгерский скрипач Йозеф Бём , был описан как еврей, [94] что может означать, что мать Кантора, по крайней мере, частично происходила из венгерской еврейской общины. [95]

В письме Бертрану Расселу Кантор описал свое происхождение и самовосприятие следующим образом:

Ни мой отец, ни моя мать не были немецкой крови, первый из которых датчанин, родившийся в Копенгагене, моя мать австрийского венгерского происхождения. Вы должны знать, сэр, что я не обычный Жермен , потому что я родился 3 марта 1845 года в Сент-Питерборо, столице России, но я приехал сюда со своими отцом, матерью, братьями и сестрой, мне было одиннадцать лет в 1856 году. , в Германию. [96]

Биографии [ править ]

До 1970-х годов основными научными публикациями о Канторе были две короткие монографии Артура Морица Шёнфлиса (1927) - в основном переписка с Миттаг-Леффлером - и Френкеля (1930). Оба были во второй и третьей руке; ни у кого не было особого отношения к личной жизни. Этот пробел был в значительной степени заполнен книгой Эрика Темпл Белла « Математики» (1937), которую один из современных биографов Кантора описывает как «возможно, наиболее широко читаемую современную книгу по истории математики »; и как «один из худших». [97] Белл представляет отношения Кантора с отцом как Эдипа., Разногласия Кантора с Кронекером как ссора между двумя евреями и безумие Кантора как романтическое отчаяние из-за его неспособности добиться признания своей математики. Граттан-Гиннесс (1971) обнаружил, что ни одно из этих утверждений не было правдой, но их можно найти во многих книгах предшествующего периода из-за отсутствия каких-либо других повествований. Существуют и другие легенды, не зависящие от Белла, в том числе легенда, в которой отца Кантора называют подкидышем, доставленным в Санкт-Петербург неизвестными родителями. [98] Критика книги Белла содержится в биографии Джозефа Добена . [99] Как пишет Даубен:

Кантор посвятил некоторые из своих наиболее оскорбительных писем, а также часть Beiträge , атаке на то, что он однажды назвал « бесконечно малой математической палочкой холеры», которая распространилась из Германии благодаря работам Тома , дю Буа Реймон. и Штольца , чтобы заразить итальянскую математику ... Любое признание бесконечно малых обязательно означало, что его собственная теория чисел была неполной. Таким образом, принять работы Тома, дю Буа-Реймона, Штольца и Веронезе означало отрицать совершенство собственного творения Кантора. Понятно, что Кантор развернул тщательную кампанию по всяческой дискредитации творчества Веронезе. [100]

См. Также [ править ]

  • Канторова алгебра
  • Куб Кантора
  • Функция Кантора
  • Медаль Кантора  - награда Deutsche Mathematiker-Vereinigung в честь Георга Кантора
  • Канторовское пространство
  • Возвратно-поступательный метод Кантора
  • Теорема Кантора – Бернштейна
  • Теорема Гейне – Кантора
  • Функция сопряжения

Примечания [ править ]

