Трансфинитное число

В математике , цифры трансфинитные являются числами , которые являются « бесконечным » в том смысле , что они больше всех конечных чисел, но не обязательно абсолютно бесконечной . К ним относятся трансфинитные кардиналы , которые являются кардинальными числами, используемыми для количественной оценки размера бесконечных множеств, и трансфинитные порядковые числа , которые являются порядковыми числами, используемыми для упорядочивания бесконечных множеств. ^{[1] [2] [3]} Термин трансфинит был введен Георгом Кантором в 1915 году, ^[4]кто хотел избежать некоторых значений слова бесконечный в связи с этими объектами, которые, тем не менее, не были конечными . Мало кто из современных писателей разделяет эти сомнения; сейчас принято называть трансфинитные кардиналы и порядковые числа "бесконечными". Тем не менее, термин «трансфинит» также остается в употреблении.

Определение [ править ]

Любое конечное число можно использовать как минимум двумя способами: как порядковое и кардинальное. Кардинальные числа определяют размер наборов (например, мешок из пяти шариков), тогда как порядковые числа указывают порядок членов в упорядоченном наборе ^[5] (например, «третий слева» или «двадцать седьмой»). день января »). При распространении на трансфинитные числа эти два понятия становятся разными. Трансфинитное кардинальное число используется для описания размера бесконечно большого множества ^{[3], в} то время как трансфинитный порядковый номер используется для описания местоположения внутри бесконечно большого упорядоченного множества. ^[5] Наиболее заметными порядковыми и количественными числами являются, соответственно:

• ${\ displaystyle \ omega}$( Омега ): наименьшее трансфинитное порядковое число. Это также тип порядка натуральных чисел в их обычном линейном порядке.
• ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$( Aleph-null ): первое трансфинитное кардинальное число. Это также кардинальное из бесконечного множества натуральных чисел. Если аксиома выбора держится, следующий более высокий кардинальное число алеф-один , если нет, то могут быть и другие кардиналы , которые несравнимы с алеф-один и больше , чем алеф-нуль. В любом случае, между aleph-naught и aleph-one нет кардиналов.${\ displaystyle \ aleph _ {1}.}$

Гипотеза континуума - это утверждение, что нет промежуточных кардинальных чисел между и мощностью континуума (мощностью множества действительных чисел ): ^[3] или, что то же самое, мощностью множества действительных чисел. В теории множеств Цермело – Френкеля ни гипотеза континуума, ни ее отрицание не могут быть доказаны без нарушения согласованности.${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Некоторые авторы, в том числе П. Суппес и Дж. Рубин, используют термин трансфинитный кардинал для обозначения мощности дедекиндово-бесконечного множества в контекстах, где это не может быть эквивалентно «бесконечному кардиналу»; то есть в контекстах, где аксиома счетного выбора не предполагается или не известно, что она выполняется. Учитывая это определение, все следующие эквиваленты:

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$трансфинитный кардинал. То есть существует бесконечное множество Дедекинда , мощность которого равна${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}.}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} + 1 = {\ mathfrak {m}}.}$
• ${\ displaystyle \ aleph _ {0} \ leq {\ mathfrak {m}}.}$
• Есть такой кардинал , что${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0} + {\ mathfrak {n}} = {\ mathfrak {m}}.}$

См. Также [ править ]

Поищите информацию о трансфинитах в Викисловаре, бесплатном словаре.

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Леви, Азриэль, 2002 (1978) Теория основных множеств . Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5 
• О'Коннор, Дж. Дж. И Е. Ф. Робертсон (1998) " Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор ", Архив истории математики MacTutor .
• Рубин, Жан Э. , 1967. "Теория множеств для математика". Сан-Франциско: Холден-Дэй. Основан на теории множеств Морса – Келли .
• Руди Ракер , 2005 (1982) Бесконечность и разум . Princeton Univ. Нажмите. В первую очередь это исследование философского смысла канторовского рая. ISBN 978-0-691-00172-2 . 
• Патрик Суппес , 1972 (1960) " Аксиоматическая теория множеств ". Дувр. ISBN 0-486-61630-4 . Основан в ZFC .