Тип заказа

В математике , особенно в теории множеств , говорят , что два упорядоченных множества X и Y имеют один и тот же тип порядка, если они изоморфны по порядку , то есть если существует взаимно однозначное соответствие (каждый элемент точно соответствует одному в другом наборе) , так что оба е и его обратный являются монотонными (сохраняющими порядками элементов). В частном случае , когда X является упорядоченным , монотонность е вытекает монотонность его обратного.${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$

Например, набор из целых чисел и множество четных чисел имеют одинаковый тип заказа, потому что отображение взаимно однозначное соответствие , сохраняющее порядок. Но набор целых чисел и набор рациональных чисел (со стандартным упорядочением) не имеют одного и того же типа порядка, потому что даже при том, что наборы имеют одинаковый размер (они оба счетно бесконечны ), не существует сохраняющего порядок биективного отображение между ними. К этим двум типам порядка мы можем добавить еще два: набор положительных целых чисел (который имеет наименьший элемент) и набор отрицательных целых чисел (который имеет наибольший элемент). Открытый интервал (0, 1)${\ Displaystyle п \ mapsto 2n}$рациональных чисел является порядком, изоморфным рациональным числам (поскольку, например, это строго возрастающая биекция от первого ко второму); рациональные числа, содержащиеся в полузакрытых интервалах [0,1) и (0,1], а также в отрезке [0,1], являются тремя дополнительными примерами типа порядка.${\ Displaystyle е (х) = {\ tfrac {2x-1} {1- \ vert {2x-1} \ vert}}}$

Поскольку порядок-эквивалентность является отношением эквивалентности , он разбивает на класс всех упорядоченных множеств в классы эквивалентности .

Тип заказа скважин [ править ]

Три хорошо упорядоченности на множестве натуральных чисел с различными типами заказов ( сверху вниз ): , и .${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega +5}$${\ displaystyle \ omega + \ omega}$

Каждый хорошо упорядоченный набор эквивалентен порядку ровно одному порядковому номеру ^{[ необходима цитата ]} . Порядковые числа считаются каноническими представителями своих классов, поэтому тип упорядоченного набора обычно идентифицируется с соответствующим порядковым номером. Например, порядковый тип натуральных чисел - ω .

Порядковый тип хорошо упорядоченного множества V иногда выражается как ord ( V ) . ^[1]

Например, рассмотрим множество V из четных порядковых меньше , чем со ⋅ 2 + 7 :

${\ Displaystyle V = \ {0,2,4, \ ldots; \ omega, \ omega +2, \ omega +4, \ ldots; \ omega \ cdot 2, \ omega \ cdot 2 + 2, \ omega \ cdot 2 + 4, \ omega \ cdot 2 + 6 \}.}$

Тип его заказа:

${\displaystyle \operatorname {ord} (V)=\omega \cdot 2+4=\{0,1,2,\ldots ;\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3\},}$

потому что есть 2 отдельных списка подсчета и 4 последовательных в конце.

Рациональные числа [ править ]

Любое счетное полностью упорядоченное множество можно инъективно отобразить в рациональные числа с сохранением порядка. Любое плотное счетное полностью упорядоченное множество без старшего и без младшего элемента может быть биективно отображено на рациональные числа с сохранением порядка.

Обозначение [ править ]

Обычно обозначается порядок следования рациональных чисел . Если множество S имеет порядковый тип , обозначается порядок двойственного к S (обратный порядок) .${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma ^{*}}$

См. Также [ править ]

• Хороший порядок

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Тип заказа» . MathWorld .

Ссылки [ править ]