  1. Перейти ↑ Grattan-Guinness 2000 , p. 351.
  2. ^ Биографические материалы в этой статье в основном взяты из Dauben 1979 . Полезными дополнительными источниками являются Grattan-Guinness 1971 и Purkert and Ilgauds 1985 .
  3. ^ Dauben 2004 , стр. 1.
  4. ^ Dauben, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор «Математика и философия бесконечного» . издательство принстонского университета. стр. введение. ISBN 9780691024479.
  5. ^ а б Даубен 2004 , стр. 8, 11, 12–13.
  6. ^ a b Dauben 1977 , стр. 86; Dauben 1979 , стр.120, 143.
  7. ^ a b Dauben 1977 , стр. 102.
  8. ^ Dauben 2004 , стр. 1; Dauben 1977 , стр. 89 15н .
  9. ^ а б Родыч 2007 .
  10. ↑ a b Dauben 1979 , p. 280: «... традиция, ставшая популярной благодаря Артуру Морицу Шенфлису, обвинила настойчивую критику Кронекера и неспособность Кантора подтвердить свою гипотезу континуума» в повторяющихся приступах депрессии Кантора.
  11. ^ Dauben 2004 , стр. 1. Текст включает цитату 1964 года психиатра Карла Поллитта, одного из врачей-терапевтов Кантора в Halle Nervenklinik, который назвал психическое заболевание Кантора«циклической маниакально-депрессией».
  12. ↑ a b Dauben 1979 , p. 248.
  13. ↑ Hilbert (1926 , стр. 170): «Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können». (Буквально: «Из Рая, который Кантор создал для нас, никто не должен иметь возможности изгнать нас».)
  14. ^ a b Рид, Констанс (1996). Гильберта . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 177 . ISBN 978-0-387-04999-1.
  15. ^ ru: Музыкальная энциклопедия (Музыкальная энциклопедия) .
  16. ^ "Георг Кантор (1845-1918)" . www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 14 сентября 2019 года .
  17. ^ Георг Кантор 1845-1918 . Бирхаузер. 1985. ISBN 978-3764317706.
  18. ^ a b c d e "Биография Кантора" . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Проверено 6 октября 2017 года .
  19. ^ a b c d e f g h Бруно, Леонард С.; Бейкер, Лоуренс В. (1999). Математика и математики: история математических открытий во всем мире . Детройт, штат Мичиган: UX L. p. 54 . ISBN 978-0787638139. OCLC  41497065 .
  20. ^ О'Коннор, Джон Дж; Робертсон, Эдмунд Ф (1998). "Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор" . MacTutor История математики.
  21. ^ Dauben 1979 , стр. 163.
  22. ^ Dauben 1979 , стр. 34.
  23. ^ Dauben 1977 , стр. 89 15н.
  24. ^ Dauben 1979 , стр 2-3. Граттан-Гиннесс, 1971 , стр. 354–355.
  25. ^ Dauben 1979 , стр. 138.
  26. ^ Dauben 1979 , стр. 139.
  27. ↑ a b Dauben 1979 , p. 282.
  28. ^ Dauben 1979 , стр. 136; Граттан-Гиннес, 1971 , стр. 376–377. Письмо от 21 июня 1884 г.
  29. ^ Dauben 1979 , стр. 281-283.
  30. ^ Dauben 1979 , стр. 283.
  31. ^ Для обсуждения бумаги Кенига см Dauben 1979 , стр. 248-250. О реакции Кантора см. Dauben 1979 , pp. 248, 283.
  32. ^ Dauben 1979 , стр. 283-284.
  33. ^ Dauben 1979 , стр. 284.
  34. ^ a b Джонсон, Филип Э. (1972). «Возникновение и развитие теории множеств». Двухлетний математический журнал колледжа . 3 (1): 55–62. DOI : 10.2307 / 3026799 . JSTOR 3026799 . 
  35. ^ Suppes, Патрик (1972). Аксиоматическая теория множеств . Дувр. п. 1. ISBN 9780486616308. За редкими исключениями, объекты, которые изучаются и анализируются в математике, могут рассматриваться как определенные частные множества или классы объектов ... Как следствие, многие фундаментальные вопросы о природе математики могут быть сведены к вопросам теории множеств.
  36. ^ Кантор 1874
  37. ^ Счетного множество представляет собой наборкоторый является либо конечным или счетным; счетные множества, следовательно, являются бесконечными счетными множествами. Однако этой терминологии не всегда придерживаются, и иногда термин «счетный» используется как синоним слова «счетный».
  38. ^ Набор Кантора до Математической ассоциации Кантора Америки
  39. ^ Кук, Роджер (1993). "Единственность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985". Архив истории точных наук . 45 (4): 281. DOI : 10.1007 / BF01886630 . S2CID 122744778 . 
  40. ^ a b Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Г. (2012). "Берджесская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии". Основы науки . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . DOI : 10.1007 / s10699-011-9223-1 . S2CID 119250310 . 
  41. ^ Эрлих, П. (2006). «Возникновение неархимедовой математики и корни заблуждения. I. Возникновение неархимедовых систем величин» (PDF) . Arch. Hist. Exact Sci . 60 (1): 1–121. DOI : 10.1007 / s00407-005-0102-4 . S2CID 123157068 . Архивировано из оригинального (PDF) 15 февраля 2013 года.  
  42. ^ Это близко следует первой части статьи Кантора 1891 года.
  43. ^ Кантор 1874 . Английский перевод: Ewald 1996 , стр. 840–843.
  44. ^ Например, геометрические задачи, поставленные Галилеем и Джоном Дансом Скотом, предполагали, что все бесконечные множества равносильны - см. Мур, AW (апрель 1995). «Краткая история бесконечности» (PDF) . Scientific American . 272 (4): 112–116 (114). Bibcode : 1995SciAm.272d.112M . DOI : 10.1038 / Scientificamerican0495-112 .
  45. ^ По поводу этого и дополнительной информации о математической важности работы Кантора по теории множеств см., Например, Suppes 1972 .
  46. ↑ Лиувилль, Джозеф (13 мая 1844 г.). A Propos de l'existence des nombres transcendants .
  47. ^ Реальные алгебраические числа вещественные корни из полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами .
  48. ^ Для получения дополнительных сведений о статье Кантора см . Первую статью Георга Кантора по теории множеств и Gray, Robert (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 101 (9): 819–832. DOI : 10.2307 / 2975129 . JSTOR 2975129 .  . Грей (стр. 821–822) описывает компьютерную программу, которая использует конструкции Кантора для генерации трансцендентного числа.
  49. ^ Конструкция Кантора начинается с набора трансцендентальных чисел T и удаляет счетное подмножество { t n } (например, t n  =  e  / n ). Назовите этот набор T 0 . Тогда T  = T 0  ∪ { t n } = T 0  ∪ { t 2 n -1 } ∪ { t 2 n }. Множество вещественных чисел R  = T  ∪ { a n } = T 0  ∪ {t n } ∪ { a n }, где a n - последовательность действительных алгебраических чисел. Таким образом, и T, и R представляют собой объединение трех попарно непересекающихся множеств: T 0 и двух счетных множеств. Взаимно однозначное соответствие между T и R задается функцией: f ( t ) =  t, если t  ∈  T 0 , f ( t 2 n -1 ) =  t n и f (t 2 n ) =  a n . Кантор фактически применяет свою конструкцию к иррациональным, а не к трансцендентальным, но он знал, что это применимо к любому множеству, образованному удалением счетного числа чисел из множества действительных чисел ( Cantor 1879 , p. 4).
  50. ^ Dauben 1977 , стр. 89.
  51. ↑ Cantor 1883 .
  52. ^ Кантор (1895) , Кантор (1897) . Английский перевод - Cantor 1955 .
  53. ^ Уоллес, Дэвид Фостер (2003). Все и даже больше: компактная история бесконечности . Нью-Йорк: У. В. Нортон и компания. п. 259 . ISBN 978-0-393-00338-3.
  54. ^ Dauben 1979 , стр. 69, 324 63n . Статья была представлена ​​в июле 1877 года. Дедекинд поддержал ее, но отложил ее публикацию из-за возражений Кронекера. Вейерштрасс ее активно поддерживал.
  55. ^ Некоторые математики считают, что эти результаты разрешили проблему и, самое большее, позволяют исследовать формальные следствия CH или его отрицания или аксиом, которые подразумевают одну из них. Другие продолжают искать «естественные» или «правдоподобные» аксиомы, которые при добавлении к ZFC позволят либо доказательство, либо опровержение CH, или даже прямые доказательства в пользу или против самого CH; среди наиболее известных - У. Хью Вудин . В одной из последних статей Гёделя утверждается, что CH ложна, а мощность континуума есть Алеф-2.
  56. ↑ Cantor 1883 , стр. 587–588; Английский перевод: Ewald 1996 , pp. 916–917.
  57. Перейти ↑ Hallett 1986 , pp. 41–42.
  58. Перейти ↑ Moore 1982 , p. 42.
  59. Перейти ↑ Moore 1982 , p. 51. Доказательство эквивалентности: если набор хорошо упорядочен, то его мощность является алефом, поскольку алефы являются кардиналами хорошо упорядоченных множеств. Если мощность набора является алефом, то его можно хорошо упорядочить, поскольку между ним и хорошо упорядоченным набором, определяющим алеф, существует взаимно однозначное соответствие.
  60. Перейти ↑ Hallett 1986 , pp. 166–169.
  61. ^ Доказательство Кантора, которое является доказательством от противного , начинается с предположения, что существует множество S , мощность которого не является алефом. Функция от ординалов до S строится путем последовательного выбора различных элементов S для каждого ординала. Если эта конструкция исчерпывает элементов, то функция также заказы множество S . Это означаетчто мощность S является алеф,противоречит предположению о S . Таким образом, функция отображает все числительные один-к-одному в S . Образ функции- это несовместимая подмножественность, содержащаяся в S , поэтому множествоS - несовместимая кратность; противоречие. Цермело подверг критике конструкцию Кантора: «здесь интуиция времени применяется к процессу, выходящему за пределы всякой интуиции, и постулируется фиктивная сущность, которая, как предполагается, может делать последовательные произвольные выборы». ( Hallett 1986 , стр. 169–170.)
  62. ↑ Мур 1988 , стр. 52–53; Мур и Гарсиадиего, 1981 , стр. 330–331.
  63. ↑ Мур и Гарсиадиего 1981 , стр. 331, 343; Пуркерт 1989 , стр. 56.
  64. ^ Moore 1982 , стр. 158-160. Мур утверждает, что последнее было его основной мотивацией.
  65. ^ Мур посвящает главу этой критике: «Цермело и его критики (1904–1908)», Мур 1982 , стр. 85–141.
  66. ^ Moore 1982 , стр. 158-160. Zermelo 1908 , стр. 263–264; Английский перевод: van Heijenoort 1967 , p. 202.
  67. ↑ Hallett 1986 , pp. 288, 290–291. Кантор указал, что несовместимые множественности сталкиваются с одним и тем же ограничением: они не могут быть членами какой-либо множественности. ( Халлет, 1986 , с. 286.)
  68. ↑ Hallett 1986 , pp. 291–292.
  69. ↑ Zermelo 1930 ; Английский перевод: Ewald 1996 , pp. 1208–1233.
  70. ^ Dauben 1979 , стр. 295.
  71. ^ Dauben 1979 , стр. 120.
  72. Перейти ↑ Hallett 1986 , p. 13. Сравните с писаниями Фомы Аквинского .
  73. ^ Dauben 1979 , стр. 225
  74. ^ Dauben 1979 , стр. 266.
  75. ^ Снаппер, Эрнст (1979). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF) . Математический журнал . 524 (4): 207–216. DOI : 10.1080 / 0025570X.1979.11976784 . Архивировано из оригинального (PDF) 15 августа 2012 года . Проверено 2 апреля 2013 года .
  76. ^ Дэвенпорт, Энн А. (1997). «Католики, катары и концепция бесконечности в тринадцатом веке». Исида . 88 (2): 263–295. DOI : 10.1086 / 383692 . JSTOR 236574 . S2CID 154486558 .  
  77. ^ a b Dauben 1977 , стр. 85.
  78. ^ Кантор 1932 , стр. 404. Перевод в Dauben 1977 , p. 95.
  79. ^ Dauben 1979 , стр. 296.
  80. ^ Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме» . Американский католический философский квартал . 83 (4): 533–553. DOI : 10,5840 / acpq200983444 .
  81. ^ Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме». Американский католический философский квартал . 84 (3): 535.
  82. ^ Феррейрос, Хосе (2004). «Мотивы теории множеств Кантора - физические, биологические и философские вопросы» (PDF) . Наука в контексте . 17 (1–2): 49–83. DOI : 10.1017 / S0269889704000055 . PMID 15359485 .  
  83. ^ Dauben 1979 , стр. 144.
  84. ^ Dauben 1977 , стр. 91-93.
  85. ↑ О Канторе, Гуссерле и Готтлобе Фреге см. Hill and Rosado Haddock (2000).
  86. ^ " Даубен 1979 , стр. 96.
  87. ^ Рассел, Бертран Автобиография Бертрана Рассела , Джорджа Аллена и Анвина Ltd., 1971 (Лондон), том. 1, стр. 217.
  88. ↑ Например , единственное свидетельство Граттана-Гиннесса о дате смерти деда - это то, что он подписал документы при помолвке сына.
  89. ^ Например, Еврейская энциклопедия , ст. «Кантор, Георг»; Еврейский ежегодник 1896–97, «Список еврейских знаменитостей девятнадцатого века», стр. 119; в этом списке есть звездочка против людей, один из которых еврей, но Кантор не отмечен звездочкой.
  90. ^ a b c d Пуркерт и Ильгаудс 1985 , стр. 15.
  91. ^ Для получения дополнительной информации см .: Dauben 1979 , p. 1 и примечания; Grattan-Guinness 1971 , стр. 350–352 и примечания; Пуркерт и Ильгаудс, 1985 ; это письмо от Aczel 2000 , стр. 93–94, из поездки Луи в Чикаго в 1863 году. Как по-немецки, так и по-английски неясно, указан ли получатель.
  92. Перейти ↑ Tannery, Paul (1934) Memoires Scientifique 13 Correspondance , Gauthier-Villars, Paris, p. 306.
  93. ^ Dauben 1979 , стр. 274.
  94. ^ Мендельсон, Эзра (редактор) (1993) Современные евреи и их музыкальные программы , Oxford University Press, стр. 9.
  95. ^ Ismerjük oket ?: zsidó származású nevezetes magyarok arcképcsarnoka , István Reményi Gyenes Ex Libris, (Budapest 1997), страницы 132–133
  96. ^ Рассел, Бертран. Автобиография , т. I, стр. 229. На английском языке в оригинале; курсив также как в оригинале.
  97. ↑ Grattan-Guinness, 1971 , стр. 350.
  98. ↑ Grattan-Guinness 1971 (цитата из стр. 350, примечание), Dauben 1979 , стр. 1 и примечания. (Еврейские стереотипы Белла, похоже, были удалены из некоторых послевоенных изданий.)
  99. ^ Dauben 1979
  100. ^ Dauben, J .: Развитие канторовской теории множеств, стр. ~ 181–219. См. Стр. 216–217. In Bos, H .; Bunn, R .; Dauben, J .; Grattan-Guinness , I .; Hawkins, T .; Педерсен, К. От исчисления к теории множеств, 1630–1910. Вводная история. Под редакцией И. Граттана-Гиннесса. Джеральд Дакворт и Ко. Лтд., Лондон, 1980 г.

Ссылки [ править ]

  • Даубен, Джозеф В. (1977). «Георг Кантор и Папа Лев XIII: математика, теология и бесконечное». Журнал истории идей . 38 (1): 85–108. DOI : 10.2307 / 2708842 . JSTOR  2708842 ..
  • Даубен, Джозеф В. (1979). Георг Кантор: его математика и философия бесконечного . Бостон: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-691-02447-9..
  • Даубен, Джозеф (2004) [1993]. Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств (PDF) . Материалы 9-й конференции ACMS (Вестмонтский колледж, Санта-Барбара, Калифорния). С. 1–22.Интернет-версия опубликована в журнале ACMS 2004.
  • Эвальд, Уильям Б., изд. (1996). От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853271-2..
  • Граттан-Гиннесс, Айвор (1971). «К биографии Георга Кантора». Анналы науки . 27 (4): 345–391. DOI : 10.1080 / 00033797100203837 ..
  • Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). В поисках математических корней: 1870–1940 . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-05858-0..
  • Халлетт, Майкл (1986). Канторовская теория множеств и ограничение размера . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853283-5..
  • Мур, Грегори Х. (1982). Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние . Springer. ISBN 978-1-4613-9480-8..
  • Мур, Грегори Х. (1988). «Корни парадокса Рассела» . Рассел: Журнал исследований Бертрана Рассела . 8 : 46–56. DOI : 10.15173 / russell.v8i1.1732 ..
  • Мур, Грегори Н .; Гарсиадьего, Алехандро (1981). «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его истоков» . Historia Mathematica . 8 (3): 319–350. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90070-7 ..
  • Пуркерт, Уолтер (1989). «Взгляды Кантора на основы математики ». В Роу, Дэвид Э .; Макклири, Джон (ред.). История современной математики, Том 1 . Академическая пресса. С.  49–65 . ISBN 978-0-12-599662-4..
  • Пуркерт, Вальтер; Ilgauds, Ханс Иоахим (1985). Георг Кантор: 1845–1918 . Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-1770-7..
  • Суппес, Патрик (1972) [1960]. Аксиоматическая теория множеств . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61630-8.. Хотя изложение скорее аксиоматично, чем наивно, Суппес доказывает и обсуждает многие результаты Кантора, которые демонстрируют непреходящую важность Кантора для построения фундаментальной математики.
  • Цермело, Эрнст (1908). "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" . Mathematische Annalen . 65 (2): 261–281. DOI : 10.1007 / bf01449999 . S2CID  120085563 ..
  • Цермело, Эрнст (1930). "Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 16 : 29–47. DOI : 10,4064 / фм-16-1-29-47 ..
  • Вольфрам, Стивен (2002). Новый вид науки . Wolfram Media, Inc., стр. 893, 901–902, 1127–1128, 1153–1154. ISBN 1-57955-008-8.
  • ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-32449-7..

Библиография [ править ]

К более старым источникам о жизни Кантора следует относиться с осторожностью. См. Раздел # Биографии выше.

Основная литература на английском языке [ править ]

  • Кантор, Георг (1955) [1915]. Филип Журден (ред.). Вклад в основание теории трансфинитных чисел . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-60045-1..

Основная литература на немецком языке [ править ]

  • Кантор, Георг (1874). "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen" (PDF) . Журнал für die Reine und Angewandte Mathematik . 1874 (77): 258–262. DOI : 10,1515 / crll.1874.77.258 . S2CID  199545885 .
  • Кантор, Георг (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre" . Журнал für die Reine und Angewandte Mathematik . 1878 (84): 242–258. DOI : 10,1515 / crll.1878.84.242 ..
  • Георг Кантор (1879). "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (1)" . Mathematische Annalen . 15 (1): 1–7. DOI : 10.1007 / bf01444101 . S2CID  179177510 .
  • Георг Кантор (1880). "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (2)" . Mathematische Annalen . 17 (3): 355–358. DOI : 10.1007 / bf01446232 . S2CID  179177438 .
  • Георг Кантор (1882). "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (3)" . Mathematische Annalen . 20 (1): 113–121. DOI : 10.1007 / bf01443330 . S2CID  177809016 .
  • Георг Кантор (1883). "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (4)" . Mathematische Annalen . 21 (1): 51–58. DOI : 10.1007 / bf01442612 . S2CID  179177480 .
  • Георг Кантор (1883). "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5)" . Mathematische Annalen . 21 (4): 545–591. DOI : 10.1007 / bf01446819 . S2CID  121930608 .Опубликовано отдельно как: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre .
  • Георг Кантор (1891). "Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" (PDF) . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 1 : 75–78.
  • Кантор, Георг (1895). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)" . Mathematische Annalen . 46 (4): 481–512. DOI : 10.1007 / bf02124929 . S2CID  177801164 . Архивировано с оригинала на 23 апреля 2014 года.
  • Кантор, Георг (1897). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)" . Mathematische Annalen . 49 (2): 207–246. DOI : 10.1007 / bf01444205 . S2CID  121665994 .
  • Кантор, Георг (1932). Эрнст Цермело (ред.). "Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts" . Берлин: Springer. Архивировано из оригинала на 3 февраля 2014 года.. Практически все, что написал Кантор. В приложение включены выдержки из его переписки с Дедекиндом (стр. 443–451) и биография Кантора Френкеля (стр. 452–483).

Дополнительная литература [ править ]

  • Aczel, Амир Д. (2000). Тайна Алеф: математика, каббала и поиск бесконечности . Нью-Йорк: издательство «Четыре стены восемь окон».. ISBN 0-7607-7778-0 . Популярная трактовка бесконечности, в которой часто упоминается Кантор. 
  • Даубен, Джозеф В. (июнь 1983 г.). "Георг Кантор и истоки теории трансфинитных множеств". Scientific American . 248 (6): 122–131. Bibcode : 1983SciAm.248f.122D . DOI : 10.1038 / Scientificamerican0683-122 .
  • Феррейрос, Хосе (2007). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли . Базель, Швейцария: Birkhäuser.. ISBN 3-7643-8349-6 Содержит подробное описание вкладов Кантора и Дедекинда в теорию множеств. 
  • Халмос, Пол (1998) [1960]. Наивная теория множеств . Нью-Йорк и Берлин: Springer.. ISBN 3-540-90092-6 
  • Гильберт, Дэвид (1926). "Über das Unendliche" . Mathematische Annalen . 95 : 161–190. DOI : 10.1007 / BF01206605 . S2CID  121888793 .
  • Хилл, Колорадо; Росадо Хэддок, GE (2000). Гуссерль или Фреге? Смысл, объективность и математика . Чикаго: Открытый суд.. ISBN 0-8126-9538-0 Три главы и 18 индексных статей по Кантору. 
  • Мешковский, Герберт (1983). Георг Кантор, Лебен, Верк и Виркунг (Георг Кантор, Жизнь, работа и влияние, на немецком языке) . Vieweg, Брауншвейг.
  • Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме» [1] , American Catholic Philosophical Quarterly , 83 (4): 532-553, https://doi.org/10.5840/acpq200983444 . С признанием новаторской исторической работы Даубена, в этой статье подробно рассматривается отношение Кантора к философии Спинозы и Лейбница, а также его участие в Pantheismusstreit . Кратко упоминаются уроки Кантора от Ф.А.Тренделенбурга.
  • Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности . Альфред А. Кнопф.. ISBN 0-679-77631-1 Глава 16 показывает, как канторианское мышление интригует ведущего современного физика-теоретика . 
  • Ракер, Руди (2005) [1982]. Бесконечность и разум . Издательство Принстонского университета.. ISBN 0-553-25531-2 Имеет дело с темами, аналогичными Aczel, но более подробно. 
  • Родыч, Виктор (2007). "Философия математики Витгенштейна" . В Эдварде Н. Залта (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета..
  • Леонида Лаццари, L'infinito di Cantor . Editrice Pitagora, Болонья, 2008 г.

Внешние ссылки [ править ]

  • Работы Георга Кантора или о нем в Internet Archive
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Георг Кантор" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "История теории множеств" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс. В основном посвящен достижению Кантора.
  • Стэнфорд энциклопедия философии : Теория множеств на Томасе Йех . Раннее развитие теории множеств Хосе Феррейрос.
  • Гимназия Георг-Кантор Галле (Заале): Георг-Кантор-Гимназия Галле
  • Поэма о Георге Канторе
  • « Бесконечности Кантора», анализ статьи Кантора 1874 г., BibNum (для английской версии щелкните «à télécharger») . В этом анализе есть ошибка. В нем правильно сформулирована теорема Кантора 1: алгебраические числа можно считать. Однако в нем неверно сформулирована его теорема 2: действительные числа не могут быть подсчитаны. Затем он говорит: «Кантор отмечает, что вместе взятые теоремы 1 и 2 позволяют повторно продемонстрировать существование неалгебраических действительных чисел…» Это доказательство существования неконструктивно . Правильно сформулированная теорема 2: по последовательности действительных чисел можно определить действительное число, которого нет в этой последовательности. Взятые вместе, теорема 1 и эта теорема 2 дают неалгебраическое число.Кантор также использовал теорему 2, чтобы доказать, что действительные числа не могут быть подсчитаны. ВидетьПервая статья Кантора по теории множеств или Георг Кантор и трансцендентные числа .